Les faux positifs

On a un test qui devrait détecter une certaine infection. Pour un exemple de calcul on fait les hypothèses suivantes. (Elles correspondent environ au test PCR pour SARS Cov2).

  • Le taux d’infection dans la population est 1%.
  • La sensitivité du test est 98.6%. Cela signifie qu’un infecté aura un résultat positif avec une probabilité de 98.6%.
  • La spécificité du test est 97%. Cela signifie qu’un non infecté aura un résultat négatif avec une probabilité de 97%.

Notons I l’infection et T un résultat positif. On a les trois probabilités suivantes (dont deux sont des probabilités conditionnelles) :

\[\mathbb P(I)=0.01,\qquad\mathbb P(T|I)=0.986,\qquad\mathbb P(\overline T|\overline I)=0.97.\]

Une autre manière de le dire est la suivante :

\[\mathbb P(\overline I)=0.99,\qquad\mathbb P(\overline T|I)=0.014,\qquad\mathbb P(T|\overline I)=0.03.\]

Erreur de première espèce : Une personne est choisie au hasard et subit un test. Elle obtient un résultat positif. Avec quelle probabilité n’est-elle pas infectée ? Pour cela il suffit d’inverser les conditions à l’aide du théorème de Bayes :

\[
\begin{align*}
\mathbb P(\overline I|T)&
=\frac{\mathbb P(\overline I\cap T)}{\mathbb P(T)}
=\frac{\mathbb P(T|\overline I)\mathbb P(\overline I)}{\mathbb P(T|\overline I)\mathbb P(\overline I)+\mathbb P(T|I)\mathbb P(I)}\\
&=\frac{0.03\times0.99}{0.03\times0.99+0.986\times0.01}\approx75\%.
\end{align*}\]

Conséquence : Parmi quatre personnes testées positives environ trois ne sont pas infectées (on les appelle faux positives). D’ailleurs, si le taux d’infection dans la population est encore plus faible que 1%, alors ce taux de faux positifs serait encore plus élevé.

Erreur de seconde espèce : Une personne est choisie au hasard et subit un test. Elle obtient un résultat négatif. Avec quelle probabilité est-elle infectée ? Autrement dit, avec quelle probabilité fait-elle partie des faux négatifs ?

\[
\begin{align*}\mathbb P(I|\overline T)&
=\frac{\mathbb P(I\cap \overline T)}{\mathbb P(\overline T)}
=\frac{\mathbb P(\overline T|I)\mathbb P(I)}{\mathbb P(\overline T|I)\mathbb P(I)+\mathbb P(\overline T|\overline I)\mathbb P(\overline I)}\\&
=\frac{0.014\times0.01}{0.014\times0.01+0.97\times0.99}\approx0.015\%.
\end{align*}\]

Conséquence : Si j’obtiens un résultat négatif je peux être quasiment certain qu’il est correct (contrairement à un résultat positif).

Remarque : Ne pas confondre le taux d’infection avec le taux de malades (qui est beaucoup plus faible) ou le taux des immunisés (qui est beaucoup plus grand). Notre hypothèse de 1% est communément admise (par exemple voir ici).

Pourquoi continue-t-on à faire des tests en grand masse ? Je ne le comprends pas. Tracer les personnes en contact avec une personne ayant eu un test positif n’a pas de sens, on va trop vite dans une « direction phantome ». Il y a deux semaines une dame de la sécurité sociale m’a appelé car toute la classe de ma fille était envoyée en quarantaine car un enfant avait un test positif. Quand je lui ai dit que je savais très bien qu’un test positif n’avait pas une grande signification et donc que tout cela était dépourvu de sens, elle n’était pas contente 😉

1 réponse
  1. Najeeb Andalou
    Najeeb Andalou dit :

    Oui, mais P (I/T)=25% c’est énorme lorsqu’il s’agit de pandémie et surtout en considérant le coefficient de reproduction!!
    Erreur de 3ème espèce. ..

    Répondre

Laisser un commentaire

Rejoindre la discussion?
N’hésitez pas à contribuer !

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *