Mathematiques pour les initiés

Mieux comprendre la topologie des matrices singulières

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Mon billet récent sur la dimension maximale d’un sous-espace affine contenu dans l’ensemble des matrices non-inversibles m’a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat. On note \({\mathcal M}_n(\mathbb{R})\) l’espace des matrices n x n à coefficients réels et \(GL(n,\mathbb{R})\) le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que \(GL(n,\mathbb{R})\) est un […]

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Preuve que SO(3) est l’espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l’exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif. Réponses aux questions \(\mathbb{B}^1\) est l’intervalle fermé [-1,1] et son bord \(\mathbb{S}^0=\{-1,1\}\) est constitué des deux extrémités.\(\mathbb{B}^2\) est un disque et son bord \(\mathbb{S}^1\) est un cercle.\(\mathbb{B}^3\) est une « vraie » boule et son bord \(\mathbb{S}^2\) est une « vraie » sphère.\(\;\) Les […]

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Petite question sur les groupes

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Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ? Il y a une solution élégante, pas très longue…

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SO(3) e(s)t l’espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d’une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l’a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l’a expliquée… Ci-dessous j’explique, en forme d’exercice corrigé, pourquoi le groupe […]

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