Math'O Man : le Blog des Maths

Utilisation d'une fonction homogène


Facteurs multiplicateurs et énérgie des éoliennes

Par Mathoman, jeudi 10 décembre 2009 à 16:56 - Maths pour tous - Tags

Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut 2\pi r, sa superficie 4 \pi r^2 et son volume 4\pi r^3/3. Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à r^3.

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

2 commentaires

Pourquoi ne pas lire aussi :


Le taon qui veut piquer le cheval

Par Mathoman - Tags

Un cheval est relié à un poteau par un élastique qui peut se dilater de manière homogène et devenir arbitrairement long. A l'instant t=0 le cheval est à un mètre du poteau et un taon se trouve sur le milieu de l'élastique. Le cheval se met à courir avec une vitesse constante. Le taon, quant à lui, rampe à vitesse constante sur l'élastique en direction du cheval. Peut-il rattraper le cheval?

6 commentaires

Germe de fonction infiniment dérivable

Par Mathoman - Tags

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe \mathcal{C}^\infty telle que pour tout naturel n,

f^{(n)}(0)=n^{n^n}\;\;?

4 commentaires

Multiplicateurs de Lagrange

Par Mathoman - Tags

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x1, ... ,xn sous m contraintes données par g1(x1,...,xn)=0, ... , gm(x1,...,xn)=0, alors il existe des réels λ1, ... ,λm tels que

grad f(P) = λ1 grad g1(P) + ··· + λm grad gm(P).

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

  • n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.

  • n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g1 et g2 en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g1(x,y,z) = g2(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm2, le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

4 commentaires

Maths tordues ou tortues ?

Par Mathoman - Tags

Définition (selon Wikipédia) : Un Gömböc (mot hongrois) est un corps homogène tridimensionnel convexe comportant un unique point stable et un unique point instable d'équilibre. Posé n'importe comment, il revient toujours à la même position.

La question de trouver un tel corps fût posée par le mathématicien russe Vladimir Arnold et était résolue l'année dernière par deux mathématiciens hongrois. La vidéo suivante montre que certaines tortues ont une carapace qui ressemble à un Gömböc.

Et pour finir avec la même espèce animal voici un très beau dessin connexe (dessiné d'un seul trait) par un artiste de Vanuatu (république en Océanie), spécialisé en dessins de sable. Il part d'une simple grille de référence, donc avec un cahier d'école on devrait pouvoir y arriver... Tout le monde peut s'y entraîner durant des leçons ou séminaires ennuyeux (-;

Aucun commentaire

Conseils aux étudiants pour une bonne rédaction

Par Mathoman - Tags

Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.

Syntaxe d'une assertion

Une assertion (ou proposition) mathématique est une phrase contenant un verbe. Les verbes mathématiques sont par exemple

=\;\;\;<\;\;\;>\;\;\;\leq\;\;\;\geq\;\;\;\subset\;\;\;\supset\;\;\;\in\;\;\;\ni\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\Leftarrow\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\perp\;\;\;\parallel

et leurs négations. Par exemple

7 + 1 = 8

est une assertion (qui est vraie), et

1 < 0

est une assertion (qui est fausse). Mais

7+1

n'est pas une assertion car elle ne contient pas de verbe, donc on ne peut pas se demander si elle est vraie ou fausse. Entre deux assertions équivalentes on n'écrit pas = mais le symbole \Leftrightarrow. Ce symbole étant lui-même un verbe c'est donc un emboîtement d'assertions (pensez aux poupées russes).
Ecrire
1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; [1,5]
n'a aucun sens car [1,5] n'est pas une assertion (c'est un intervalle). En revanche, on peut écrire
1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in [1,5].

Il ne suffit pas de mettre un verbe pour avoir une assertion, il faut aussi que la syntaxe soit correcte. Par exemple écrire \{7\}\in\mathbb{N} et 7\subset\mathbb{N} n'ont pas de sens. Mais \{7\}\subset\mathbb{N} et 7\in\mathbb{N} sont des assertions (qui sont vraies d'ailleurs).
Le langage mathématique suit les mêmes règles que notre langage habituel (phrase principale, phrase relative, conjonctions,...). Si quelqu'un vous disait
Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec
pouvez-vous dire qu'il dit la vérité ou non ? Non, vous ne pouvez pas ! Or c'est précisément ce que certains étudiants écrivent sur leurs copies de mathématiques : des juxtapositions de symboles qui ne donnent aucun sens. Et donc nous, les correcteurs, ne pouvons pas donner de point pour ce charabia.
Les symboles ne sont que des raccourcis d'écriture. Vous devriez être capables de rédiger sans eux. Si la traduction en langage français de ce que vous écrivez à l'aide de symboles n'a pas de sens, alors il y a un problème.

Introduire les objets avant leur utilisation

Ne faites jamais apparaître un objet sans l'introduire. Par exemple n'écrivez pas

x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; S=\{1,5\}.

Peut-être votre enseignant au lycée vous a donné cette mauvaise habitude, mais la lettre S n'est pas universellement reconnue pour désigner l'ensemble de solutions d'une équation. Il faut donc faire précéder par une petite phrase comme : Notant S l'ensemble de solutions de l'équation x²-6x+5=0 on obtient... Mais cela est bien lourd. Ecrivez donc plus simplement
x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in\{1,5\}.

Exemples de bonne syntaxe

Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.

Théorème 1.  Soit a\in \mathbb{R}. Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur \mathbb{R} si et seulement si a > 0.
Théorème 2.  Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur \mathbb{R} si et seulement si a > 0.
Théorème 3.  Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur \mathbb{R}.
La preuve du théorème 2 devrait commencer comme suit.
Preuve du théorème 2.  Soit a un réel. Blabla...
Evidemment on aurait pu écrire soit b un réel et continuer à travailler avec ce b. Ca serait tout à fait correct car dans le théorème 2 le réel a est une variable locale car précédé par le quantificateur \forall. Ecrire soit a un réel ou soit b un réel revient à fixer ce réel ce qui en fait une variable globale pour la suite du raisonnement.
C'est le moment de mentionner une subtilité. Le théorème 1 commence par soit a un réel. De ce fait a est déjà fixé (une variable globale) dans le théorème 1 et ça serait inutile et même faux de commencer la preuve par dire soit a un réel. Il est déjà donnée et nous devons travailler avec lui et pas avec un autre a ni un autre b.

Mauvaise rédaction de la preuve

Preuve du théorème 2 (version débutant).
Soit a un réel. Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.
Trois erreurs :
  • On voit sur l'inégalité ax < ay .... Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écrire soit x et y....
  • La fin du raisonnement devrait être... n'est pas clair.
  • Le débutant écrit il faut montrer que... puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
    En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire pour la proposition que vous cherchez à prouver alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer ceci...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire : Soit a > 0. Pour montrer que la fonction définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur R je vais prouver que sa dérivée est strictement positive.

Bonne rédaction

Preuve du théorème 2 (version de l'étudiant expérimenté).
Soit a un réel.
Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.

Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité f(0) < f(1). Cela prouve que a = f(1) > f(0) = 0.

Structure d'une preuve

Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :

Enoncé.  Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a l'hypothèse (H) ... alors f est injective.
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.
Autrement dit, vous introduisez deux éléments x et y qui vérifient l'égalité f(x) = f(y), puis vous gardez en tête que vous voulez arriver à l'égalité x = y. Si vous voulez vous pouvez l'écrire x = y en bas de votre page pour savoir où vous voulez arriver. Mais surtout ne l'écrivez pas plus tôt car c'est votre but et non votre point de départ ! Sur le chemin du raisonnement vous devez, très probablement, utiliser la propriété (H).
Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.

Autre conseil

Mon collègue et ami Laurent Kaczmarek a écrit des conseils de rédaction utiles concernant la notation des fonctions en analyse.

1 commentaires

Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et U_1,U_2,\,\dots\,,U_n un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert U_j soit f_j une fonction holomorphe injective telle que df_j=df_k sur toutes les intersections U_j\cap U_k. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par
\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;

est holomorphe sur \mathbb{C}\backslash0 et possède une singularité essentielle en 0. L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme f(z)\neq0 pour tout z\in\mathbb{C}\backslash0, cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe w\neq0 et pour tout \epsilon>0 il existe une infinité de nombres complexes z tels que 0<|z|<\epsilon et f(z)=w.

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul w et un \epsilon>0. Il existe alors deux réels r>0 et \varphi tels que
w=re^{i\varphi}.

Pour tout n \in \mathbb{N} posons u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n) et z_n=1/{u_n}. Alors \lim_{n\to\infty}z_n=0.
Ainsi on a on a
f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.

Par conséquence, en prenant n assez grand, on voit que w possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé 0<\,|z|\,<\epsilon.

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}.

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

2 commentaires

MacBook. Première impression : plus chic que pratique

Par Mathoman - Tags

Depuis quelques jours je possède un MacBook Pro. C'est le troisième système d'exploitation que je rencontre dans ma vie. Mon premier était Unix à l'université ; je l'utilisais principalement pour envoyer des emails avec Eudora, pour éditer du code LaTeX dans Emacs et pour programmer un peu en Html.

C'est seulement plus tard, lorsque je me suis acheté un PC, que j'ai fait la connaissance du système d'exploitation du plus riche homme de la planète. Mais je ne l'utilisais pas exclusivement ; en fait mon PC avait une double-fonction pour moi : je le bootais soit sous Linux pour faire du LaTeX comme avant, soit sous Windows pour lancer d'autres applications qui n'existent pas en Linux (principalement des logiciels de MAO, comme Cubase). Plus tard, j'ai découvert MiKTeX de Christian Schenk, une version Windows de LaTeX qui marche très bien avec TeXnicCenter ; cela sonnait alors le glas à mon utilisation de Linux car je pouvais enfin faire fonctionner LaTeX et mes applications audio favoris sous un même système d'exploitation, à savoir Windows.

Alors, dans ce monde si parfait, qu'est-ce qui m'a poussé à acheter un MacBook Pro ? Il y avait principalement deux raisons. D'abord la qualité hardware des PC portables m'a deçu — les touches, le boîtier, tout commencait à se dégrader après un ou deux ans, même avec des bonnes marques comme HP. Beaucoup de mes amis me conseillaient alors les ordinateurs à la pomme. Et il est vrai, mon nouveau MacBook Pro est vraiment agréable à toucher et semble fait pour durer. L'autre raison était que certains logiciels de musique comme le fameux Metasynth de mon ami Eric Wenger ne fonctionnent que sur Mac.

Grâce à BootCamp mon Mac démarre maintenant avec WinXP. Cela me permet de travailler comme toujours avec MiKTeX. Contrairement à ce que je craignais, WinXP fonctionne parfaitement sur le Mac — donc pas de problème au niveau software.

Mais voilà ma grande déception, elle vient plutôt de la hardware : le clavier du Mac. Le clavier du MacBook est conçu pour être chic sans être pratique ! L'élégance a emporté sur la fonctionnalité. Les touches indispensables pour coder en LaTeX n'y existent pas :

~   {   }   [   ]   |   \

Plus précisément, elles existent et sont accéssibles en combinaison avec la touche alt mais il faut connaître leurs emplacements par cœur. C'est assez désagréable. Je ne comprends vraiment pas comment on a pu laisser de côté ces touches si importantes pour tout programmeur.

Sur un Mac on cherchera aussi en vain d'autres touches qu'on connaît d'un PC :

Del   Home   End   PgUp   PgDown

Dans l'édition LaTeX ou Html ces touches sont très pratiques si on veut, par exemple, sélectionner rapidement toute une ligne pour la copier-coller une page plus bas. Leur absence sur le Mac (sous Windows) implique qu'on doit utiliser plus souvent la souris pour sélectionner ou pour descendre et cela signifie une perte de temps ainsi qu'un manque de comfort.

En résumé : Je déconseille le MacBook à tous ceux qui doivent écrire des longs fichiers en un langage de programmation. Le Mac est certainement bon pour un usage multimédia. Pour ceux qui souhaitent, comme moi, faire les deux sur une même machine, ma recommandation est d'acheter plutôt un PC.

4 commentaires

L'application comatrice

Par Mathoman - Tags

Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est (-1)^{k+j}\det(A_{kj}) où A_{kj} désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors A_{kj} est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

A_{kj}= \begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ a_{k-1,1} & \dots & a_{k-1,j-1}& a_{k-1,j+1}& \dots & a_{k-1,n} \\ a_{k+1,1} & \dots & a_{k+1,j-1}& a_{k+1,j+1}& \dots & a_{k+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{pmatrix}\;.

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

\text{com}(A) = \left((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\right)_{1\leq k,j\leq n}

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire GL(n,\mathbb{R}) sur lui-même ? Et de GL(n,\mathbb{C}) sur lui-même ?

5 commentaires

Somme de certains déterminants

Par Mathoman - Tags

A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

2 commentaires

Concevoir la notion d'application

Par Mathoman - Tags

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

f\;:\; X \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; x \; \longrightarrow\;f(x)\,.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

  1. Point de vue y en fonction de x.
    C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
    Le schéma mental est le suivant.

    dessiner le graphe d'une fonction, comprendre les fonctions

    L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe \Gamma \subset X\times Y constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
    En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
     
  2. Point de vue collection d'éléments de Y.
    On peut aussi écrire l'application f en forme de famille (f(x))_{x\in X}. On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
    En général, une famille (y_j)_{j\in J} dans Y n'est rien d'autre qu'une application

    y\;:\; J \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; j \; \longrightarrow\;y_j\,,

     
    où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
    Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si (b_j)_{j\in J} est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

    v=\sum_{j\in J} \lambda_j\, b_j\:,

    où (\lambda_j)_{j\in J} est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application \lambda\;:\; J \;\longrightarrow \;K\, est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

    v=\sum_{b\in B} \lambda_b\, b\:.


     
  3. Point de vue les fibres en fonction de y.
    Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
     
    f_y\;=\;f^{-1}(\{y\:\})\:=\:\{\:x\in X\; :\; f(x)=y\:\} \,.

     
    Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
     

    représenter une fonction graphiquement, comprendre une fonction


    L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
     
Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :
L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

\tilde{Y} = f(X)\:\subset\:Y

et l'espace des fibres

\tilde{X} = \{\,f^{-1}(\{y\})\:|\: y\in \tilde{Y}\,\}\:\subset\:{\scr P}(X).

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence  ~  qui est définie par  x ~ x'  si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que \tilde{X} et \tilde{Y} sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection \pi, une bijection \tilde{f} et une injection j tel que le diagramme suivant commute.

Factorisation canonique d'une fonction, comment comprendre les applications

En effet, il suffit de prendre pour \pi la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour \tilde{f} l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

f= j\circ \tilde{f}\circ \pi.

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

f\;:\; \mathbb{R}^3 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y,z) \; \longrightarrow\;ax+by+cz\,,

 
où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace \mathbb{R}^3 par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

g\;:\; \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

g\;:\; \mathbb{C}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{C}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

Aucun commentaire