Distance entière entre des points
Voilà, après une plutôt longue pause (exactement un mois) je suis de retour sur le blog et je commence doucement avec un petit exercice de géométrie plane 😉
Soit D une droite dans le plan euclidien et n un entier positif. Montrer qu’il existe un point P0 en dehors de la droite D et des points P1,…,Pn sur D tels que la distance entre tous deux de ces n+1 points est un entier strictement positif.
À isométrie près, considérons pour \(D\) la droite y=0 de \(\mathbb{R}^2\).
On veut trouver n solutions dans \(\mathbb{Z}\) à l’équation \(x_i^2+y^2 = d_i^2\).
Soit y un nombre impair avec au moins n factorisations en paires d’entiers distincts \(y=a_i b_i\), par exemple y est produit de k nombres premiers impairs distincts avec \(2^k \geq n\).
Prendre \(P_0\) de coordonnées \((0,y)\) et \(P_i\) de coordonnées \(((a_i^2-b_i^2)/2,0)\).
Faré : Les Pi sont fixés et là tu choisi leurs coordonnées, non ?
rom1504 : les \(P_i\) ne sont pas fixés. 😉
Oui, les points Pi sont justement ce qu’il faut trouver. D’ailleurs dans la solution de Faré il reste à vérifier que les Pi sont tous distincts.
Voici une solution où ce détail est plus évident:
On peut supposer que D est la droite d’équation y=0 dans R2. On fixe une suite strictement croissante de n+1 entiers strictement positifs:
(Par exemple qk=k+1.)
Pour tout k=0,…,n on pose
a_k&=q_0q_1\cdots q_{k-1},\\
b_k&=q_kq_{k+1}\cdots q_n.
\end{align*}\)
On choisit
P_0&=(0,2b_0),\\
P_k&=(a_k^2-b_k^2,0),\quad k\in\llbracket1,n\rrbracket.
\end{align*}\)
Les points Pk sont distincts deux à deux, car \(a_k^2-b_k^2\) est une fonction strictement croissante en k. Reste à prouver que, pour tout k=1,…,n la distance entre P0 et Pk est un entier. Cela vient du calcul suivant qui utilise le fait que
akbk=b0 pour tout k=1,…,n: