Le fait que

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose

X = 0,99999...

Alors on a l'égalité

10X = 9,99999...

dont on soustrait la première,

9X = 9,00000...

D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 fois 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on admet (!) que

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1.   CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert soit une fonction holomorphe injective telle que sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

est holomorphe sur et possède une singularité essentielle en . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme pour tout , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe et pour tout il existe une infinité de nombres complexes tels que et .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul et un Il existe alors deux réels et tels que

Pour tout posons et Alors .
Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant assez grand, on voit que possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul direct...

Attention, étudiants et élèves ! Respectez votre professeur de mathématiques. Peut-être derrière cette personne grise et austère il se cache un personnage très surpenant... En tout cas, conscience professionnelle oblige, j'irai voir ce film :

Le nouveau film avec Franck Dubosc. Sortie aujourd'hui

La sortie du deuxième volet de la trilogie est prévue pour l'année prochaine :

Mathohulk avant de reléver un segment compact

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son génie à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Notre ami bloggeur PB a raison de se plaindre sur le niveau d'orthographe des bacheliers qui sortent des lycées de nos jours. Je trouve très souvent dans leurs rédactions en colles des choses comme ce therme en x² est... Le traitement de l'h par les jeunes est vraiment stupéfiant !

L’Arithmétique, c’est comme l’amour : ça commence par un Bezout et ça finit par un Gauss...

Tout bon matheux aime changer les maths !

1. Quel célèbre personnage se cache derrière ln(3) ?
2. exp et log font un concours de peinture. Qui gagne ?
3. exp et ln vont au restaurant. Qui paye l’addition ?
4. Monsieur Dehun et Madame Egalzéro ont une fille, comment l’appellent-ils ?

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

Comment "le font"-ils ?

• Les topologistes le font discrètement.
• Les topologistes le font de manière ouverte.
• Les topologistes le font avec du caoutchouc.
• Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
• (les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
• Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
• Les algébristes le font avec leur corps.
• Les algébristes le font associativement.
• Les algébristes le font en s'inversant.
• Les algébristes le font en se multipliant.
• Les analystes le font continûment.
• Les analystes le font sur un support compact.
• Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
• Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
• Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
• Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
• Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

Comment "le faisaient" les grands ?

• Cantor le faisait en diagonale.
• Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
• Galois l'a fait la nuit juste avant.
• Möbius le faisait toujours du même côté.
• Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
• Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
• Markov le faisait à la chaîne.
• Archimède le faisait dans sa baignoire.
• Newton tomba dans les pommes.
• Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

• Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
• Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

Classer les gens

• Il y a trois sortes de gens au monde: ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas compter.
• Il y a deux sortes de gens au monde: ceux qui pensent que le monde peut être divisé en deux sortes de gens et ceux qui pensent que ce n'est pas possible.
• Il y a 10 sortes de gens au monde: ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas.

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

• Aucun. C'est laissé au lecteur en exercice.
• Aucun. Un mathématicien ne peut pas changer une ampoule, mais il peut prouver que cela est faisable.
• Un. Il la donne à un physicien et ramène ainsi le problème à un problème précédemment résolu.
• La solution est triviale.
• Un seul, une fois que vous avez réussi à lui présenter le problème dans des termes qu'il peut comprendre.

Combien faut-il d'analystes pour changer une ampoule ?
Trois. Un pour prouver l'existence, un pour prouver l'unicité et un pour déterminer les condtions initiales.

Combien faut-il d'analystes numériques pour changer une ampoule ?
3,9967 (après six itérations)

Combien faut-il de mathématiciens constructivistes pour changer une ampoule ?
Aucun. Ils ne croient pas au rotations infinitésimales.

Combien faut-il de géomètres classiques pour changer une ampoule ?
Cela ne peut pas être fait à la règle et au compas.

Combien faut-il de topologistes pour changer une ampoule ?
Un seul. Mais que fait-il du beignet ??

Combien faut-il de Bourbakistes pour changer une ampoule ?
Changer une ampoule est un cas particulier d'un problème plus général concernant l'entretien et la réparation d'un système électrique. Pour déterminer un minorant et un majorant du nombre de personnes nécessaires, nous devons vérifier si les conditions du lemme 2.1 (disponibilité du personnel) et ceux du corollaire 2.3.55 (motivation du personnel) sont vérifiées. Si et seulement si ces conditions sont réunies, on obtient le résultat en appliquant le théorème de la section 3.11.23. Le majorant obtenu est, bien sûr, à prendre en compte dans un espace mesuré, muni de la topologie *-faible.

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que et

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de :

• la boule
  
• la sphère
  
• l'hémisphère nord
  

Le bord de la boule est la sphère . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire




Questions

1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule et son bord dans les cas n=1,2,3.
2. Démontrer que
   
3. Démontrer que
   
4. Démontrer que
   
5. Démontrer que
   

Cliquez pour lire la Solution.

Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

1. est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord est constitué des deux extrémités. est un disque et son bord est un cercle. est une ``vraie'' boule et son bord est une ``vraie'' sphère.
   


2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
   
   
   
   
   
   Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.
   
   
   
   Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
   
   
   
   
   • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien . Le demi-cercle supérieur (en rouge) se projette bijectivement sur le segment (en bleu).
     
   
   
   • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien et est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord (en rouge) se projette bijectivement sur le disque (en bleu).
     
   
   
   
   


3. Chaque droite coupe la sphère en deux antipodes: et où est arbitraire dans .
   Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:
   
   
   
   De cette observation on déduit que l'application
   
   est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément
   
   
   
   Par conséquence est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que et l'équateur n'est rien d'autre que le bord de . Par conséquence .
   
   
4. Le résultat précédent implique en particulier que .
   Or =[-1,1] et par conséquence est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
   Ainsi est en bijection avec le cercle . Nous obtenons . Illustration:
   
   
   
   D'autre part est le groupe des rotations du plan euclidien orienté . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans il est évident que est en bijection avec le cercle .
   Conclusion: .
   


5. Pour la suite voir le fichier pdf.

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

• La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
• Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

• Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
• Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).