Solutions bornées des équations différentielles linéaires
Je viens de recevoir une question d’un lecteur du blog:
Bonjour MathOMan, je bloque sur l’exercice suivant, et je n’ai pas réussi à obtenir de réponse. Peux-tu m’aider stp.
Soit \(A\) une matrice carrée, et soit \(B(x)\) une matrice carrée continue pour \(x \geq 0\), et soit \(Y\) un vecteur à \(n\) composantes. On considère le système \(Y’ = \big(A + B(x) \big)Y.\) Si toutes les solutions de \(Y’ = A Y\) sont bornées, alors quelles sont les conditions sur \(B(x)\) pour que les solutions du système \(Y’ = \big(A + B(x)\big) Y\) soient bornées sur \(\mathbb{R}_{+}\) ?
Merci par avance.
C’est une question intéressante mais je n’ai pas le temps d’y réfléchir toute de suite, donc je la propose à mes autres fidèles lecteurs 😉
Il faut regarder du coté de la formule de Duhamel. Si on note \(Z(t)=e^{At}Z(0)\) la solution de \(Z'(t)=AZ(t)\) alors la solution de \(Y'(t)=(A+B(t))Y(t)\) s’écrit :
\(Y(t)=e^{At}Y(0)+\int_0^t e^{A(t-s)}B(s)Y(s) ds\)
Bonjour,
je ne comprend pas donc comment trouver les conditions sur B(x) pour que la solution soit bornée?
Pour moi il y a une petite ambiguïté dans la question posée, si on note \(|| Y||=\sup_{t\in{\mathbb R}^+}| Y(t)|\)
et ton équation (avec condition initiale) :
\(Y'(t)=(A+B(t))Y(t)~~et~~Y(0)=Y_0\)
ce que tu sembles vouloir montrer c’est que "la solution est bornée"
\(\forall Y(0),~~\exists C>0,~~|| Y(t)||\leq C\)
mais on pourrait aussi le comprendre comme :
\(\exists C>0,~~\forall Y(0),~~|| Y(t)||\leq C| Y_0|\)
c’est à dire "l’opérateur linéaire qui à une condition initiale associe une solution est borné" (avec les bonnes topologies aux deux bouts).
Si ce que tu cherches correspond à la deuxième formulation alors je pense que la condition est :
\(\int_0^\infty| B(s)| ds <\infty \)
ça se prouve avec la formule de Duhamel. Par contre dans l’autre cas je suis pas convaincu que ce soit vrai, et si c’est vrai ça me semble beaucoup plus difficile à montrer …
je me suis permis de rédiger une solution à la question posée, je la soumet à votre jugement :
rouxph.blogspot.fr/2012/0…
Merci pour ce travail de fond ! J’espère que le lecteur qui a posé la question le reconnaitra.
Bonsoir,
Merci beaucoup pour cette réponse très claire!!!
Bonjour,
dans quel livre je peut trouver la preuve du résultat suivant ( ou bien si vous avez une solution à proposer parceque moi, je n’en n’ai aucune idée):
on considère le système différentiel linéaire \(x’ = A(t) x\) où la fonction matricielle \(A \in \mathcal{C}(\mathbb{R}_+ , \mathcal{M}(n,n))\) vérifie \(\displaystyle\int_0^{+ \infty} ||A(t)|| dt < + \infty.\) Soit x une solution de ce système.
– Montrer que x est bornée sur [0,oo[.
– montrer que \(\lim_{t \rightarrow + \infty} x(t)\) existe.
merci par avance.
@cheep le résultat que tu cherches est un cas particulier du problème posé dans ce billet! Ici on a étudié les solutions de \(X'(t)=(A+B(t))X(t)\) donc il te suffit de prendre \(A=0\) (la matrice nulle, dont les trajectoires associées sont clairement bornées 🙂 ) et de remplacer \(B(t)\) par \(A(t)\) … Pour la limite part de la formule de Duhamel (comme dans dans rouxph.blogspot.fr/2012/0… mais avec \(A=0\)) pour montrer que
\(| X(t)-X(t_0)| \leq \int_{t_0}^t|B(s)|\times |X(s)|ds\)
Si \(t_0\) est pris assez grand tu montres facilement que le critère de Cauchy est vérifié, d’où l’existence de la limite.
Bonjour Philippe,
en fait j’ai déjà lu la solution proposé, mais je ne la comprend pas bien.
pour la question 1 de mon problème. on doit utiliser le fait que \(\displaystyle \int_0^{+ \infty} ||A(t)|| dt < + \infty\) et dans la solution que tu proposes, tu as parlé des valeurs propres de A, etc.;. je ne fais pas le lien entre tout ca.
ce que j’avais essayé, c’est d’écrire que \(x_i(t) = x_i(0) + \displaystyle\int_0^{+ \infty} \sum_{j=1}^n a_{ij}(s) x_j(s) ds\) mais ca ne me mène nul part.
Peux-tu stp, j’espère que je n’abuse pas m’expliquer juste les étapes de la preuve qui montrent qu’avec cette condition, la solution est bien bornée, car ca fait un bout de temps que j’essaye.
Je t’en remercie par avance.
On part de \(x_i(t) = x_i(0) + \displaystyle\int_0^t x’_i(s) ds = x_i(0) + \displaystyle\int_0^t \sum_{j=1}^n a_{ij} (s) x(s) ds\)
donc \(|x_i(t)| \leq |x_i(0)| + \displaystyle\int_0^t |\sum_{j=1}^n a_{ij}(s)| |x(s)| ds\)
et par le lemme de Grõnwall, on déduit que \(|x_i(t)| \leq |x_i(0)| \exp(\displaystyle\int_0^t \sum_{j=1}^n a_{ij}(s) ds)\)
mais \(\sum_{j=1}^n |a_ij(s)| = ||A||_{\infty}\) donc \(|x_i(t)| \leq |x_i(0)| \exp(\displaystyle\int_0^t ||A|| ds).\)
je ne sais pas comment conclure ( faire le passage à la limite et conclure la bornitude).
Suite de la réponse:
On a donc \(|x_i(t)| \leq |x_i(0)| \exp(\displaystyle\int_0^{+\infty} ||A(s)|| ds\) et puisque, par hypothèse on a \(\displaystyle\int_0^{+ \infty} ||A|| ds < + \infty\) alors on conclut qu’il existe \(M = |x_i(0)| \exp(\displaystyle\int_0^{+\infty} ||A|| ds)\) telle que pour tout t chaque composante de la solution est bornée.
est-ce que cette réponse est bien complète stp?
c’est bon tu as montré que la solution est bornée \(|X(t)| \leq C \) , donc maintenant tu peux écrire :
\(|X(t)-X(t_0)|\leq \int_{t_0}^t|A(s)|\times | X(s)| ds \leq C \int_{t_0}^t |A(s)| ds\)
la convergence de l’intégrale \( \int_0^\infty |A(s)| ds\) t’assure que tu peux faire tendre le membre de droite vers 0 d’où la convergence de \(X(t)\)
PS : pour le LaTeX les balises à utiliser sur ce blog sont du type BBcode (exemple en rouge au-dessus de la fenêtre où tu écris ton message)
je pense qu’il y’a un petit problème à la fin. on a par hypothèse que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} ||A(s)|| ds < + \infty \) alors comment en déduire que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} |A(s)| ds < + \infty \) ?
excuses moi, je note par simplicité \(|A|\) la norme d’une matrice que tu notes \(||A||\). Je la note comme si c’était l’extension naturelle de la valeur absolue de \({\mathbb C}\sim {\mathbb R}^2\) aux matrices de taille quelconque. Comme toutes les normes sont équivalente en dimension finie c’est pas vraiment un problème.
Merci beaucoup!
Je bloque sur un exercice tu veux bien m’aider s’il te plaît? Je t’en remercie par avance.
On considère le système différentiel dans \(\mathbb{R}^2:\)
\(
\begin{cases}
&x’ = – x^2 + xy, t > 0 , x(0) = x_0\\
& y’ = -y^2 – xy , t > 0, y(0) = y_0
\end{cases}
\)
1. montrer que pour tout \((x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2,\) ce problème admet une unique solution \((x(t),y(t))\) définie dans un intervalle \((0,\alpha)\) avec \(\alpha > 0.\)
2. Supposons \(x_0 > 0, y_0 > 0.\)
– montrer que pour tout \(t \leq 0, (x(t),y(t))\) est positive.
– en ajoutant membre à membre les deux équations, montrer que \((x(t),y(t))\) est bornée.
Bonjour
j’ai besoin de votre aide pour résoudre cet exercice:
soit une fonction \(f\) définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et soit le problème de Cauchy \(x'(t)= f(x(t)), t > 0, x(0) = x_0.\)
1. Que peut-on dire de la solution si \(f(x_0) = 0?\)
2. Soit \((x,J)\) la solution maximale. Discuter en fonction du signe de \(f(x_0)\) la monotonie de \(x\)
pour le 1, c’est réglé. pour le 2, je ne sais pas comment faire.
Hallo dark, je pense que tu as oublié une condition sur la fonction f.
\(f\( est localement lipschitzienne
D’après ton cours tu dois savoir que dans ce cas la solution existe et est unique. Si f(x0)>0 alors la solution x est strictement croissante.
En effet, supposons par l’absurde qu’il existait un point a où elle serait décroissante. Alors la dérivée x‘(a) ou encore f(x(a)) serait négative et il y aurait un point b entre 0 et a tel que x‘(b)=f(x(b))=0. On montre alors comme dans la question 1) que le problème de Cauchy avec valeur initiale 0 au point b possède comme seule solution la fonction nulle. Par unicité (sur l’intervalle J) cette solution coïncide avec x. C’est une contradiction avec le fait qu’elle n’est pas nulle en 0.
Merci mathoman.
J’ai une dérnière question à te poser.
On considère le système différentiel dans \(\mathbb{R}^2\) :
\(
\begin{cases}
x’ = – x^2 , &t > 0 ,\ x(0) = x_0\\
y’ = – xy , &t > 0,\ y(0) = y_0
\end{cases}
\)
1. Montrer que pour tout \((x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2,\) ce problème admet une unique solution (x(t),y(t)) définie dans un intervalle \((0,\alpha)\) avec \(\alpha > 0.\)
On pose Z = (x(t), y(t)) et on a donc le système Z'(t) = f(t,Z(t))
pour prouver l’existence et l’unicité, il suffit de prouver que f est lipschitzienne par rapport à Z. On écrit alors
\( |f(t,Z_1) – f(t,Z_2)| = |Z_1′(t) – Z’_2(t)|.\) mais là, je suis bloqué pour la majoration.
Salut,
je lis un cours pour comprendre à quoi nous sert d’étudier la « théorie des distributions" et ca commence par l’étude des solutions de l’équation \(x y'(x) = 0\) sur R. Pourquoi finalement?
Par avance merci.