Deux axes de symétrie radiale

Par MathOMan, jeudi 14 janvier 2010 à 10:51 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.

On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.

Question :

Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?

Commentaires

1. Le vendredi 15 janvier 2010 à 22:33, par edp

C'est une sphère ?

2. Le vendredi 15 janvier 2010 à 22:35, par edp

sphère c'est une coquille, je voulais dire boule ouverte ou boule fermée pour la distance euclidienne

3. Le samedi 16 janvier 2010 à 12:07, par JLT

Exact.

(on montre que les axes passent par le centre de gravité, puis que l'objet est invariant par toute rotation.)

4. Le samedi 16 janvier 2010 à 12:09, par JLT

Je voulais dire par toute rotation dont l'axe passe par le centre de gravité.

5. Le samedi 16 janvier 2010 à 19:50, par MP

Oui, j'avais trouvé ça aussi mais la marge est trop petite pour que je mette la démonstration ;-)

(blague à part, je n'arrive pas du tout à formaliser l'intuition pour écrire une preuve "propre")

Et si on enlève certaines des hypothèses, on obtient quoi de plus ?
(par exemple si on enlève convexe, on peut obtenir aussi les coquilles sphériques ouvertes ou fermés ou "mixtes")

6. Le dimanche 17 janvier 2010 à 10:34, par JLT

Soit C un objet borné non vide (non nécessairement convexe), et soit G le groupe des rotations qui conservent C. Soit C' l'ensemble des points qui sont à distance <1 de C. Comme C' est un ouvert non vide et borné, il possède un centre de gravité. Quitte à changer d'origine, on peut supposer que le centre de gravité de C' est O. Or, G laisse C' invariant, donc O également.

Soit A l'ensemble des points M de la sphère unité S de centre O tels que C soit invariant par rapport à l'axe OM. On constate que si r et s sont des rotations d'axes OM et ON, alors $rsr^{-1}$ est d'axe Or(N). Donc si M et N appartiennent à A, le cercle (sur la sphère S) de centre M et de rayon d(M,N) est inclus dans A. En appliquant ce qui précède à deux points quelconques de ce cercle, on obtient que la calotte $\{x\in S/\; d(M,x)\le 2d(M,N)\}$ est incluse dans A. Par une récurrence immédiate, $\{x\in S/\; d(M,x)\le 2^n d(M,N)\}$ est inclus dans A pour tout entier n, donc S est inclus dans A. Ceci prouve que toute rotation d'axe passant par O appartient à G, donc que C est une réunion de sphères concentriques.

7. Le lundi 18 janvier 2010 à 23:43, par MathOMan

Voilà, tout est dit ! Clairement. Bravo !

8. Le mercredi 20 janvier 2010 à 08:06, par MP

Je ne devais pas être au niveau pour celui-là...

J'imagine que le caractère "ensemble ouvert borné implique existence du centre des masses" est un théorème classique qui doit dire d'une fonction continue est intégrable sur un ouvert borné de R3...
Par contre, je ne vois pas bien pourquoi (sans invoquer d'une certaine façon la convexité) ce centre des masses devrait être un élément de C' (ou alors c'est implicite dans vos lignes)

Pour le fait que G conserve aussi C' si il conserve C, je crois saisir :
Quelle que soit la rotation g de G considérée, l'image d'un point M de C qui est à distance d<1 d'un point N de C' possède une image M' par g qui est aussi à distance d du point image par g de N=g(N').
Donc N' est dans C' et donc Im(g,C') inclu dans C'. On a la réciproque. Si A est dans C' alors on peut lui associer un point B de C tel que d(A,B)=s<1. B'=g^-1(B) est aussi dans C car g-1 est une rotation de G aussi, et A'=g^-1(A) vérifie d(A',B')=d(A,B)=s et s<1 et donc A' est dans C', et comme A=g(A'), A est dans Im(g,C') et donc C' inclu dans Im(g,C'))

J'ai ensuite aussi du mal pour "formaliser" le fait que G conserve alors O (je comprends bien intuitivement que si l'ensemble est invariant par une rotation, le centre de gravité de l'ensemble image est le même que celui de l'ensemble de départ mais pour le montrer proprement... c'est un changement de variable dans l'intégrale volumique qui défini le centre de gravité c'est ça ? ou alors c'est une autre définition du centre de gravité qui rend cela plus immédiat)

Pour la suite, je comprends sans avoir besoin de détailler davantage... (ouf !)

En tout cas, merci pour ces "exercices" remue méninges !

9. Le mercredi 20 janvier 2010 à 10:12, par JLT

Le centre de gravité F de C' est défini par

$F=(1/V)\int_{m\in C'} m dm$ , où dm = dxdydz est la forme volume et $V=\int_{m\in C'}dm$ est le volume de C'. Ces intégrales ont un sens en théorie de Lebesgue car la fonction caractéristique d'un ouvert est mesurable, et V est non nul car C' est un ouvert non vide, et V est fini car C' est borné.

Pour tout $g\in G$ ,

$g(F)=(1/V)\int_{m\in C'}g(m)dm = (1/V)\int_{m\in g(C')}mdm$ (d'après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples et le fait que det(g)=1). Comme g conserve le volume, ceci montre que g(F) est le centre de gravité de g(C'). Or, g(C')=C' donc g(F)=F.

10. Le mercredi 20 janvier 2010 à 12:14, par MP

merci pour ces précisions...

Il manquait bien la brique "théorie de Lebesgue" dans ma valise mathématique...

11. Le jeudi 21 janvier 2010 à 13:48, par MathOMan

Je ne sais pas pourquoi vous vous fixez sur le centre de gravité. On peut s'en passer si on argumente comme suit. Voici le résumé d'une preuve.

Soit C un sous-ensemble de l'espace euclidien.

Lemme : Si C est invariant par rapport à L et L' et si r est une rotation d'axe L alors C est aussi invariant par rapport à r(L').

Maintenant on suppose C borné non-vide et invariant par rapport à deux axes distinctes D et D'.

Montrons que D et D' sont concourantes. Supposons par l'absurde que la distance entre D et D' est strictement positive. Alors il existe P dans D et P' dans D' tels que la droite (PP') est perpendiculaire à D et D'. Notons D'' l'image de D par la rotation d'angle $\pi$ et d'axe D'. Alors D'' est perpendiculaire à (PP') et passe par le point P'+(P'-P). Par une récurrence et à l'aide du lemme on déduit que pour tout entier k il existe un axe de symétrie de C perpendiculaire à (PP') et passant par le point P'+k(P'-P). En particulier tout point de C possède un symétrique aussi loin qu'on veut — contradiction avec le fait que C est borné.

Notons O le point d'intersection de D et D', S² une sphère de centre O, et N l'un des points d'intersection de S² avec D. Par rotation autour de D' le point N décrit un cercle K. D'après le lemme on sait que (OT) est axe de symétrie de C pour tout T dans K. Par rotation autour de D le cercle K décrit une calotte sur la sphère S². D'après le lemme on sait que pour tout point T de cette calotte la droite (OT) est axe de symétrie de C.
En continuant ainsi, on peut élargir cette calotte pour finalement couvrir toute la sphère.

Par conséquence toute droite passant par O est axe de symétrie de C. On en déduit que si P est dans C, alors C contient toute la sphère de centre O et de rayon OP. Cela montre que C est une union de sphères concentriques. Et si, en plus, C est supposé convexe alors c'est une boule (ouverte ou fermée).

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Oeuf de pâques

Par Mathoman, mardi 4 mai 2010 à 11:57 - Maths pour tous - Tags

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

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Remarques sur l'enseignement des math au collège

Par Mathoman, samedi 27 mars 2010 à 14:37 - Enseigner les maths - Tags

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

$\frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8}\;.$

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

$\begin{array}{rcl} \frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8} \;&=&\;\frac3{2^3\times5}\;+\;\frac1{2^2\times3}\;+\;\frac3{2^3} \\ \;&=&\;\frac{3\times3}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{2\times5}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{3\times3\times5}{2^3\times3\times5} \\&&\phantom{\frac{\frac AA}{\frac AA}}\\ \;&=&\;\frac{9+10+45}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{64}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{8}{3\times5}\;=\;\frac{8}{15} \end{array}$

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est $2^3\times3\times5$ car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres — mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle. On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite. En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

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Ceci n'est pas pipé

Par Mathoman, lundi 5 avril 2010 à 19:31 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

En probabilités on dit qu'un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d'un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie.

Si on lance deux dés habituels et si on prend la somme des deux résultats on obtient un nombre entre 2 et 12. Ce qui étonne alors souvent le débutant c'est que la probabilité de cette somme n'est pas équirépartie ; par exemple, obtenir un 11 est moins probable qu'obtenir un 10. La raison pour cela est qu'on retrouve le 10 avec (4,6) ou (6,4) ou (5,5) tandis que pour le 11 on a seulement les deux possibilités (5,6) ou (6,5).

Question (existence d'un jeu de deux dés pipés) :

Peut-on piper un couple de dés de sorte que le jeu qui consiste à prendre la somme des deux dés lancés donne une loi aléatoire équirépartie ?

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Casse-tête avec la moquette

Par Mathoman, mercredi 1 octobre 2008 à 01:14 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?

Couper le grand morceaux de moquette en deux

Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

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Un exercice bizarre à propos de la température sur terre

Par Mathoman, vendredi 23 octobre 2009 à 12:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son génie à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

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Un exercice vraiment vache

Par Mathoman, jeudi 7 janvier 2010 à 10:57 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l'hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids.
Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids.

D'ailleurs, pour ceux qui se sont posés la question : le poids d'une vache (Bos primigenius taurus) se situe entre 500 et 800 kg, et celui d'un taureau peut atteindre 1200 kg. Evidemment cela n'a pas d'importance pour l'exercice.

Et comme je n'aime pas les billet trop courts, voici un autre exercice (indépendant du premier). Retrouvez les neuf mathématiciens célèbres cachés dans la phrase suivante :

Quand t’auras fini de classer des cartes et de les ranger, coche ici et ferme à clef la grange : la dernière fois t’as laissé tout ouvert, et les chats l’ont saccagée et ont volé des poissons.

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Revisitons la multiplication !

Par Mathoman, samedi 3 janvier 2009 à 14:31 - Maths pour tous - Tags

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

Multiplication posée du bon élève.

Multiplication posée de deux nombres, comment calculer le produit de deux nombres

Méthode du cancre.

Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

Mode d'emploi :

Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).

Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

Trouver le produit de deux nombres entiers

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.

Questions

Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

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Exercice sur les cordes d'un cercle

Par Mathoman, samedi 26 décembre 2009 à 19:38 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit $\scr{C}$ un cercle, A,B deux points distincts sur $\scr{C}$ et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

cercle, cordes, milieu d'un segment, preuve difficile

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

Par Mathoman, lundi 15 septembre 2008 à 23:44 - Maths pour matheux - Tags

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

$\mathbb{B}^1$ est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord $\mathbb{S}^0=\{-1,1\}$ est constitué des deux extrémités. $\mathbb{B}^2$ est un disque et son bord $\mathbb{S}^1$ est un cercle. $\mathbb{B}^3$ est une ``vraie'' boule et son bord $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère.
$\;$

Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.

Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
- Si n=1 alors on est dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ . Le demi-cercle supérieur $\mathbb{S}^1_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment $\mathbb{B}^1$ (en bleu).
  $\;$
- Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord $\mathbb{S}^2_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque $\mathbb{B}^2$ (en bleu).
  $\;$

Chaque droite $D\in\mathbb{P}^n$ coupe la sphère $\mathbb{S}^n$ en deux antipodes: $~\frac{x}{||x||}~$ et $~\frac{-x}{||x||}~$ où $x$ est arbitraire dans $D\backslash\{0\}$ .
Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

De cette observation on déduit que l'application $f\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,$

est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

$\forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />$

Par conséquence $\: \mathbb{P}^n\:$ est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de $\: \mathbb{S}^n_+\:$ par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que $\: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \:$ et l'équateur n'est rien d'autre que le bord $\: \mathbb{S}^{n-1}\:$ de $\: \mathbb{B}^n\:$ . Par conséquence $\: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\:$ .

$\,$
Le résultat précédent implique en particulier que $\:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:$ .
Or $\:\mathbb{B}^1$ =[-1,1] et par conséquence $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
Ainsi $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est en bijection avec le cercle $\,\mathbb{S}^1\,$ . Nous obtenons $\mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1$ . Illustration:

D'autre part $SO(2)$ est le groupe des rotations du plan euclidien orienté $\mathbb{R}^2$ . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans $[0,2\pi[$ il est évident que $SO(2)$ est en bijection avec le cercle $\mathbb{S}^1$ .
Conclusion: $SO(2)\simeq \mathbb{P}^1$ .
$\,$

Pour la suite voir le fichier pdf.

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Vision dans l'espace

Par Mathoman, vendredi 19 septembre 2008 à 16:14 - Maths pour tous - Tags

Dessin d'un cube transparent et deux interprétations possibles

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

Quelle jambe est levée, la gauche ou la droite ?

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Fille qui tourne

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

Maurits Cornelis Escher : Escalier

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

triangle de Penrose, triangle impossible

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Deux axes de symétrie radiale

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