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Deux axes de symétrie radiale




Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.

On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.

Question :

Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?

Commentaires


1. Le vendredi 15 janvier 2010 à 22:33, par edp

C'est une sphère ?


2. Le vendredi 15 janvier 2010 à 22:35, par edp

sphère c'est une coquille, je voulais dire boule ouverte ou boule fermée pour la distance euclidienne


3. Le samedi 16 janvier 2010 à 12:07, par JLT

Exact.

(on montre que les axes passent par le centre de gravité, puis que l'objet est invariant par toute rotation.)


4. Le samedi 16 janvier 2010 à 12:09, par JLT

Je voulais dire par toute rotation dont l'axe passe par le centre de gravité.


5. Le samedi 16 janvier 2010 à 19:50, par MP

Oui, j'avais trouvé ça aussi mais la marge est trop petite pour que je mette la démonstration ;-)

(blague à part, je n'arrive pas du tout à formaliser l'intuition pour écrire une preuve "propre")

Et si on enlève certaines des hypothèses, on obtient quoi de plus ?
(par exemple si on enlève convexe, on peut obtenir aussi les coquilles sphériques ouvertes ou fermés ou "mixtes")


6. Le dimanche 17 janvier 2010 à 10:34, par JLT

Soit C un objet borné non vide (non nécessairement convexe), et soit G le groupe des rotations qui conservent C. Soit C' l'ensemble des points qui sont à distance <1 de C. Comme C' est un ouvert non vide et borné, il possède un centre de gravité. Quitte à changer d'origine, on peut supposer que le centre de gravité de C' est O. Or, G laisse C' invariant, donc O également.

Soit A l'ensemble des points M de la sphère unité S de centre O tels que C soit invariant par rapport à l'axe OM. On constate que si r et s sont des rotations d'axes OM et ON, alors rsr^{-1} est d'axe Or(N). Donc si M et N appartiennent à A, le cercle (sur la sphère S) de centre M et de rayon d(M,N) est inclus dans A. En appliquant ce qui précède à deux points quelconques de ce cercle, on obtient que la calotte \{x\in S/\; d(M,x)\le 2d(M,N)\} est incluse dans A. Par une récurrence immédiate, \{x\in S/\; d(M,x)\le 2^n d(M,N)\} est inclus dans A pour tout entier n, donc S est inclus dans A. Ceci prouve que toute rotation d'axe passant par O appartient à G, donc que C est une réunion de sphères concentriques.


7. Le lundi 18 janvier 2010 à 23:43, par MathOMan

Voilà, tout est dit ! Clairement. Bravo !


8. Le mercredi 20 janvier 2010 à 08:06, par MP

Je ne devais pas être au niveau pour celui-là...

J'imagine que le caractère "ensemble ouvert borné implique existence du centre des masses" est un théorème classique qui doit dire d'une fonction continue est intégrable sur un ouvert borné de R3...
Par contre, je ne vois pas bien pourquoi (sans invoquer d'une certaine façon la convexité) ce centre des masses devrait être un élément de C' (ou alors c'est implicite dans vos lignes)

Pour le fait que G conserve aussi C' si il conserve C, je crois saisir :
Quelle que soit la rotation g de G considérée, l'image d'un point M de C qui est à distance d<1 d'un point N de C' possède une image M' par g qui est aussi à distance d du point image par g de N=g(N').
Donc N' est dans C' et donc Im(g,C') inclu dans C'. On a la réciproque. Si A est dans C' alors on peut lui associer un point B de C tel que d(A,B)=s<1. B'=g^-1(B) est aussi dans C car g-1 est une rotation de G aussi, et A'=g^-1(A) vérifie d(A',B')=d(A,B)=s et s<1 et donc A' est dans C', et comme A=g(A'), A est dans Im(g,C') et donc C' inclu dans Im(g,C'))

J'ai ensuite aussi du mal pour "formaliser" le fait que G conserve alors O (je comprends bien intuitivement que si l'ensemble est invariant par une rotation, le centre de gravité de l'ensemble image est le même que celui de l'ensemble de départ mais pour le montrer proprement... c'est un changement de variable dans l'intégrale volumique qui défini le centre de gravité c'est ça ? ou alors c'est une autre définition du centre de gravité qui rend cela plus immédiat)

Pour la suite, je comprends sans avoir besoin de détailler davantage... (ouf !)

En tout cas, merci pour ces "exercices" remue méninges !


9. Le mercredi 20 janvier 2010 à 10:12, par JLT

Le centre de gravité F de C' est défini par

F=(1/V)\int_{m\in C'} m dm, où dm = dxdydz est la forme volume et V=\int_{m\in C'}dm est le volume de C'. Ces intégrales ont un sens en théorie de Lebesgue car la fonction caractéristique d'un ouvert est mesurable, et V est non nul car C' est un ouvert non vide, et V est fini car C' est borné.

Pour tout g\in G,

g(F)=(1/V)\int_{m\in C'}g(m)dm = (1/V)\int_{m\in g(C')}mdm (d'après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples et le fait que det(g)=1). Comme g conserve le volume, ceci montre que g(F) est le centre de gravité de g(C'). Or, g(C')=C' donc g(F)=F.


10. Le mercredi 20 janvier 2010 à 12:14, par MP

merci pour ces précisions...

Il manquait bien la brique "théorie de Lebesgue" dans ma valise mathématique...


11. Le jeudi 21 janvier 2010 à 13:48, par MathOMan

Je ne sais pas pourquoi vous vous fixez sur le centre de gravité. On peut s'en passer si on argumente comme suit. Voici le résumé d'une preuve.

Soit C un sous-ensemble de l'espace euclidien.

Lemme : Si C est invariant par rapport à L et L' et si r est une rotation d'axe L alors C est aussi invariant par rapport à r(L').

Maintenant on suppose C borné non-vide et invariant par rapport à deux axes distinctes D et D'.

  1. Montrons que D et D' sont concourantes. Supposons par l'absurde que la distance entre D et D' est strictement positive. Alors il existe P dans D et P' dans D' tels que la droite (PP') est perpendiculaire à D et D'. Notons D'' l'image de D par la rotation d'angle \pi et d'axe D'. Alors D'' est perpendiculaire à (PP') et passe par le point P'+(P'-P). Par une récurrence et à l'aide du lemme on déduit que pour tout entier k il existe un axe de symétrie de C perpendiculaire à (PP') et passant par le point P'+k(P'-P). En particulier tout point de C possède un symétrique aussi loin qu'on veut — contradiction avec le fait que C est borné.

  2. Notons O le point d'intersection de D et D', S² une sphère de centre O, et N l'un des points d'intersection de S² avec D. Par rotation autour de D' le point N décrit un cercle K. D'après le lemme on sait que (OT) est axe de symétrie de C pour tout T dans K. Par rotation autour de D le cercle K décrit une calotte sur la sphère S². D'après le lemme on sait que pour tout point T de cette calotte la droite (OT) est axe de symétrie de C.
    En continuant ainsi, on peut élargir cette calotte pour finalement couvrir toute la sphère.

  3. Par conséquence toute droite passant par O est axe de symétrie de C. On en déduit que si P est dans C, alors C contient toute la sphère de centre O et de rayon OP. Cela montre que C est une union de sphères concentriques. Et si, en plus, C est supposé convexe alors c'est une boule (ouverte ou fermée).


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Pourquoi ne pas lire aussi :


Casse-tête avec la moquette


Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Un exercice bizarre à propos de la température sur terre


Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son génie à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Un exercice vraiment vache


Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l'hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids.
Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids.

D'ailleurs, pour ceux qui se sont posés la question : le poids d'une vache (Bos primigenius taurus) se situe entre 500 et 800 kg, et celui d'un taureau peut atteindre 1200 kg. Evidemment cela n'a pas d'importance pour l'exercice.

Et comme je n'aime pas les billet trop courts, voici un autre exercice (indépendant du premier). Retrouvez les neuf mathématiciens célèbres cachés dans la phrase suivante :

Quand t’auras fini de classer des cartes et de les ranger, coche ici et ferme à clef la grange : la dernière fois t’as laissé tout ouvert, et les chats l’ont saccagée et ont volé des poissons.

Revisitons la multiplication !


Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.
  • Multiplication posée du bon élève.
  • Multiplication posée de deux nombres, comment calculer le produit de deux nombres


     
  • Méthode du cancre.
  •  

    Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

    Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
     
     
  • Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
  • On sépare chaque facteur en deux parties
    Multiplication selon Karatsuba
    puis on effectue les multiplications suivantes :

    Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

    Le résultat est ensuite
    Trouver le produit de deux nombres entiers
Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions
  1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
  2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
  3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
  4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.
Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

Exercice sur les cordes d'un cercle


Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit \scr{C} un cercle, A,B deux points distincts sur \scr{C} et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

cercle, cordes, milieu d'un segment, preuve difficile
Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions


Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions


  1. \mathbb{B}^1 est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord \mathbb{S}^0=\{-1,1\} est constitué des deux extrémités.\mathbb{B}^2 est un disque et son bord \mathbb{S}^1 est un cercle.\mathbb{B}^3 est une ``vraie'' boule et son bord \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère.
    \;

  2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
    \;
    <br />\mathbb{B}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{S}^n_+\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_n<br />)\:\mapsto\:\big(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_n^2}\:\big)\,,

    \mathbb{S}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{B}^n\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_{n+1})\:\mapsto\:(x_1,\ldots,x_n)\,.<br />

    Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

    Projection de l'hémisphère

    Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace \mathbb{R}^{n}\:. Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:


    • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien \mathbb{R}^2. Le demi-cercle supérieur \mathbb{S}^1_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment \mathbb{B}^1 (en bleu).
      \;

    • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien \mathbb{R}^3 et \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord \mathbb{S}^2_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque \mathbb{B}^2 (en bleu).
      \;



  3. Chaque droite D\in\mathbb{P}^n coupe la sphère \mathbb{S}^n en deux antipodes: ~\frac{x}{||x||}~ et ~\frac{-x}{||x||}~x est arbitraire dans D\backslash\{0\}.
    Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

    La droite coupe la sphère en exactement deux points antipodes

    De cette observation on déduit que l'applicationf\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,

    est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

    \forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />

    Par conséquence \: \mathbb{P}^n\: est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de \: \mathbb{S}^n_+\: par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que \: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \: et l'équateur n'est rien d'autre que le bord \: \mathbb{S}^{n-1}\: de \: \mathbb{B}^n\: . Par conséquence \: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\: .

    \,
  4. Le résultat précédent implique en particulier que \:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:.
    Or \:\mathbb{B}^1=[-1,1] et par conséquence \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
    Ainsi \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est en bijection avec le cercle \,\mathbb{S}^1\,. Nous obtenons \mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1. Illustration:

    Recoller un segment en un cercle

    D'autre part SO(2) est le groupe des rotations du plan euclidien orienté \mathbb{R}^2. Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans [0,2\pi[ il est évident que SO(2) est en bijection avec le cercle \mathbb{S}^1.
    Conclusion: SO(2)\simeq \mathbb{P}^1.
    \,

  5. Pour la suite voir le fichier pdf.

Vision dans l'espace


Dessin d'un cube transparent et deux interprétations possibles

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

Quelle jambe est levée, la gauche ou la droite ?

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

  • La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
  • Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

  • Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
  • Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Fille qui tourne

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

Maurits Cornelis Escher : Escalier

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

triangle de Penrose, triangle impossible

Les involutions en langage courant


La langue des français ne finit pas par me surprendre. Ils ne faut pas toujours prendre à la lettre ce qu'ils disent. Par exemple il a quarante balais ne signifie pas qu'il s'agit d'un collectionneur d'outils de nettoyage, non mais quel manque d'imagination de la part de l'étranger que je suis, évidemment il fallait comprendre qu'on compte ici les années...

Mais encore plus bizarres sont les deux expressions suivantes qui inversent le sens. Contrairement à ce qu'on devrait croire t'inquiète ne signifie pas inquiète-toi mais ne t'inquiète pas ! Et fais gaffe ne veut pas dire fais une gaffe mais ne fais pas de gaffe !

J'avoue qu'en ma patrie, la Bavière, aussi il y a des illogismes. Par exemple, on peut entendre des bavarois dire i hob koa Mo net gsehn. Traduction en allemand correct : ich habe keinen Mann nicht gesehen. La double-négation kein/nicht en allemand fait une affirmation, mais pas chez les bavarois car ils aiment faire chose à part du reste de l'Allemagne.

En général, une négation en mathématiques et en langue est ce qu'on appelle une involution, c'est-à-dire une opération qui appliquée deux fois nous ramène au point de départ. Comme la multiplication avec -1. Si je multiplie deux fois par -1 je retrouve le nombre initial car -(-x)=x. Un autre exemple d'involution est une réflexion, par exemple par rapport à un plan : l'image miroir d'un image miroir est l'image initial.

Blague : A Krka lors de la conférence mondiale bi-annuelle des linguistes un chercheur fait un exposé détaillé sur les principes de la double-négation. Il explique alors qu'une double-négation est équivalente à une affirmation, mais qu'une double-affirmation ne peut jamais, mais vraiment jamais produire une négation. Après une heure son exposé compliqué en MindMaps et PowerPoint, avec des matrices, des équations comme (-1)\times(-1)=1 et 1\times 1\neq-1 se termine, les scientifiques s'apprêtent à applaudir quand soudainement vient du dernier rang de l'amphi un Oui, oui...

Exercice : Un condamné est dans une pièce avec deux portes, chacune gardée par un gardien. Il sait que l'une des portes amène à la liberté et l'autre à la prison et que l'un des gardiens dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours. Il a le droit de poser à un gardien au choix une seule question à réponse oui/non, puis il a le droit de sortir par la porte qu'il veut. Quelle question posera-t-il et quelle porte prendra-t-il ensuite ?

Remarque : Il existe une solution bien connue. Mais il existe aussi une autre qui ne suppose même pas que chaque gardien soit au courant qu'il existe une autre porte avec un autre gardien.

La notation binaire


Mathias Wandel a construit une calculatrice en bois, basée sur la notation binaire !



Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.

Les nombres naturels

Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :

zéro = 0 , un = 1 , deux = 1+1 , trois = 1+1+1, quatre = 1+1+1+1 , etc.

Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que l'écriture primitive par bâtons qu'on trouve sur les murs des prisons : par exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place pour des grands nombres. Pour éviter cela on utilise une ruse, que j'illustre d'abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :

Le système décimal

Il fonctionne comme suit.
  • Nous convenons que les dix premiers nombres (zéro, un, deux, trois, ..., huit, neuf) soient représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
  • Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9+1 ou encore le dix, est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
  • Puis on donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples:

     236 = 2 * 10^2 + 3*10 + 6 et  190237 = 1*10^5+9*10^4+0*10^3+2 * 10^2 + 3*10 + 6 .

Il n'est pas difficile de montrer que tout nombre naturel peut s'écrire dans ce système en n'utilisant que dix chiffres. Le fait qu'on ait pris dix chiffres est un pur hasard, certainement lié au fait que nous comptons dix doigts. Cela marcherait de la même manière si nous nous étions contentés par exemple de sept chiffres ; dans ce cas là, la juxtaposition  10 signifierait le nombre sept et  236 signifierait  2 * 10^2 + 3*10 + 6 (c'est-à-dire  2 * 49 + 3*7 + 6 dans notre système décimal habituel).

Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.

Le système binaire

Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .

La juxtaposition  10 signifie alors le nombre deux et  101 signifie  1 * 10^2 + 0*10 + 1, c'est-à-dire  1 * 4 + 0*2 + 1, donc cinq dans notre système décimal habituel.

Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :

0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.

1000000 est 2^6=64, 10000000 est 2^7=128, 10000000000 est 2^10=1024 (un méga)

Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.


Exemples de passage d'un système à l'autre

Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :
  • Soit n=10110 un naturel écrit dans le système binaire. Alors dans le système décimal c'est le nombre
    n=1*2^4+0*2^3+1*2^2+1*2^1+0*2^0=1*16+0*8+1*4+1*2+0*1=22.

  • Soit m=1101 un naturel écrit dans le système décimal (!). Pour le transformer en écriture binaire nous devons d'abord trouver la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans m. Nous savons que 2^10=1024 et que 2^11=2048. Donc 2^10 est la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 1101, et ainsi l'écriture binaire de m nécessitera onze chiffres le premier étant 1. Nous avons m=2^10+77. La plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 77 est 2^6=64. On est passé de la dixième puissance directement à la sixième ; les trois puissances "sautées" (neuvième, huitième, septième) sont représentées par des zéros. Donc l'écriture binaire de notre nombre commence par les cinq chiffres m=10001. On poursuit de la même manière : 77=2^6+13 ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 13 est 2^3=8. Puis 13=2^3+5 ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 5 est 2^2=4. Le dernier reste est 1=2^0 . Ainsi nous obtenons m=10001001101 (notation binaire).

  • Pour nous rassurer de notre dernier résultat faisons le test et re-transformons l'écriture binaire en écriture décimale. Le nombre m=10001001101 en binaire devient en décimal m=1*2^10+0*2^9+0*2^8+0*2^7+1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0 donc m=1024+64+8+4+1=1101 (notation décimale).

Compris ? Et n'oubliez pas : il y a 10 sortes de gens au monde : ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas ;-)

Lieu discriminant


Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

P=a_0+a_1 X+a_2 X^2+\,\cdots\,+a_n X^n,\;Q=b_0+b_1 X+b_2 X^2+\,\cdots\,+b_m X^m.

Leur résultant R(P,Q) est le déterminant de la matrice de Sylvester, matrice carré d'ordre m+n dont on comprend la construction par l'exemple ci-dessous pour n=4 et m=3.

R(P,Q)=\begin{vmatrix} 
a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0
\end{vmatrix}

La proposition suivante est la raison d'être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d'un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !

P=c+b X+aX^2,\;\;\;P'=b+2a X,\;\;\;a\neq0.
On calcule alors le discriminant de P comme déterminant d'une matrice 3x3 (règle de Sarrus),

R(P,P')=
\begin{vmatrix} 
c & b & a   \\
b & 2a &0  \\
0  & b & 2a   
\end{vmatrix} = 
c\begin{vmatrix} 
 2a &0  \\
b & 2a   
\end{vmatrix} 
-b \begin{vmatrix} 
b & a   \\
b & 2a   
\end{vmatrix} = -a(b^2-4ac).

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace \mathbb{C}^n on appelle lieu discriminant le sous-ensemble \Delta formé des (a_0,\,\ldots\,,a_{n-1}) tels que le polynôme

P = a_0+ a_1X  +\,\cdots\, + a_{n-1}X^{n-1} +  X^n

possède une racine multiple.

  1. Montrer que \mathbb{C}^n\setminus\Delta est connexe par arcs.
  2. Quel est le groupe fondamental de \mathbb{C}^n\setminus\Delta ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...