Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

Par MathOMan, samedi 25 octobre 2008 à 10:40 - Enseigner les maths - Tags - RSS

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

$Calculer avec une fraction double correctement$

$Comment ne pas calculer avec une fraction double$

$Calculer avec une fraction double (faux)$

Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Commentaires

1. Le samedi 25 octobre 2008 à 11:29, par Benoît

Le constat est assez édifiant.
Les mathématiques me semblent terriblement mal enseignées. Je ne jette pas là la pierre aux enseignants (il y en a des bons et des mauvais, comme partout), mais surtout aux programmes. Les élèves doivent ingurgiter des notions sans avoir les bases pour en comprendre le sens. Ils appliquent donc bêtement des méthodes, mais ne savent pas forcément résoudre des problèmes simples qui ne sont pas exactement ceux fait en cours (et je parle du cours juste avant le contrôle, apprendre bêtement entraîne l'oublie rapide des notions). Bref, on préfère une tête bien pleine à une tête bien faite, et c'est dommage. Cela contribue également au dégoût des mathématique qui sont considérés comme d'obscure opérations sans véritable sens.
P.S. : je vois que vous avez eu Frédéric Pham comme directeur de thèse. Voilà un exemple d'excellent pédagogue!

2. Le samedi 25 octobre 2008 à 13:04, par PB

Visiblement, il y a un problème en calcul élémentaire. Je le constate également avec ma classe : plusieurs de mes élèves écrivent, en début d'année, et malgré un BAC ES tout frais obtenu avec plus de 15 en mathématiques, que (x+2)/2 = x en simplifiant par 2.
Le problème n'est pas vraiment que les élèves écrivent de telles âneries (ça se corrige), mais plutôt qu'on leur donne le BAC avec 15 en math, voire qu'on les fasse passer en terminale, voire qu'on les fasse passer en première, etc.

3. Le samedi 25 octobre 2008 à 17:46, par Fabien Besnard

Ca recoupe également mes observations : beaucoup d'élèves qui ont aujourd'hui le bac n'auraient pas eu leur certificat d'études primaires... parce que justement leurs problèmes viennent de choses qui ne se sont pas fixées au primaire. D'ailleurs PB, quand vous dites que ça se corrige, c'est vrai mais ça se corrige d'autant plus qu'on prend le problème tôt, et en seconde il est déjà bien tard, alors en terminale...
Ceci dit, 55% de réussite au bac ça dénote un niveau très faible, j'imagine que c'est un "lycée difficile" comme on dit pudiquement, ce qui souligne un autre aspect du problème à savoir l'éducation à deux voire trois vitesses.
Enfin, Benoît, je m'excuse de vous le dire brutalement mais vous colportez des idées reçues en parlant de tête bien faite et de tête bien pleine : les extraits de copies que mathoman nous montre ne me semblent pas provenir de têtes bien pleines mais plutôt de têtes bien creuses. C'est à force de slogan de ce type (le sempiternel "apprendre à apprendre"...) que l'on a détruit l'instruction publique et que nous nous trouvons devant cette situation. Si on y réfléchit bien, vouloir faire des "têtes bien faites" est démesurément ambitieux, voire carrément monstrueux (qui juge qu'une tête est bien faite ? qui s'estime lui-même assez intelligent pour apprendre aux autres à l'être ?). Il faut d'abord remplir les crânes avant de commencer à les faire réfléchir, sinon on produit des êtres pour qui la connaissance est accessoire.

4. Le samedi 25 octobre 2008 à 19:02, par Benoît

Fabien, pourtant ces élèves de terminale qui ne savent pas résoudre ces problèmes très simples en résolvent de bien plus compliqués avec succès en cours. Ces erreurs idiotes montrent bien qu'ils ne savent pas ce qu'ils font et qu'ils n'y comprennent rien. Je ne vois pas où est l'idée reçue. Bien au contraire, on nous fait croire qu'un élève qui bachotte est un bon élève... ce même élève qui oubliera tout ensuite qui a juste appris pour des contrôles mécaniquement sans jamais avoir compris ce qu'ils faisaient. Les têtes sont bien creuses parce qu'au bout d'un moment un savoir sans compréhension s'oublie. Y'a pas de secret.
Apprendre des choses avant de faire comprendre, c'est évident, mais les coupes dans les programmes ont été tellement brutales et stupides qu'ils apprennent un tas de trucs sans jamais faire de rapport entre les différents trucs qu'ils apprennent.
Je n'ai jamais dit qu'il fallait moins leur apprendre. Je pense même le contraire, mais je pense juste qu'il ne suffit pas de leur apprendre un tas de théorèmes pour qu'ils deviennent bons en maths. Il faut d'abord penser à faire un programme cohérent. Je n'ai pas vraiment de solution, et je ne dis pas qu'il est facile de faire un programme de maths. Mais je pense justement qu'il faut cesser d'enlever des choses et en rajouter qui font le lien entre les différents concepts appris.
J'espère bien qu'ils ne vont pas juste se remplir le crâne jusqu'à la terminale, hein. Visiblement, les bases ne sont pas assimilées et on veut leur faire passer le bac (qu'ils auront sans doute en plus).

5. Le samedi 25 octobre 2008 à 19:21, par Benoît

Ah oui, pour préciser ma pensée, la différence que je fais entre une tête bien pleine et une tête bien faite n'est pas sur le nombre de choses qu'il y aura dedans, entendons-nous bien (apprendre moins pour apprendre mieux, non non non ce n'est pas ce que je veux dire). Plutôt sur le nombre de connexions qu'il existe entre les différents concepts. Je n'entends pas la mesurer dans leur tête, mais dans le programme : il faudrait un programme plus cohérent.

6. Le samedi 25 octobre 2008 à 21:01, par Fabien Besnard

Mais où voyez-vous qu'ils bachotent ?? Quels sont les problèmes si compliqués qu'ils résolvent ? Ils résolvent les problèmes triviaux et répétitifs qu'on a inventé tout exprès pour qu'ils puissent avoir le bac sans rien comprendre à ce qu'ils font. "Il ne suffit pas d'apprendre un tas de théorèmes", mais quels théorèmes ??? Quand j'écris re(z)=(z+\bar z)/2 au tableau je vois la moitié d'un amphi de première année qui fronce les sourcils...
Et de façon très étrange, bon nombre d'entre eux arrivent à comprendre quand même quelque chose dans cette bouillie informe. Pour reprendre votre phrase, les maths ne sont pas mal enseignées : elles ne sont plus enseignées, et l'excellence de la formation mathématique française, reconnue comme l'une des toutes meilleures au monde, a été réduite à néant en une génération...

7. Le dimanche 26 octobre 2008 à 02:49, par Benoît

Cher Fabien, sachez que je suis d'accord avec vous, et que l'opposition qu'il y a a priori entre nous vient surtout du fait que nous ne mettons pas la même chose derrière "avoir une tête bien faite". J'ai jeté un oeil à votre blog et particulièrement celui auquel vous y faite référence. Eh bien je vous le dis : je suis d'accord avec vous. Ce que j'appelle une tête bien faite n'est pas ce que d'autres en disent... malheureusement.
Les problèmes "compliqués" qu'ils résolvent sont justement des problèmes triviaux si on suit l'algorithme, la méthode. Mais ils ne comprennent pas ce qu'il y a derrière (qui n'est pas si trivial).

8. Le dimanche 26 octobre 2008 à 10:50, par Mathoman

Merci pour tous ces commentaires! Evidemment c'est un sujet qui susite le débat.
> pourtant ces élèves de terminale qui ne savent pas résoudre ces problèmes très > simples en résolvent de bien plus compliqués avec succès en cours.
Non, ce n'est pas le cas. Même s'ils savent, peut-être, que pour trouver le maximum d'une fonction il faut dériver puis résoudre f'(x)=0, ils n'arrivent pas à appliquer ce concept dans le pratique car ils se trompent dès la deuxième ligne de calcul ou ne comprennent pas ce que c'est une équation à une inconnue. Le but des questions posées ci-dessus était d'isoler ces lacunes du contexte du programme de la terminale. D'abord pour me rassurer, je l'avoue, que le problème ne vient pas de mon cours (je commençais à culpabiliser...), puis pour montrer que les cours de soutien ne devraient pas porter sur le programme de la terminale (intégrales et dérivées) mais sur ce type de calcul élémentaire.
> Ceci dit, 55% de réussite au bac ça dénote un niveau très faible, j’imagine que c’est un “lycée difficile”.
A vrai dire, je ne connais pas le pourcentage pour 2008, mais j'ai cherché celui de années précédentes sur express.fr: 87% en 2005, 78% en 2006 et 57% en 2007. D'après mes impressions en 2008 le taux devrait être proche de celui de 2007.
> Et de façon très étrange, bon nombre d’entre eux arrivent à comprendre quand même > quelque chose dans cette bouillie informe.
Oui, je crois que ce sont ceux qui n'ont pas vraiment besoin de professeur car ils travaillent de manière assez autonome, par exemple avec un livre. Donc cet enseignement complètement destructuré ne dérange pas trop ces bons élèves, mais détériore les plus faibles qui finalement n'apprennent même plus les bases mathématiques pour se débrouiller dans le vie quotidienne.
> l’excellence de la formation mathématique française, reconnue comme l’une des > toutes meilleures au monde, a été réduite à néant en une génération…
Je suis entièrement d'accord!
> je vois que vous avez eu Frédéric Pham comme directeur de thèse. Voilà un exemple d’excellent pédagogue!
Oui, je lui dois beaucoup! C'est quelqu'un de très conceptuel qui n'aime pas trop les calculs et essaye de les éviter — par exemple il a écrit un très beau livre où on intègre sur des variétés sans parler de partition d'unité...

9. Le dimanche 26 octobre 2008 à 16:45, par Fabien Besnard

Bon, alors il s'agit d'un malentendu entre Benoît et moi. C'est que, j'ai tellement entendu le "tête bien faite vs tête bien pleine" pour justifier des coupes sombres dans les programmes qu'à la moindre occurence, je sors mon revolver...
Mathoman : je ne suis pas aussi optimiste concernant les bons élèves : ils pâtissent du système comme les autres, en particulier ceux des milieux les moins favorisés. Je me souviens encore d'une petite élève de 5e dans un collège de ZEP, qui avait un an de moins que ses camarades mais était à 100 coudées au dessus d'eux. Elle finissait tous les exercices que donnait la prof en 10 minutes quand il fallait une demi-heure aux autres. Pour la récompenser, la prof lui donnait à faire... un dessin ! J'étais simple observateur à l'époque, mais je m'en veux de ne pas avoir réagi et de ne pas être allé moi-même lui donner un exercice plus difficile.

10. Le dimanche 26 octobre 2008 à 17:54, par Benoît

Pour Fabien Besnard : il n'y a pas de souci, même si j'avoue que j'ai été un peu vexé au début, je comprends tout à fait votre agacement.
Pour Mathoman : maintenant que vous avez identifié les difficultés, que pensez-vous qu'il faille faire ? Je ne parle pas des changement à faire dans le système, mais ce sur quoi vous pouvez agir en tant qu'enseignant. J'imagine que leur faire refaire des bases de calcul est difficilement envisageable (à part en cours de soutient, comme vous le soulignez), surtout qu'il y a un programme a boucler dans un temps qui est fini. Bien entendu, les autres commentateur de ce billet qui semblent egalement enseigants ont peut-être des réponses (ou des pistes).

11. Le dimanche 26 octobre 2008 à 20:06, par Fabien Besnard

En terminale, il faut être honnête on ne peut plus faire grand chose sur de l'algèbre élémentaire. Il faut bien sûr corriger toutes les erreurs en espérant qu'il y en ait un ou deux à qui ça profite, mais guère plus. Et il faut donner beaucoup de travail à la maison, et corriger tout ça... On peut agir un peu plus en seconde. La première chose à faire est de neutraliser les cons : ceux qui ne veulent rien faire et ne savent pas pourquoi ils sont là. Il n'y en a guère plus de 2 ou 3 par classe, mais si on les laisse faire il peuvent empêcher tous les autres de travailler. Déjà ça, ça prend du temps et pas mal d'énergie, mais une fois qu'on a gagné on peut bosser sérieusement. On peut utiliser l'heure d'aide individualisée pour faire systématiquement de l'algèbre, et avec toute la classe ou presque. C'est interdit, mais il faut le faire quand même... (ça implique de se battre avec la direction qui en général colle des cours d'option pendant vos AI et qui fait que vous ne pouvez pas convoquer tout le monde). Il ne faut pas céder à l'incroyable pression qu'on va vous mettre pour que vous releviez artificiellement vos notes, à la tentation toujours présente de donner des exos triviaux, etc... De toute façon il faut se battre tout le temps... En appliquant cette politique vous aurez les parents sur le dos, la direction le plus souvent (enfin ça dépend), parfois même une partie de vos collègues... mais curieusement vous aurez le respect de vos élèves si vous leur montrer que vous ne voulez pas les brimer mais que vous vous épuisez pour qu'ils progressent. Mais il faut être lucide : vous ne changerez pas le monde à vous tout seul.

12. Le dimanche 26 octobre 2008 à 21:42, par Fabien Besnard

Encore une chose, car je ne voudrais pas laisser croire que je me pose en donneur de leçons. Ce que je viens de dire demande beaucoup de courage, et ce courage m'a souvent fait défaut. Et d'autres y arrivent peut-être par des moyens différents, chacun son style.

13. Le lundi 27 octobre 2008 à 11:06, par Jean-Baptiste

C'est stupéfiant.... Bien que n'enseignant pas dans l'éducation nationale, j'ai moi aussi constaté des carences de logique et culturelles qui ont une fâcheuse tendance à s'accroître.... Il n'y a qu'une chose à dire : courage aux professeurs, l'éducation doit tenir bon, même si la période n'est pas facile....

14. Le mardi 28 octobre 2008 à 11:18, par Mathoman

Je suis d'accord avec Fabien Besnard, en terminale il est difficile de rattraper un tel retard. Il faudrait y consacrer eu moins un trimestre car il s'agit de plusieurs années d'enseignement non-assimilé au collège -- et pour cela le temps manque en terminale. Les méthodes proposées par lui sont les seules que je vois; on essaye de sauver qui on peut (et qui veut) par quelques cours de soutien, mais il est évident que ce rafistolage est très insatisfaisant, au moins pour le professeur (les élèves ne le ressentent pas tous car ils ont déjà pris l'habitude de l'à-peu-près).

15. Le samedi 8 novembre 2008 à 23:53, par fafa

Je trouve ce débat intéressant mais un peu schizophrène. Vous êtes pour la plupart professeur de mathématiques et vous avez tous l'air de dire que si le niveau a diminué de façon aussi dramatique c'est la faute du système, des élèves qui sont trop nuls. Tout ça est certes vrai, mais ne pensez vous pas que en tant que profs vous faites partie de ce système et j'ai même envie de dire que vous Faites le système? Le retard remonte du collège mais dans ce cas c'est la faute à qui ? c'est la faute aux professeurs de collège ? aux élèves ? IL va bien falloir qu'à un moment de leur parcours quelqu'un aie le courage de dire " moi je vais à contrepied du programme et je leur apprends ce que je pense être nécessaire et fondamentale" Au lieu de ça les profs de fac disent ils auraient pas du avoir leur bac ( ils l'ont eu grâce à un jury de professeurs non ? ) et les profs de Tle disent ils auraient pas du passer le collège. D'où ma remarque du début . Personnellement je pense qu'on devrait revenir aux méthodes anciennes. A force de tout passer aux élèves et d'alléger le programme ils se relâchent eux même et d'autant plus qu'il y' a beaucoup de personnes prêtes à excuser leur incompétence : les parents, les statistiques ( si 40% des élèves sont nuls je rentre dans les normes...), les ministres qui prônent perpétuellement une refonte du programme. à un moment donné il va falloir dire aux élèves de travailler, il n'y a pas de miracle. Et d'arrêter de faire le culte de la médiocrité.

16. Le vendredi 21 novembre 2008 à 17:37, par Hamza

Bonjour Je me demande: 1- quel est le lien des difficultés de ces élèves avec la dyslexie? 2- Quelle est la place des notions, sujets des exercices), dans le programme de la terminale: Les notions évaluées sont enseignées au college et au primaire: ceci peut expliquer les erreurs des élèves du terminale.

17. Le samedi 22 novembre 2008 à 01:17, par Mathoman

1- J'utilisé le mot "dyslexie en maths" pour exprimer le fait de ne pas comprendre l'écriture des mathématiques : opérations élémentaires et les notations de base (fraction, parenthèses, le signe =, etc.). Il ne s'agit pas de dyslexie au sens classique (ne pas savoir lire des mots écrits).
2- Oui, il s'agit du programme du collège. Les mathématiques s'enseignent de manière progressive, et les acquis forment une pyramide qui s'écroule si la base n'est plus là. On ne peut pas enseigner le calcul intégral à des élèves qui ne savent pas calculer l'aire d'un rectangle. C'est comme en anglais par exemple, où on doit savoir conjuguer "to be" sinon ça n'a pas de sens d'analyser un texte de Shakespeare en terminale. Mais ce n'est pas pareil pour toutes les matières. En Histoire-Géo, par exemple, c'est différent; vous pouvez comprendre assez bien l'Europe du 19e siècle sans connaître la Chine du 5e siècle.

18. Le lundi 24 novembre 2008 à 12:48, par Hamza

Bonjour Parfaitement d'accord avec vous sur le 2ème point. Mais ce qui est enseigné n'est parfois acquis que quelques jours, mois et parfois même des années après. Donc (dans un système scolaire) on ne peut pas attendre à ce que tout ce qui est de base soit acquis pour passer à autre chose, L'enseignant (représentant du système scolaire en classe) travail avec le moyen et avance dans le programme qu'il est OBLIGE de terminer en fin d'année. Le mot que vous avez chisie dysl en maths exprime bien ce que vous avez expliqué.

19. Le lundi 24 novembre 2008 à 12:49, par Hamza

C'est un article en lien avec la dysl en maths
www.ccdmd.qc.ca/correspo/Corr3-4/Math.html

20. Le mardi 23 juin 2009 à 12:43, par anton suwalki

Bonjour à tous,
Sans être professeur de maths , je m'intéresse à tous ces problèmes ne serait-ce qu'en tant que parent d'éleve. On impute souvent les lacunes et le niveau qui baisse en maths ou dans d'autres domaines aux enfants qui ont changé, aux sollicitations du monde extérieur qui détourneraient les enfants des rigueurs de l'apprentissage scolaire, au difficultés sociales etc...Tout ceci joue bien sûr, Il me semble tout de même que les choix politiques et les errements en termes de programme et de choix pédagogiques ont une lourde part de responsabilité dans la situation actuelle.
Cordialement
Anton

21. Le mardi 1 septembre 2009 à 11:30, par Nelisa2669

Bonjour,
Je viens avec retrad de lire votre excellent article.
etant sortie du lycée depuis un certain teps, j'avoue ne pas avoir été jusqu'au bout de la simplification d'équation ou du calcul sur les droites.
Pour ajouter au débat, j'aime les mathématiques mais lorsqu'elles me sont expliquées d'un façon concrète : je n'ai jamais eu de problème avec des mathématiques financières appliquées mais n'ai jamais pu résoudre de systèmes d'équations linéaires où ne figuraient aucun chiffre.
A mon sens, le problème vient aussi de là : il est difficle de comprendre quelque chose qui est terriblement abstrait et dont on ne voit pas à quoi il sert concrètement (qui à part des ingénieurs et encore résoud des équations sur les droites?).
Ceci dit, merci à mon professeur de mathématiques de 4° qui m'a justement permis d'apprendre les bases de l'algèbre.

22. Le jeudi 24 septembre 2009 à 11:57, par antoniobob69

Vraiment bon article, ca sert bien.
J'ai d'ailleurs trouvé un site très intéressant pour tous les Bac L qui pourraient passer par là, il s'agit de la communauté des Bac L, avec des cours etc..
L'adresse c'est : bac-L.net

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Une génération dyslexique en maths

Par Mathoman, mercredi 17 septembre 2008 à 15:01 - Enseigner les maths - Tags

Je me rappelle qu'une fois, en plein concert à la Philharmonie de Munich, le pianiste Alfred Brendel interrompit son jeu pour adresser les paroles suivantes à un public qui toussait trop : "Die Grundlage der Musik ist die Stille." Traduction : la base de la musique c'est le silence.

J'aimerais adapter cette phrase aux mathématiques : "La base des mathématiques c'est le calcul". Et je pense au calcul le plus simple tel qu'il devrait être maîtrisé par tous les citoyens d'un pays moderne (à l'exception de quelques rares personnes souffrant d'une sorte de dyslexie des nombres) : addition, soustraction, multiplication et division. Si les élèves ne savent plus calculer, le professeur devrait arrêter son cours, comme Alfred Brendel, et le reprendre plus tard...

Autrefois, grâce à la scolarisation, le savoir progressait d'une génération à l'autre
Dans cet extrait de film des années cinquante un représentant essaie en vain de dissuader Ma and Pa Kettle que 25 divisé par 5 donne 14.

Aujourd'hui c'est le récul: beaucoup de bachéliers ne savent plus calculer
Lorsque j'enseignais en deux classes de terminale ES dans un lycée en région parisienne, j'étais confronté à un problème majeur : le programme du baccalauréat porte sur les dérivées et les intégrales, les logarithmes et les exponentielles. Or la majorité de ces élèves en terminale ne connaissait pas les règles élémentaires de calcul, beaucoup confondaient l'addition avec la multiplication et la soustraction avec la division. Voici un florilège extraits de quelques copies de bacs blancs :

Confusion entre division et soustraction

Confusion entre multiplication et division

Grande confusion des opérations de base

Non-compréhension d'une égalité $Difficultés avec les fractions$

Tout ça pourrait faire rire si ce n'étaient que quelques cas isolés. Mais ce type d'erreurs n'est plus exceptionnel, il est devenu la règle (voir mes statistiques). Il semble qu'aujourd'hui il est impossible de demander à un élève en terminale d'effectuer un calcul élémentaire sans faire d'erreur. Le nombre d'élèves acceptés en première (même en section S) et qui ne connaissent pas la table de multiplication est légion.

Le roi est nu
Certains diront que tout cela n'a pas d'importance car les mathématiques n'interviennent que peu dans notre vie quotidienne et que d'autres facilités sont plus déterminantes pour bien réussir dans la vie. Peut-être. Je serais le dernier à exiger que tous mes co-citoyens connaissent les logarithmes et les intégrales. Mais ce qui me gêne beaucoup c'est que le calcul élémentaire n'est pas acquis et qu'en même temps on habitue les élèves à utiliser un langage de bois mathématique qui prétend qu'il y a une compréhension des objets impliqués tandis qu'au fond rien n'est compris. Sous un splendide manteau de termes savants (intégrales, limites, théorème des valeurs intermédiaires, etc.), le roi est nu ! C'est digne des Impostures intellectuelles à la Sokal-Bricmont...
Evidemment il est impossible, en dernière année de lycée, de rattraper avec des cours de soutien toutes ces bases manquées. Soit on fait les choses correctement dès le départ, soit on ne les fait pas, c'est-à-dire on élimine des programmes scolaires le calcul supérieur avec les fonctions.

Ci-dessous un dernier exemple qui me rend heureux et triste à la fois — triste car cet élève ne maîtrise pas du tout le programme du collège (règles de calcul avec les fractions), et heureux car il a appris ce que je lui enseignais en terminale (règles de dérivation). Mais en fin de compte, quelle est la valeur de ses connaissances en calcul différentiel s'il ne sait pas simplifier correctement la fraction qu'il obtient ?

La question posée était de dériver la fonction $f(x)=x-\ln(4x-2).$ Voici sa réponse :

$Simplification d'une fraction$

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Sur les priorités dans l'enseignement en terminale S

Par Mathoman, samedi 5 décembre 2009 à 18:00 - Maths et société - Tags

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

$\prod-$ shaped knowledge !

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

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Quel est le socle commun pour entrer en fac ?

Par Mathoman, mardi 1 septembre 2009 à 11:37 - Maths et société - Tags

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Le Crous cautionne-t-il le faible niveau en calcul mental des étudiants?

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?

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Une très belle série de films sur les maths

Par Mathoman, mardi 13 janvier 2009 à 19:53 - Apprendre les maths - Tags

Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

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Cours gratuits en vidéo

Par Mathoman, dimanche 29 mars 2009 à 12:05 - Apprendre les maths - Tags

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...

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Le piège d'une méthode qui marche...

Par Mathoman, jeudi 20 novembre 2008 à 14:03 - Humour - Tags

Mystères de la psychologie

Posez les deux questions suivantes à un ami.

"Comment demandes-tu l'heure à un sourd?" — Probablement il fera un geste.
"Comment demandes-tu un peigne à un chauve?" — Probablement il fera également un geste... au lieu de demander simplement!

Exemple:

Elèves en math spé Lycée Fénelon-Sainte Marie

Presque tout le monde tombe dans ce piège. Et très souvent, si plusieurs personnes sont présentes, ce n'est pas la personne à laquelle on a adressé la parole qui répond mais une autre qui se sent moins observée!

Nous mathématiciens sommes les spécialistes de la généralisation. Si nous avons trouvé une méthode pour résoudre un problème particulier nous essayons de l'adapter à des situations similaires ou plus générales. Nous sommes (dé)formés ainsi et ça fonctionne — au prix que ça n'aboutit pas toujours à la méthode la plus élégante.

Les juristes, en revanche, ont l'habitude de considérer chaque cas de manière indépendante. En effet, tout avocat sait que le fait d'avoir gagné un procès aujourd'hui n'implique pas qu'un procès identique sera gagné demain.
Je posais la question du peigne aussi à mes amis juristes et avocats. Sans avoir procédé à une statistique fiable, j'ai l'impression que le pourcentage des piégés est inférieur chez eux que chez les mathématiciens.

Deux autres exemples:

Philippe Calderon, réalisateur de film

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Améliorer l'éfficacité des TD maths en 1ère ou 2e année

Par Mathoman, vendredi 22 janvier 2010 à 16:53 - Enseigner les maths - Tags

Aujourd'hui j'ai reçu cet email d'un collègue dont je dois taire le nom car il habite dans le spectre d'un "corps" à un élément :

\begin{lamentations}
J'ai enfin découvert le chaînon manquant entre le buse et l'évier : un élève dont je dois taire le nom a réussi écrire « ln(-1) » à 4 reprises dans sa copie !
\end{lamentations}

Lorsque nous enseignants corrigeons des copies d'examen en première ou deuxième année à l'université ou dans une école d'ingénieurs, très souvent nous nous arrachons les cheveux. Nous ne comprenons pas pourquoi les étudiants n'arrivent pas à refaire des exercices semblables à ceux qu'on a traités en TD ; ou pourquoi ils n'arrivent pas à faire des raisonnements simples.

Evidemment pour une grande partie le responsable de cet échec est le système de l'enseignement secondaire et primaire qui, en cherchant la facilité du zapping sans apprentissage des connaissances fondamentales, fait que dans l'enseignement supérieur on construit sur du sable. Mais comme nous n'y pouvons rien changer, il faut chercher à améliorer le système où nous intervenons, c'est-à-dire l'enseignement supérieur, et le rendre plus efficace.

Ayant fait une partie de mes études en Allemagne je vais proposer une idée inspirée du système universitaire allemand. D'ailleurs ce système existe aussi dans les pays anglo-saxons. La photo suivante illustre la solution que je propose.

cinéman le film voir au cinéma frank dubosc

Etudiant de maths à l'université de Munich
rendant l'un de ses d.m. hebdomadaires

Devoirs maisons notés

De quoi s'agit-il ? Il s'agit de devoirs maisons qui sont à rendre chaque semaine. Vous allez répondre : Mais qui est-ce qui va corriger tout ça ? Dans un amphi il peut bien avoir 150 à 200 étudiants et souvent il y a deux ou trois amphis, ça fait donc beaucoup de copies par semaine ! Les profs aux universités allemandes passent-ils leur nuits à corriger des copies ? Dans une classe prépa française avec peu d'élèves, oui, ça peut fonctionner (et ça fonctionne avec un DM par mois environ), mais pas à l'université !
Evidemment on ne peut pas transposer le système des prépa à une système universitaire où les TD et cours sont souvent assurés par des vacataires. Car on aura du mal à recruter un vacataire qui corrige chaque semaine les devoirs maison de ses groupes de TD ; sans augmentation sensible de sa paye il ne le fera pas.

L'étudiant Korrektor ou Grader

Donc qui est-ce qui va corriger toutes ces copies pour un salaire correct ? Les universités allemandes et américaines nous donnent l'exemple, ils font de l'outsourcing, en confiant ce travail à un personnel moins qualifié et donc moins coûteux : des étudiants de 3^e ou 4^e année. Ces Korrektoren ou graders sélectionnés, même s'ils n'ont pas forcément le niveau nécessaire pour enseigner, sont bien capables de corriger les copies suivant les instructions et le barême imposé par le professeur responsable du cours. La rémunération est certainement plus basse que celle qu'on devrait payer à un docteur ou agrégé.

Organisation

Chaque semaine les copies sont à rendre avant une heure et un jour fixe. Le correcteur les corrige et les rend une semaine plus tard. La note des devoirs maison peut être intégrée dans la moyenne générale (avec un faible coefficient pour ne pas inciter à la tricherie). Dans l'examen final certains exercices pourraient être inspirés des DM.
Les solutions des exercices des DM sont exposées dans des séances de correction qui remplacent les actuels séances de TD. On peut rentrer dans le sens même des exercices car le temps d'assimilation de l'énoncé n'est plus pris sur le temps de la séance.
D'ailleurs on pourrait encourager le travail en groupe en autorisant de rendre une seule copie par binôme (cela diminuerait aussi le coût ce correction). Je sais de mes propres études que j'ai beaucoup appris à travailler à deux ou à trois sur un DM.

Avantages

Contrôle régulier des acquis. Dans le système français actuel l'étudiant est censé de préparer son exercice à la maison avant le TD ; or dans la séance de TD ce n'est pas lui, mais le professeur ou un autre étudiant, qui expose la solution, et donc le travail de l'étudiant ne sera jamais controlé. Il n'y a simplement pas le temps pour contrôler tous. Après quelques semaines, l'étudiant cesse de préparer ses exercices ou il le fait avec une rédaction peu complète.
Seulement des devoirs maison corrigés garantissent un travail complet et régulier.
Apprentissage de la rédaction. Un débutant en mathématiques apprend à rédiger et raisonner clairement seulement si on le corrige. Quand j'étais moi-même étudiant en première année je n'aurais jamais appris à bien rédiger si je n'avais pas su que ce que j'écrivais serait lu par un correcteur.
Gratification. Je dis souvent que les mathématiques sont une sorte de masturbation mentale... mais masturbation fertile ! Si on veut que les étudiants aiment les maths au moins un tout petit peu, il faut leur donner la chance de la découverte. Or dans le système actuel des TD (où on ne contrôle pas le travail de tous) l'étudiant moyen ne prépare pas ses exos. Dans la séance de TD il n'a jamais le temps de trouver le truc, il y aura toujours quelqu'un autre avant lui, le professeur ou un étudiant très fort, qui présente la solution. Cela prive l'étudiant du plaisir que peuvent donner les mathématiques car il n'est jamais récompensé par le sentiment d'avoir trouvé le truc lui-même.
Augmenter l'autonomie des étudiants. De la même manière que vous ne trouvez personne qui a appris à jouer au piano en allant au concert, on peut dire que les mathematiques passives n'existent pas. Or dans une séance de TD peu de temps est laissé au travail de chaque élève. Il est évident que les DM augmentent la capacité de travail autonome. Le jour d'un examen l'étudiant se trouve seul devant sa feuille, il ne peut pas poser une question à son professeur de TD. Avec les devoirs maison il se prépare mieux à cette situation.
Le labo de maths, c'est la tête. Pour des sciences expérimentales comme la physique, la chimie, la biologie, les séances de TP en laboratoire sont essentielles. En mathématiques c'est la tête qui joue le rôle de laboratoire. Et quelque fois vaut mieux que l'enseignant reste loin et laisse le temps aux expériences de fermir dans la tête de l'étudiant. C'est comme avec un élève de violon qui pratique, quelque fois vaut mieux ne pas être à côté...
Approfondir les connaissances, inciter à l'esprit de recherche. Dans une séance de TD du système actuel on ne peut jamais poser de vrais problèmes intéressants qui demandent un peu de temps de refléxion. On se restreint souvent à des exercices d'application de quelques recettes et si on fait un exo plus intéressant on n'a pas le temps de laisser chercher tous les élèves. Or dans une feuille de DM on peut aussi donner quelques exercices qui demandent un peu plus de recherche.
Recruter des futurs enseignants ou chercheurs. Les étudiants en 3^e ou 4^e année sélectionnés et payés pour être correcteurs font ainsi leurs premières expériences dans une équipe pédagogique de l'enseignement supérieur. Ce point peut enrichir leur CV. On pourrait également valoriser ce travail dans leur cursus d'études.
Démystifier la réussite. Les étudiants correcteurs en 3^e ou 4^e année serviront de bon exemple aux étudiants de 1^ère ou 2^e année et montrent qu'il est bien possible de réussir.
Economiser de l'argent en augmentant le niveau. Vu que les actuels séances de TD n'existeraient plus et céderaient la place à des séances de correction de d.m. on peut les faire en groupes plus grands. En plus, inutile de dépenser de l'argent dans des cours de mise à niveau que certains établissement font ; car on peut faire autant de cours de mise à niveau qu'on veut — si les étudiants ne travaillent pas chez eux, c'est du temps et de l'argent perdu.

Voilà donc mes idées d'Outre-Rhin. Ca marche très bien là-bas, je vous assure. Pourquoi ne pas l'essayer ici ?

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Evaluation par QCM dans l'enseignement supérieur

Par Mathoman, lundi 7 juin 2010 à 15:00 - Enseigner les maths - Tags

Dans mon dernier billet sur l'enseignement des mathématiques je parlais du système américain et allemand des devoirs maison hébdomadaires. Je me félicite du succès de ce billet : en effet, les responsables de l'enseignement des maths en cycle préparatoire à l'école d'ingénieurs Estaca l'ont lu et ont décidé la mise en place de ce système à partir de la rentrée prochaine.

Aujourd'hui j'aimerais parler d'une autre idée pour rendre plus efficace le contrôle des acquis des étudiants : les questionnaires à choix multiples. Traditionnellement nous, les matheux, nous n'aimons pas les QCM. Nous considérons les mathématiques comme une sorte d'art où le chemin du raisonnement choisi et la grâce avec laquelle on danse sur ce chemin, c'est-à-dire le style de rédaction, sont aussi importants que le résultat à trouver. Et cela ne peut pas être évalué par un QCM. — C'est vrai. Or quand nous corrigeons les partiels en premier cycle nous faisons souvent l'expérience que très peu d'étudiants savent rédiger correctement une suite d'idées. Et la remarque suivante montre que ce phénomène perdure même dans les semestres supérieurs : L’utilisation des hypothèses données dans l’énoncé doit être signalée au moment opportun et non en vrac en début de question, afin de montrer l’articulation du raisonnement (extrait du rapport du jury de l'agrégation 2009).
Il y a donc un décalage entre nos attentes et les résultats. Et ce n'est pas étonnant car le système des TD actuel n'apprend une rédaction cohérente. Comme le professeur de TD ne peut pas contrôler l'écrit de chacun, les étudiants ne font que recopier une rédaction exemplaire au tableau — ce qui est déjà une bonne chose mais ne suffit point, ça serait comme si on voulait apprendre à jouer le violon en écoutant Gidon Kremer. On revient donc au problème déjà cité de l'efficacité des TD...

Alors à quoi bon d'évaluer les étudiants par des choses sur lesquelles ils n'ont pas eu l'occasion de s'entraîner ? J'ai donc décidé, pour ma part, de faire désormais l'évaluation en forme de QCM (dans les établissements qui n'ont pas mis en place un système de correction de devoirs maison). Mon premier tel examen 100% QCM peut être consulté ici.

Quelles sont les compétences mathématiques qu'on peut évaluer par un QCM ? A mon avis, un bon pourcentage des méthodes au programme d'un premier cycle en école d'ingénieur ou en tronc commun de L1 : dériver, intégrer, systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, etc. D'après ce que j'ai vu c'est déjà suffisant pour trier les bons et les mauvais étudiants ;-)

Recherche de collaborateurs

Maintenant je viens avec une proposition concrète : qui a envie de participer à établir une base d'exercices en ligne en forme de QCM ? Qui est-ce qui a déjà de l'expérience en ce domaine (peut-être avec WIMS) et souhaite la partager ? L'idée serait la suivante.

Une grande base de questions serait disponibles en ligne pour que les étudiants puissent s'entraîner chez eux.
Une autre partie de questions serait reservée aux épreuves que les étudiants passent dans les salles d'ordinateur le jour de l'examen.
Les résultats étant calculés automatiquement il n'y aura plus de travail de correction ni erreur d'évaluation possible.
Une fois la base d'exercices créée et assez grande, on peut la rentabiliser et organiser des évaluations très fréquentes...
Les exercices ne devraient pas forcément être interactives, originales ou d'une grande valeur pédagogique en e-learning (comme souvent dans WIMS), car ils serviraient uniquement à évaluer, l'enseignement en TD restant inchangé.

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Sur les réformes du recrutement des professeurs à l'Education Nationale

Par Mathoman, vendredi 11 décembre 2009 à 11:33 - Maths et société - Tags

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Mutation et attribution de poste

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Concours et recrutement

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

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Remarques sur l'enseignement des math au collège

Par Mathoman, samedi 27 mars 2010 à 14:37 - Enseigner les maths - Tags

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

$\frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8}\;.$

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

$\begin{array}{rcl} \frac3{40}\;+\;\frac1{12}\;+\;\frac3{8} \;&=&\;\frac3{2^3\times5}\;+\;\frac1{2^2\times3}\;+\;\frac3{2^3} \\ \;&=&\;\frac{3\times3}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{2\times5}{2^3\times3\times5}\;+\;\frac{3\times3\times5}{2^3\times3\times5} \\&&\phantom{\frac{\frac AA}{\frac AA}}\\ \;&=&\;\frac{9+10+45}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{64}{2^3\times3\times5}\;=\;\frac{8}{3\times5}\;=\;\frac{8}{15} \end{array}$

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est $2^3\times3\times5$ car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres — mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle. On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite. En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

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