Dans ma vie musique et mathématiques tiennent une place à peu près égale. Les deux me passionnent, me procurent du plaisir, m'étonnent toujours et font que je reste un éternel élève. Quand je dis aux gens que je partage mon temps entre musique et maths, ça ne les surprend pas ; les mathématiques et la musique seraient liées, disent-ils. Mais en quoi consiste ce lien ? Généralement on me donnne trois types de réponses :

1. La musique et les maths sont abstraites.
2. Les deux utilisent des systèmes de notation illisibles pour le commun mortel.
3. On y fait des calculs.

A mon avis tous ces points restent un peu à la superficie.

1. Oui, les maths sont abstraites car elles sont construites sur un système d'axiomes qui n'est pas imposé par l'observation de la nature (comme les lois physiques) mais par un choix arbitraire soumis seulement à la logique ; et la musique est abstraite car elle ne dit rien de concret (comme une pièce de théâtre) et car on ne peut pas la toucher (comme une sculpture).
2. Oui, les deux font recours à des systèmes d'écriture qu'il faut apprendre. Mais dans les deux cas la fixation par l'écrit n'est qu'un moyen et pas la finalité ; le théorème de Pythagore existe sans qu'un géomètre grec le trace dans le sable, et la musique existe pour être écoutée et non pour être lue. De plus, pas toutes les musiques sont écrites ; le solfège était inventé pour la musique classique européenne et ne se transpose pas forcément aux musiques d'autres cultures qui fonctionnent par transmission orale ou à la musique électronique de nos jours.
3. Oui, dans les deux on peut être amené à faire des calculs. Mais encore les calculs ou la combinatoire ne constituent pas la finalité, ni dans la musique sérielle ou dodécaphonique, ni dans une triple-fugue de Bach, ni chez Bartók quand il place le climax d'un mouvement au moment qui correspond au nombre d'or.

Toutes ces réponses oublient un point essentiel qui, à mon avis, caractérise à la fois les sciences mathématiques et l'art de la musique :

La polyvalence des objets, ou le changement de référence

Une grande partie du travail d'un mathématicien consiste à considérer un même objet mais sous plusieurs angles différents, puis de traduire les observations d'un point de vue à l'autre. Ce qui est étonnant c'est qu'on peut en tirer, de ce pur travail de traduction, des conclusions intéressantes ! Et la même chose est vraie en musique ; une même mélodie, un même rythme, une même harmonie peuvent être ça ou ça. Ca l'air assez flou, je vais m'expliquer sur des exemples simples.

Ca mais aussi ça — les maths comme la science des différents points de vue

Mon prof de physique avait l'habitude de se moquer des matheux qui, selon lui, ramènent tout énoncé à des affirmations triviales du genre 0 = 0. Il est vrai que les maths construisent un monde à partir de très peu. L'essentiel se fait en traduisant des différents points de vues. Proposons nous par exemple de prouver l'affirmation suivante.

Proposition sur l'orthocentre. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire se coupent en un point commun.

Les hauteurs se coupent en un point

Preuve. Soit ABC un triangle. Rappellons que, par définition, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Il ne faut pas la confondre avec la médiatrice sur [BC] qui, par définition, est perpendiculaire à [BC] et passe par le milieu de [BC].
Il est facile de voir que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. En effet, la médiatrice sur [AC] est l'ensemble des points équidistants à A et C ; et de manière analogue c'est vrai pour les deux autres médiatrices. Donc le point d'intersection des médiatrices sur [AC] et [BC] est équidistant à A et C et à B et C, donc il est aussi équidistant à A et B. Par conséquence il se trouve sur la médiatrice sur [AB].
En fait, l'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

Maintenant revenons au problème de l'intersection des hauteurs. Nous construisons un nouveau triangle A'B'C' comme indiqué dans le dessin suivant.

Les hauteurs du petit triangle ABC sont les médiatrices du grand triangle A'B'C'

Les droites (AB) et (CA') sont parallèles ; de même (AC) et (BA'). Donc ABA'C est un parallélogramme, d'où l'égalité AB=CA'. De même on montre AB=B'C. Il en resulte que B'C=CA' ou encore que C est le milieu de [A'B']. Par conséquence la hauteur issue de C dans le triangle ABC coïncide avec la médiatrice sur [A'B'] du triangle A'B'C'. On peut faire le même raisonnement sur les deux autres hauteurs. Dire que les les hauteurs de ABC sont concourantes revient donc à dire que les médiatrices de A'B'C' sont concourantes — et nous savons que cette dernière affirmation est vraie, q.e.d.

Résumé. Les trois hauteurs d'un triangle sont aussi les médiatrices d'un autre triangle. L'essentiel de la preuve consiste en la traduction d'un point de vue dans l'autre. L'objet mathématique, ici une droite, peut être est ça, mais aussi ça. C'est de la pure ambivalence, et le mathématicien en est le traducteur !

Un autre exemple est celui du problème des fourmis sur une tige qui semble compliqué au premier abord, mais est finalement trivial si on change de référentiel.

Ca mais aussi ça — la musique comme l'art de l'ambivalence

Un exemple basique concerne le rythme. Beaucoup de compositeurs (notamment Brahms) utilisent le fait que le nombre six est 3+3 mais aussi 2+2+2. Pour ceux qui connaissent le solfège (et le calcul des fractions), cela se traduit par l'égalité 6/8=3/4. Par conséquence on peut très bien faire la contrebande de quelques mesures 3/4 dans un morceau 6/8, sans gêner le groove général de la musique (au contraire ça en rajoute). Je crois que l'exemple le plus connu est la chanson I like to be in America de la West Side Story de Leonard Bernstein.

Un autre exemple vient de l'harmonie. Comme nous venons parler de triangles en maths, parlons de triades (accord de trois notes) en musique. Prenons par exemple l'intervalle La-Do. Cette petite tierce peut faire partie de la triade La-Do-Mi (La-mineur) aussi bien que de la triade Fa-La-Do (Fa-majeur). C'est donc ça, mais aussi ça ! Une astuce des compositeurs est d'utiliser cette ambivalence au début d'une musique comme moyen de laisser l'auditeur dans le flou. Il ne sait pas si ça va aller vers mineur ou majeur ! Gustav Mahler le fait de manière géniale dans son fameux Adagietto (4^e mouvement de la cinquième symphonie). En plus, il nous trompe encore à l'arrivée avec une appogiature, c'est-à-dire il nous fait entendre simultanément les deux tonalités La-mineur et Fa-majeur, seulement la harpe et le pizzicato de la basse confirment avec la fondamentale qu'on est bien dans Fa.

Gustav Mahler : Adagietto de la 5ème symphonie

Pendant deux mesures l'auditeur craint d'être dans La-mineur, et quand il s'affirme finalement Fa-majeur, quelle satisfaction ! Vous pouvez l'écouter ci-dessous. Evidemment ce n'est qu'un exemple très basique et on en trouve beaucoup d'autres plus recherchés dans la littérature musicale (notamment les modulations ou l'enharmonie qui sont en analogie avec l'exemple des triangles cité en haut).

Un dernier point commun entre maths et musique : c'est beau et ça ne sert à rien (enfin l'utilité n'est pas leur but premier). Mais une grande différence : les maths sont seulement belles pour ceux qui les font, tandis que la musique peut-être appréciée passivement.

D'ailleurs il y a des gens, plus formés que moi, qui réfléchissent aux liens structurels entre maths et musique et qui publient des recherches sérieuses sur ce sujet. De temps en temps je vais dans leur séminaire MaMuPhi à l'Ircam. Je me rappelle en particulier d'un exposé donné par le mathématicien et pianiste de jazz Guerino Mazzola ; il faisait le lien entre théorie des faisceaux et structure musicale. Je connais les faisceaux, je connais la musique, mais apparemment pas assez profondément pour avoir compris ces liens... Finalement, dans les deux domaines je ne suis qu'un working mathematician ou working composer qui ne se soucie pas trop des fondements souterrains ;-)

Citation de Paul Erdös (1913-1996)

Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.

Après les maths et la musique, voici une petite détente avec l'art et la musique. Le groupe Hold Your Horses! a produit un très beau clip musical où les membres du groupe font un voyage à travers l'histoire de l'art. Aux dernières siècles, avant l'apparition du grammophone, puis de la radio et de la télé, l'un des passe-temps de la bourgeoisie et l'aristocratie consistait à reposer, sur scène, des tableaux connus des grands peintres. (Beaucoup d'écrivains par exemple Goethe dans ses Affinités électives, décrivent de telles séances qui parfois impliquaient la collaboration de toute la famille et des employés de la maison.)

Je pense que cette vidéo est très bien réussie, mais je reconnais une partie de ces tableaux vivants, mais pas tous. Lesquels reconnaissez-vous ?

Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?

Il y a une solution élégante, pas très longue...

Les professeurs de maths au collège embêtent les élèves avec des questions comme

Quel nombre est plus grand, 3/4 ou 7/9 ?

Avant l'arrivée des logiciels d'impression musicale, les imprimeurs de partitions de musique devaient bien maîtriser ce genre de calcul de fractions pour faire les bons alignements verticaux.

Par exemple dans la première mesure de l'extrait ci-dessus, où les violons sont en 3/4 et les autres en 4/4, il fallait bien réfléchir si le la indiqué en rouge doit être placé avant le ré indiqué en vert. En fait, le la est attaqué avant le ré car 1/5 est un peu plus grand que 3/16.

Clairement il s'agit là de questions assez théoriques parce que le tempo de cette musique est rapide et qu'on n'entend pas ces détails dans le tutti de l'orchestre (un aperçu de le page entière de cette partition est ici.) Et les violonistes ne se demandent probablement pas pourquoi ils doivent jouer leurs 5-uplets légèrement plus vite que les triplets qui se trouvent dans les mesures suivantes !

Question : qui a composé cette musique ?
Indication : il s'agit d'un ballet écrit pour les fameux Ballets Russes de Diaghilev à Paris.

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

• comment trouver le centre d'un cercle
• comment calculer un pourcentage
• calculer une circonférence
• algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

1. blog ennuyeux
2. comment etre elégante en classe
3. pourquoi pas de belle fille en math spé
4. faire des math ou pas
5. comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
6. comment faire un piege a oiseau qui marche
7. piege a oiseaux sans piege
8. thèse doctorat reggae
9. ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
10. combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
11. comment resoudre une equation du premier degre sans pi
12. jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
13. apprendre beaucoup en peu de temps
14. bien gerer son bac avec humour
15. komen reusir le bac san travailé
16. avec quelle musique faire des maths ?
17. comment etre un bon eleve dans la classe
18. comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
19. insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
20. je veux qu'on me calcule cet exercice
21. comment faire une opération de transformation un homme en une femme
22. peut on réapprendre les maths à quarante ans
23. qui fait les math à ma place
24. demontrer de fausses égalités mathématiques
25. elle est ferme
26. image filles sur canapé
27. colloque proust contrepeterie
28. les étudiants ne savent plus faire une équation
29. exercice pour avoir le prix nobel en maths
30. apres combien de temps un chien oublie son maitre
31. comment tracer une droites concourantes
32. apprendre la corégraphie de nobody's perfect
33. je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
34. combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
35. comment trouver le mot je t'aime en math
36. comment être une fille amusante
37. comment aimer son mari
38. maths et masturbation
39. extrait x les petit nin avec femme

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

Après les maths et la musique et les maths du côté de chez Proust voici les mathématiques dans un roman.

A l'occasion de la journée mondiale de la femme le bloggeur El Jj a dédié un billet aux mathématiciennes. Ca m'a donné l'idée de parler d'un grand romancier qui rend hommage à sa femme mathématicienne en décrivant son incompréhension devant la science qu'elle étudie. Il s'agit de Thomas Mann (lauréat du prix Nobel de littérature en 1929) ; lorsque Mann rencontra sa future épouse Katia Pringsheim, celle-ci était étudiante en mathématiques (plus tard elle abondonnera cette voie pour se consacrer à leurs six enfants).

Dans le roman Königliche Hoheit (Altesse Royale, 1909) Thomas Mann dépeint comment il a conquis le cœur de Katia à travers deux personnages : le protagoniste Klaus Heinrich et l'étudiante en mathématiques, Imma Spoelmann. Voici un extrait que je trouve très amusant :

[...]
— Non, dit-il, aujourd'hui vous ne ferez pas d'algèbre, mademoiselle Imma, vous ne jouerez pas dans les espaces au-dessus de l'atmosphère, comme vous dites ! Regardez donc le soleil !... Vous permettez...? Il s'avança vers la petite table et prit en main le cahier de cours. Ce qu'il vit était ahurissant. En une écriture embrouillée, d'une épaisseur enfantine, qui laissait reconnaître la tenue de porte-plume propre à Imma Spoelmann, une fantaisie abracadabrante, un sabbat du runes entrecroisées couvrait les pages. Des signes d'écriture grecque se mariaient avec des caractères latins et des chiffres placés à différentes hauteurs, entremêlés de croix et de traits, alignés au-dessous ou au-dessus de lignes horizontales, à la manière des fractions, surmontés d'autres lignes qui formaient comme une tente, égalisés par de petits traits doubles, encadrés de rondes parenthèses, et réunis par des crochets carrés en grandes formules massives.
Des lettres isolées, placées en avant comme des sentinelles, se détachaient à droite, en haut des groupes enclavés. Des signes cabalistiques, complètement incompréhensibles au profane, entouraient de leurs bras les lettres et les nombres, tandis que des fractions les précédaient et qu'au-dessus d'eux, à la tête et aux pieds, planaient des nombres et des lettres. Des syllabes bizarres, abréviations de paroles mystérieuses étaient semées partout, et entre les colonnes nécromantiques, étaient écrites des phrases et des remarques en langage ordinaire, dont le sens dépassait tellement les choses humaines qu'on pouvait les lire sans en comprendre un mot, comme une incantation.

Klaus Heinrich leva les yeux sur la petite silhouette qui se tenait auprès de lui en robe chatoyante, drapée dans le voile noir de ses cheveux et regarda la petite tête exotique dans laquelle tout cela avait un sens et prenait une vie sublime et facile. Et voilà donc les arts impies, dit-il, qui vous feraient négliger cette belle matinée ?
[...]

Ca se passait il y a plus de cent ans. A cette époque il était encore exceptionnel de voir une jeune femme entamer des études supérieures, voire les maths — et ça a dû impressionner quelqu'un comme Thomas Mann qui n'a même pas passé son baccaluréat !

Si Katia a choisi de faire les études de mathématiques ce n'était certainement pas un hasard. En effet le père de Katia était Alfred Pringsheim, professeur de mathématiques à l'université de Munich. Même s'il n'est pas aussi illustre que son contemporain et collègue munichois Lindemann (qui est passé à la postérité pour sa démonstration de la transcendance de ), nous rencontrons encore aujourd'hui le nom Pringsheim sur certains travaux au sujet des séries et des fonctions analytiques.
D'ailleurs Thomas Mann au aussi éternisé son beau-père dans ce roman car le père du personnage fictif Imma Spoelmann porte les traits physiques et caractérielles d'Alfred Pringsheim. En revanche, dans le roman il n'est pas mathématicien mais simplement un homme très riche ce que Pringsheim, fils d'industriels prospères, était aussi dans la vraie vie.

Voici deux figures :       $  $  $  $       et       o  o  o  o .

Question :  Qu'ont-elles en commun ?   Réponse :  4.

Ce qui nous paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Mon ami Nik est parti un an enseigner dans une université à Tokio. C'est une période assez longue pour tenter d'apprendre le japonais ; mais ce n'est pas une langue comme les autres ! Normalement l'une des premières choses qu'on fait dans une langue étrangère, c'est apprendre à compter. Or compter en japonais n'est pas pour les débutants, c'est réservé aux avancés car on compte avec des nombres différents, selon le type d'objet.

A la base il y a deux façons de compter 1, 2, 3,... , à savoir ichi, ni, san, yon, go,... ou hito, futa, mi, yo,... — plus précisément il faut faire les distinctions suivantes :

• des objets longs et fins (parapluies, crayons) :   ippon, nibon, sanbon,...
• des objets plats (feuilles, tickets) :   ichi-mai, nimai, sanmai,...
• des étages d'un immeuble :   ikkai, nikai, sankai,...
• les mois :   ichi-gatsu, ni-gatsu, san-gatsu,...
• les jours dans le mois :   tsuitachi, futsuka, mikka, yokka,...
• des personnes :   hitari, futari, san-nin, yon-nin,...
• des liquides (bières pression) :   hitotsu, futatsu, mittsu, yotsu,...

Peut-être il y a là un rélique d'une époque lointaine où on comptait encore sans avoir une idée abstraite de la notion de nombre. Savoir compter et faire abstraction des objets qu'on compte, c'est quelque chose qu'on n'invente pas, on l'apprend. C'est, comme l'invention de la roue, une acquisition culturelle : il suffit qu'une seule fois un seul humain ait l'idée puis ça se répand et se transmet de génération en génération.

L'histoire des mathématiques est pleine d'exemples de concepts simples et basiques qui ont pris des siècles pour être découverts — pourtant, expliqués clairement, ils sont compréhensibles par tous. C'est pourquoi on pourrait attendre en vain qu'un élève invente lui-même les outils nécessaires pour résoudre un problème...

Lorsque j'ai travaillé avec Gérald Calderon sur le film Origine Océan nous avons consacré une petite scène à un être unicellulaire nommé LUCA (Last Universal Common Ancestor), notre dernier ancêtre commun universel dont sont issues l'ensemble des espèces.

On peut se poser la question amusante s'il existe un LUMA (Last Universal Math Ancestor) — et pour répondre à cette question on peut s'aider d'une base de données de l'université américaine NDSU.

Il s'agit d'un arbre généalogique qui permet d'associer à chaque docteur en mathématiques du monde entier son directeur de thèse. Ainsi j'ai découvert que si je remonte six générations, je trouve parmi mes aïeux l'illustre Hermann von Helmholtz. Mais mon cousin Detlev qui a soutenu sa thèse en 2001 fait encore mieux : il est un descendant scientifique de Hilbert et donc du prince des maths Carl Friedrich Gauß !

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres — mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

En Allemagne des élèves apprennent les mathématiques en dansant !
On peut les admirer (ou non) en vidéo ici :

Voilà encore une bonne idée pour l'Education Nationale, n'est-ce pas ? Dans l'esprit moderne d'interdisciplinarité on crée un cours traversal entre mathématiques, éducation physique et musique, où l'élève apprend à réprésenter des objets d'une nature abstraite, comme par exemple le chiffre 3 par une groupe de trois élèves ou par une certaine position du corps ou encore par la distance de trois pas, incitant ainsi l'élève à être créatif tout en exigeant ses compétences sociales et de travailler en collectif... (Je n'arrive pas à bien imiter le jargon des Bulletins Officiels, je devrais demander à mon collègue Tanguy de le faire à ma place, il s'y connaît très bien.)

D'ailleurs je n'ai rien contre l'interdisciplinarité, au contraire. Quand je passais mon bac en Allemagne, j'avais à choisir deux matières principales, et j'ai choisi les maths et la musique de sorte que mon interprétation d'une sonate de Brahms avait le même coefficient au bac que mes connaissances des fonctions trigonométriques réciproques... Il s'agissait donc plutôt d'une pluridisciplinarité. Je pense qu'avant de vouloir lier deux matières de manière traversale il faut déjà maîtriser chacune séparemment. (La spécialisation sur deux ou trois matières principales me semble d'ailleurs une bonne chose pour les deux dernières années du lycée, un concept peut-être à intégrer dans les réformes actuelles du lycée.)

Le mathématicien Rudolf Benesh (1916-1975) s'ennuyait peut-être durant ses heures de bureau à Londres et conceva un système de notation pour aider sa femme, danseuse professionnelle, à mémoriser tous les pas d'une chorégraphie. Le premier ballet entièrement noté par son système était le Petroushka de Stravinski. Ce n'est peut-être pas un hasard que Benesh était mathématicien — en mathématiques on est constamment confronté au problème de chercher un compromis entre une notation très précise mais lourde et une notation allégée et intuitive mais ambiguë.

Rudolf Benesh expose son système de notation

Je soupçonne mon collègue Tanguy (encore lui !) d'utiliser la notation de Benesh pour mémoriser les pas quand il danse le Step dans une salle de sport (mais sur le début de la vidéo il se trompe, il n'est pas synchro avec le prof, héhé).

A son instar je vais me mettre à nu également et montrer une petite vidéo où je danse la salsa. Il est vrai que la salsa c'est plus facile au niveau de la synchronisation, ce n'est pas une danse en groupe, il n'y a pas de chorégraphie préscrite, pas besoin d'une notation à la Benesh, la danseuse se laisse guider par le danseur qui décide donc tout seul ce que les deux doivent faire. J'adore ce rôle ;-)

Mathoman et Kenia dansent sur la musique salsa

D'ailleurs cette vidéo a été prise au centre commercial à La Défense. En fait, quelques jours de la semaine certains employés à La Défense enlèvent leur veste ou leur cravate et se retrouvent à midi pour danser le Tango ou la Salsa, question de se détendre un peu. Et comme je donne des cours dans une école d'ingénieurs pas loin de là, quelques fois je les rejoins. Ca me fait énormément du bien entre deux cours avec des intégrales complexes — c'est du réel, dans  !

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?