Petit calcul appliqué

Depuis une vingtaine d’années il est à la mode, dans l’enseignement des mathématiques au lycée, de sacrifier les concepts et de les remplacer par des exercices « tirés de la vraie vie ». Mais parfois ces exercices sont plutôt « tirés par les cheveux », comme celui sur le crocodile et le zèbre qui faisait écouler beaucoup d’encre sur le web. Dans cet exercice un crocodile chasse un zèbre. Malgré toute l’interdisciplinarité en vogue, les concepteurs de l’exercice n’ont-ils pas consulté leurs collègues biologistes? Ne savent-ils pas qu’un crocodile chasse à l’affut? En fait, un crocodile « de la vraie vie » reste caché dans l’eau trouble jusqu’au dernier moment, où il se lance sur sa proie; jamais il ne s’approcherait de sa proie en rampant sur la terre. Pour se faire une idée de cette technique de chasse voir par exemple cette vidéo.

Voici une proposition d’exercice, tiré de ma vraie vie. Recemment Thierry, un ami de longue date, m’appellait en aide. Il vend et répare des piscines à Nice et me pose le problème suivant: « Je suis chez un client qui a une fuite sur un tuyau de 9m de long et de diamètre intérieur 4.3 cm. Il est encastré sous une terrasse et a une denivelée de 50 cm environ. Plusieurs fois j’ai rempli le tuyau en entier et attendu quelque temps. Chaque fois je pouvais récuperer exactement 9.8 litres d’eau en ouvrant la vanne à l’extremité inférieure.

Où est-ce que je dois casser le sol afin de trouver la fuite? »

Après quelques calculs je l’ai rappelé et je lui ai communiqué l’endroit où je le conseillais de creuser. Le soir même il répond: « Super, ça a fonctionné! Les mathématiciens sont excellents car le passage de la video à 380 € la demi heure n’avait rien trouvé. Tu m’as trouvé la réponse en quelques minutes sans te déplacer, assis dans ton fauteuil avec juste un crayon, un bout de papier et ta calculatrice. Merci! »

A quelle distance de l’extremité inférieure a-t-il creusé?

5 réponses
  1. philippe
    philippe dit :

    Le tuyau a un volume de 9*pi*0.043^2 m³ = 0.052279 m³ = 52.279 litres
    Si on suppose le tuyau est percé au bout d’une longueur x et que toute l’eau contenue dans le tuyau au-dessus de la fuite s’échappe en attendant assez longtemps les 9.8 litres d’eau restants doivent correspondre au volume restant d’eau soit :

    9.8 = (9-x)*pi*0.043^2 <=> x = (0.052279-0.0098)/(pi*0.043^2) = 7.3129

    Le tuyau est donc percé à 7.3129 m à partir de son extrémité "haute" ou 1.6871 m depuis l’extrémité basse. La plus grosse difficulté ici est de convertir les m3 en litres.

    Cependant si on est tatillon, on pourrait penser que cette valeur ne tenant pas compte de la pente ne donne pas la position de la fuite si on mesure la distance horizontalement sur la terrasse. Le tuyau étant incliné c’est en fait l’hypoténuse de longueur 9m d’un triangle rectangle dont l’un des deux autres cotés fait 0.5m. On en déduit (par Pythagore) que l’autre coté du triangle mesure sqrt(9^2-0.5^2)= 8.9861m puis (par Thalès ou avec un peu de trigonométrie) que la distance y depuis l’extrémité basse du tuyau vérifie :

    y/8.9861 = 1.6871/9 <=> y = 8.9861 * 1.6871/9 = 1.6845 m

    ça change pas grand chose, pas étonnant vu la faible pente on est dans le domaine de l’approximation des petits angles (mais je n’en dis pas plus car sinon on commencerai à faire des maths !)

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  2. MathOMan
    MathOMan dit :

    Salut Philippe, le raisonnement est correct, mais le résultat ne l’est pas. En fait tu as lu trop vite, ce n’est pas le rayon qui vaut 4.3 cm mais le diamètre 😉

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  3. Val
    Val dit :

    Le tuyau de 900cm de long peut contenir au maximum :
    900.&#8719;.2,15^2 = 13069,19cm^3 soit 13,06919 Litres.

    L’angle nous permettrait de donner l’intervalle exacte dans lequel se situe le trou, dans ce cas la il n’est pas vraiment important de le prendre en compte puisque cet intervalle est plus petit que la largeur de la pelle ou de la place requise pour la réparation du tuyau.

    Donc étant donné que Thierry récupère 9,8L à chaque fois il suffit de connaitre la longueur du tuyau pouvant contenir au maximum 9,8L soit :
    a.&#8719;.2,15^2 = 9800
    a = 9800/(&#8719;.2,15^2) = 674,84 cm

    Le trou se trouve donc aux environs de 6,7484 mètres à partir de la sortie du tuyau ou 9-6,7484 = 2,2516 mètres à partir de l’entrée du tuyau.

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