Le fait que

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose

X = 0,99999...

Alors on a l'égalité

10X = 9,99999...

dont on soustrait la première,

9X = 9,00000...

D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 fois 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on admet (!) que

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1.   CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires.

Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans [X].

• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si P et Q sont de même degré, peut-on en déduire que P=Q ?
• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si on a la propriété similaire pour b, peut-on en déduire que P=Q ?

Existe-t-il des nombres rationnels tels que est irrationnel ?
Existe-t-il des nombres irrationnels tels que est rationnel ?

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
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Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres — mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Mathias Wandel a construit une calculatrice en bois, basée sur la notation binaire !

Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.

Les nombres naturels

Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :

zéro = 0 , un = 1 , deux = 1+1 , trois = 1+1+1, quatre = 1+1+1+1 , etc.

Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que l'écriture primitive par bâtons qu'on trouve sur les murs des prisons : par exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place pour des grands nombres. Pour éviter cela on utilise une ruse, que j'illustre d'abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :

Le système décimal

Il fonctionne comme suit.

• Nous convenons que les dix premiers nombres (zéro, un, deux, trois, ..., huit, neuf) soient représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
• Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9+1 ou encore le dix, est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
• Puis on donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples:

  et .

Il n'est pas difficile de montrer que tout nombre naturel peut s'écrire dans ce système en n'utilisant que dix chiffres. Le fait qu'on ait pris dix chiffres est un pur hasard, certainement lié au fait que nous comptons dix doigts. Cela marcherait de la même manière si nous nous étions contentés par exemple de sept chiffres ; dans ce cas là, la juxtaposition signifierait le nombre sept et signifierait (c'est-à-dire dans notre système décimal habituel).

Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.

Le système binaire

Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .

La juxtaposition signifie alors le nombre deux et signifie , c'est-à-dire , donc cinq dans notre système décimal habituel.

Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :

0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.

est , est , est (un méga)

Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.


Exemples de passage d'un système à l'autre

Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :

• Soit un naturel écrit dans le système binaire. Alors dans le système décimal c'est le nombre
  


• Soit un naturel écrit dans le système décimal (!). Pour le transformer en écriture binaire nous devons d'abord trouver la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans . Nous savons que et que . Donc est la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans et ainsi l'écriture binaire de nécessitera onze chiffres le premier étant 1. Nous avons La plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est On est passé de la dixième puissance directement à la sixième ; les trois puissances "sautées" (neuvième, huitième, septième) sont représentées par des zéros. Donc l'écriture binaire de notre nombre commence par les cinq chiffres On poursuit de la même manière : ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est Puis ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est . Le dernier reste est Ainsi nous obtenons (notation binaire).


• Pour nous rassurer de notre dernier résultat faisons le test et re-transformons l'écriture binaire en écriture décimale. Le nombre en binaire devient en décimal donc (notation décimale).

Compris ? Et n'oubliez pas : il y a 10 sortes de gens au monde : ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas ;-)

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert soit une fonction holomorphe injective telle que sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

est holomorphe sur et possède une singularité essentielle en . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme pour tout , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe et pour tout il existe une infinité de nombres complexes tels que et .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul et un Il existe alors deux réels et tels que

Pour tout posons et Alors .
Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant assez grand, on voit que possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul direct...

Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Voici deux figures :       $  $  $  $       et       o  o  o  o .

Question :  Qu'ont-elles en commun ?   Réponse :  4.

Ce qui nous paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Mon ami Nik est parti un an enseigner dans une université à Tokio. C'est une période assez longue pour tenter d'apprendre le japonais ; mais ce n'est pas une langue comme les autres ! Normalement l'une des premières choses qu'on fait dans une langue étrangère, c'est apprendre à compter. Or compter en japonais n'est pas pour les débutants, c'est réservé aux avancés car on compte avec des nombres différents, selon le type d'objet.

A la base il y a deux façons de compter 1, 2, 3,... , à savoir ichi, ni, san, yon, go,... ou hito, futa, mi, yo,... — plus précisément il faut faire les distinctions suivantes :

• des objets longs et fins (parapluies, crayons) :   ippon, nibon, sanbon,...
• des objets plats (feuilles, tickets) :   ichi-mai, nimai, sanmai,...
• des étages d'un immeuble :   ikkai, nikai, sankai,...
• les mois :   ichi-gatsu, ni-gatsu, san-gatsu,...
• les jours dans le mois :   tsuitachi, futsuka, mikka, yokka,...
• des personnes :   hitari, futari, san-nin, yon-nin,...
• des liquides (bières pression) :   hitotsu, futatsu, mittsu, yotsu,...

Peut-être il y a là un rélique d'une époque lointaine où on comptait encore sans avoir une idée abstraite de la notion de nombre. Savoir compter et faire abstraction des objets qu'on compte, c'est quelque chose qu'on n'invente pas, on l'apprend. C'est, comme l'invention de la roue, une acquisition culturelle : il suffit qu'une seule fois un seul humain ait l'idée puis ça se répand et se transmet de génération en génération.

L'histoire des mathématiques est pleine d'exemples de concepts simples et basiques qui ont pris des siècles pour être découverts — pourtant, expliqués clairement, ils sont compréhensibles par tous. C'est pourquoi on pourrait attendre en vain qu'un élève invente lui-même les outils nécessaires pour résoudre un problème...