Après les maths et la musique, voici une petite détente avec l'art et la musique. Le groupe Hold Your Horses! a produit un très beau clip musical où les membres du groupe font un voyage à travers l'histoire de l'art. Aux dernières siècles, avant l'apparition du grammophone, puis de la radio et de la télé, l'un des passe-temps de la bourgeoisie et l'aristocratie consistait à reposer, sur scène, des tableaux connus des grands peintres. (Beaucoup d'écrivains par exemple Goethe dans ses Affinités électives, décrivent de telles séances qui parfois impliquaient la collaboration de toute la famille et des employés de la maison.)

Je pense que cette vidéo est très bien réussie, mais je reconnais une partie de ces tableaux vivants, mais pas tous. Lesquels reconnaissez-vous ?

Un amour de Swann, le deuxième livre autonome de la trilogie Du côté de chez Swann de Marcel Proust, est paru en 1913. A cette époque la théorie des ensembles et la théorie des groupes venaient d'être inventées et connaissaient un grand essor.
Je m'imagine bien l'écrivain Proust lors d'une réception un dimanche après-midi chez un représentant de la nomenklatura scientifique parisienne, disons chez le grand mathématicien Henri Poincaré ; on y joue des arrangements pour violon et piano des opéras de Wagner, on parle de poésie ou d'art chinois. Proust, le snob, s'isole dans le salon à côté et trouve sur la table une revue scientifique avec la dernière publication de son hôte. Il l'ouvre sur la première page, commence à lire et n'y comprend pas grand'chose — mais les mots et formulations lui plaisent...

Bon, vous direz que j'ai trop d'imagination ! Alors jugez par vous-même... voici la phrase avec laquelle commence Un amour de Swann :

Pour faire partie du « petit noyau », du « petit groupe », du « petit clan » des Verdurin, une condition était suffisante mais elle était nécessaire [...]

 

Dernièrement nous avons parlé de groupes cycliques et du groupe de rotation SO(3). Aujourd'hui nous allons revisiter ces deux notions pour explorer une jolie propriété en mathématiques.

Voici une petite vidéo où je tourne mon bol de café au lait. Plus précisément je lui fais deux tours complets. On remarquera qu'après le premier tour mon bras est tourdu, mais après le deuxième tour mon bras revient à sa comfortable position du début.

MathOMan tord son bras... et le remet à sa place!

Explication (par handwaving en prose)

Il reste à voir qu'on n'a pas déjà g=0, autrement dit qu'il est impossible d'avoir le bras en place déjà après le premier tour. Une manière simple de comprendre que g , ou encore h, n'est pas homotope au lacet constant est de voir h comme un lacet dans l'espace projectif de dimension 3. Il correspond alors à la rotation d'une droite dans l'espace de dimension 4, d'angle 180° autour d'un axe perpendiculaire. La droite revient sur elle-même, mais on ne peut pas rétrécir ce mouvement.

Voilà, si on formalise ces raisonnements un peu plus, on démontre que le groupe fondamental de SO(3) (ou plus généralement d'un espace projectif de dimension au moins 3) est le groupe cyclique à deux éléments Z/2Z.

Les physiciens adorent ce genre de propriétés mathématiques et invoquent même le groupe de Spin, revêtement universel de SO(3). Mais pour expliquer ces applications en physique théorique, il faudra un autre bloggeur — peut-être un PhysOMan?

On m'a recommandé à ce sujet le livre Spinors & Space-Time de Roger Penrose et Wolfgang Rindler mais mes maigres pré-recquis en physique m'ont découragé de l'acquérir ;-)

Je viens de voir une belle vidéo sur les séries de Fibonacci et leurs apparitions chez les plantes. Elle est bien réalisée, avec des moyens très simples, avec des commentaires amusants (en anglais). Le nombre d'or aussi est mentionné (l'explication en quel sens il est le nombre le plus irrationnel n'est pas complète pourtant, lire plutôt ici).
A noter qu'il y a déjà une deuxième partie en ligne et qu'un troisième est promise pour bientôt!

Oh, j'aurais presque oublié de souhaiter le bonne année 2012 à mes lecteurs!! Voici une autre vidéo pleine de joie et d'optimisme.

Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

°             °             °



°             °             °



°             °             °

Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...

MathOMan relie 9 points avec 4 droites

Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.

Bin trace une cercle et son centre

Un magma est un ensemble G muni d'une loi de composition interne ¤.
Si en plus cette loi est associative, c'est-à-dire (x¤y)¤z = x¤(y¤z) pour tous x,y,z dans G, alors on dit que (G,¤) est un demi-groupe.
Et si en plus il existe un élément neutre e dans G, c'est-à-dire e¤x = x¤e = x pour tout x dans G, alors on dit que (G,¤) est un monoïde.
Enfin, si chaque élément x de G possède un neutralisant x' dans G, c'est-à-dire x¤x' = x'¤x = e, alors on dit que (G,¤) est un groupe.

On dit aussi le symétrique de x pour l'élément neutralisant x' de x. Si la loi est notée par une addition on le note souvent -x (opposé) et si la loi est notée par une multiplication on le note souvent x^-1 (inverse).

Exemples :

• Considérons la loi de l'addition habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels strictements positifs N*={1,2,3,...} est un semi-groupe. Il manque l'élément neutre 0 ; on l'ajoute et on obtient le monoïde N={0,1,2,3,...}. Il manque les neutralisants (les opposés) -1, -2, -3, ... ; on les ajoute et on obtient le groupe des entiers Z={0,±1,±2,±3,...}.
• Considérons la loi de la multiplication habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels N est un monoïde, son élément neutre étant 1. Que faut-il ajouter ou enlever pour en faire un groupe ? D'abord on remarque que 0 multiplié avec tout nombre donne 0, donc jamais 1, autrement dit on ne pourra jamais trouver un neutralisant de 0 (on ne peut pas diviser par zéro...). Il faut donc enlever le 0, on trouve N*. Ensuite il faut ajouter les inverses : l'union de N* et de l'ensemble des 1/n où n parcourt N*, est-il un groupe ? Non, pas encore, car il faut aussi s'assurer que les produits restent dedans et donc on doit en fait ajouter toutes les fractions de la forme m/n avec m et n dans N*. On trouve le groupe multiplicatif Q*⁺ des rationnels strictement positifs.
  De même l'ensemble des nombres rationnels non nuls Q* est un groupe.
• Il existe des loi internes non-associatifs. L'ensemble Z muni de la soustraction est un magma (mais pas un demi-groupe). L'ensemble R³ muni du produit vectoriel
  (x₁, x₂, x₃) × (y₁, y₂, y₃) = (x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃, x₁y₂-x₂y₁)
  en est un autre.

Pour résumer, un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et tel que chaque élément a un neutralisant. Il s'agit alors de vérifier ces trois axiomes pour montrer qu'un objet proposé est un groupe. Beaucoup d'exercices sont de ce type et très souvent ce sont de simples vérifications mécaniques, permettant au débutant de se familiariser avec la notion de groupe. La rédaction de la réponse à la question suivante m'a pris un peu plus de temps, à savoir toute la durée d'un examen que j'ai surveillé hier — pas terrible de réussir un seul exo pendant que les étudiants doivent en faire cinq ;-) mais évidemment cet exo ne faisait pas partie de l'examen...

Exercice : On définit x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½. L'ensemble des réels muni de cette loi est-il un groupe ?

Toutes les solutions sont acceptées... en particulier celles utilisant la force brute du logiciel de calcul formel Maple car j'aimerais bien savoir si Maple arrive à faire ça. J'ai essayé de forcer Maple mais il ne voulait pas ; soit ça dépasse ses capacités, soit ça dépasse mes compétences maple-istiques.

Dans un post récent mon collègue bloggeur PB a constaté qu'une trop grande partie de ses élèves en prépa ne savent pas conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé et qu'ils écrivent souvent « on a montrer que… » dans leurs copies.

Je pense que la compréhension de la structure grammaticale d'une langue est fondamentale pour l'apprentissage des mathématiques. Je la situerais au même niveau que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une structure fondamentale à connaître pour ne pas écrire de bêtises. Malheureusement l'enseignement scolaire actuel ne transmet plus cette hygiène de base, de sorte que de telles lacunes se prolongent jusqu'aux classes préparatoires...

Voici donc une «recette» permettant d'éviter l'erreur la plus fréquente : la confusion entre les terminaisons -er, -é, -ez. On peut l'appliquer sans vraiment comprendre ce que c'est un infinitif, un participe composé et une deuxième personne au pluriel (de toutes manières ceux qui comprennent ces notions ne font probablement pas d'erreurs).

L'idée est simple : remplacer le verbe du premier groupe par un autre verbe, puis se fier à la prononciation. Par exemple on a les correspondances suivantes.

montrer/apprendre/voir,    montrez/apprenez/voyez,    montré/appris/vu.

Il suffit alors de procéder par analogie. Au lieu du verbe montrer utilisez l'autre verbe (apprendre, voir, etc.), puis testez laquelle est la bonne conjuguaison en lisant à haute voix.

Quelques règles de grammaire pour les nuls

FAUX	CORRECT	DONC PAR ANALOGIE
on a apprendre que...	on a appris que...	on a montrer montré que...
vous devez apprenez...	vous devez apprendre...	vous devez montrez montrer...
je viens de vu que...	je viens de voir que...	je viens de montré montrer que...
le lemme qu'on a voir	le lemme qu'on a vu	le lemme qu'on a montrer montré
ce qu'il devait compris	ce qu'il devait comprendre	ce qu'il devait montré montrer
Quel lemme voir-vous ?	Quel lemme voyez-vous ?	Quelle femme aimer aimez-vous ?

C'est bizarre, je ne suis pas français mais je crois que je fais moins d'erreurs de conjuguaison que la moyenne des bacheliers français. Je fais des fautes sur les prépositions (par exemple je ne sais pas si on dit j'aide un élève à faire ses devoirs j'aide un élève de faire ses devois ou j'aide un élève faire ses devois) et parfois je n'utilise pas le passé correct (dans ma langue maternelle, l'allemand, on utilise de manière indifférente l'imparfait et le passé composé), mais jamais ça ne me viendrait à l'esprit d'écrire « on a montrer que… »

La théorie des groupes semble contenir une infinité de questions de colle qui ont l'apparence élémentaires mais qui sont en fait plutôt difficiles. En voici une que vient de m'envoyer un ami:

Soient G un groupe fini d’ordre n et f :G →G un automorphisme de G. On note

et l’on suppose que le cardinal de E est minoré par n/2. Prouver que f est une involution.

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

En Allemagne des élèves apprennent les mathématiques en dansant !
On peut les admirer (ou non) en vidéo ici :

Voilà encore une bonne idée pour l'Education Nationale, n'est-ce pas ? Dans l'esprit moderne d'interdisciplinarité on crée un cours traversal entre mathématiques, éducation physique et musique, où l'élève apprend à réprésenter des objets d'une nature abstraite, comme par exemple le chiffre 3 par une groupe de trois élèves ou par une certaine position du corps ou encore par la distance de trois pas, incitant ainsi l'élève à être créatif tout en exigeant ses compétences sociales et de travailler en collectif... (Je n'arrive pas à bien imiter le jargon des Bulletins Officiels, je devrais demander à mon collègue Tanguy de le faire à ma place, il s'y connaît très bien.)

D'ailleurs je n'ai rien contre l'interdisciplinarité, au contraire. Quand je passais mon bac en Allemagne, j'avais à choisir deux matières principales, et j'ai choisi les maths et la musique de sorte que mon interprétation d'une sonate de Brahms avait le même coefficient au bac que mes connaissances des fonctions trigonométriques réciproques... Il s'agissait donc plutôt d'une pluridisciplinarité. Je pense qu'avant de vouloir lier deux matières de manière traversale il faut déjà maîtriser chacune séparemment. (La spécialisation sur deux ou trois matières principales me semble d'ailleurs une bonne chose pour les deux dernières années du lycée, un concept peut-être à intégrer dans les réformes actuelles du lycée.)

Le mathématicien Rudolf Benesh (1916-1975) s'ennuyait peut-être durant ses heures de bureau à Londres et conceva un système de notation pour aider sa femme, danseuse professionnelle, à mémoriser tous les pas d'une chorégraphie. Le premier ballet entièrement noté par son système était le Petroushka de Stravinski. Ce n'est peut-être pas un hasard que Benesh était mathématicien — en mathématiques on est constamment confronté au problème de chercher un compromis entre une notation très précise mais lourde et une notation allégée et intuitive mais ambiguë.

Rudolf Benesh expose son système de notation

Je soupçonne mon collègue Tanguy (encore lui !) d'utiliser la notation de Benesh pour mémoriser les pas quand il danse le Step dans une salle de sport (mais sur le début de la vidéo il se trompe, il n'est pas synchro avec le prof, héhé).

A son instar je vais me mettre à nu également et montrer une petite vidéo où je danse la salsa. Il est vrai que la salsa c'est plus facile au niveau de la synchronisation, ce n'est pas une danse en groupe, il n'y a pas de chorégraphie préscrite, pas besoin d'une notation à la Benesh, la danseuse se laisse guider par le danseur qui décide donc tout seul ce que les deux doivent faire. J'adore ce rôle ;-)

Mathoman et Kenia dansent sur la musique salsa

D'ailleurs cette vidéo a été prise au centre commercial à La Défense. En fait, quelques jours de la semaine certains employés à La Défense enlèvent leur veste ou leur cravate et se retrouvent à midi pour danser le Tango ou la Salsa, question de se détendre un peu. Et comme je donne des cours dans une école d'ingénieurs pas loin de là, quelques fois je les rejoins. Ca me fait énormément du bien entre deux cours avec des intégrales complexes — c'est du réel, dans  !

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...