En Allemagne des élèves apprennent les mathématiques en dansant !
On peut les admirer (ou non) en vidéo ici :

Voilà encore une bonne idée pour l'Education Nationale, n'est-ce pas ? Dans l'esprit moderne d'interdisciplinarité on crée un cours traversal entre mathématiques, éducation physique et musique, où l'élève apprend à réprésenter des objets d'une nature abstraite, comme par exemple le chiffre 3 par une groupe de trois élèves ou par une certaine position du corps ou encore par la distance de trois pas, incitant ainsi l'élève à être créatif tout en exigeant ses compétences sociales et de travailler en collectif... (Je n'arrive pas à bien imiter le jargon des Bulletins Officiels, je devrais demander à mon collègue Tanguy de le faire à ma place, il s'y connaît très bien.)

D'ailleurs je n'ai rien contre l'interdisciplinarité, au contraire. Quand je passais mon bac en Allemagne, j'avais à choisir deux matières principales, et j'ai choisi les maths et la musique de sorte que mon interprétation d'une sonate de Brahms avait le même coefficient au bac que mes connaissances des fonctions trigonométriques réciproques... Il s'agissait donc plutôt d'une pluridisciplinarité. Je pense qu'avant de vouloir lier deux matières de manière traversale il faut déjà maîtriser chacune séparemment. (La spécialisation sur deux ou trois matières principales me semble d'ailleurs une bonne chose pour les deux dernières années du lycée, un concept peut-être à intégrer dans les réformes actuelles du lycée.)

Le mathématicien Rudolf Benesh (1916-1975) s'ennuyait peut-être durant ses heures de bureau à Londres et conceva un système de notation pour aider sa femme, danseuse professionnelle, à mémoriser tous les pas d'une chorégraphie. Le premier ballet entièrement noté par son système était le Petroushka de Stravinski. Ce n'est peut-être pas un hasard que Benesh était mathématicien — en mathématiques on est constamment confronté au problème de chercher un compromis entre une notation très précise mais lourde et une notation allégée et intuitive mais ambiguë.

Rudolf Benesh expose son système de notation

Je soupçonne mon collègue Tanguy (encore lui !) d'utiliser la notation de Benesh pour mémoriser les pas quand il danse le Step dans une salle de sport (mais sur le début de la vidéo il se trompe, il n'est pas synchro avec le prof, héhé).

A son instar je vais me mettre à nu également et montrer une petite vidéo où je danse la salsa. Il est vrai que la salsa c'est plus facile au niveau de la synchronisation, ce n'est pas une danse en groupe, il n'y a pas de chorégraphie préscrite, pas besoin d'une notation à la Benesh, la danseuse se laisse guider par le danseur qui décide donc tout seul ce que les deux doivent faire. J'adore ce rôle ;-)

Mathoman et Kenia dansent sur la musique salsa

D'ailleurs cette vidéo a été prise au centre commercial à La Défense. En fait, quelques jours de la semaine certains employés à La Défense enlèvent leur veste ou leur cravate et se retrouvent à midi pour danser le Tango ou la Salsa, question de se détendre un peu. Et comme je donne des cours dans une école d'ingénieurs pas loin de là, quelques fois je les rejoins. Ca me fait énormément du bien entre deux cours avec des intégrales complexes — c'est du réel, dans  !

Petite pause musicale — ou plutôt machinale car ces petits bonhommes Duracell ont la précision d'une horloge suisse! Une coordination parfaite au niveau local et global.

Voici, à titre de comparaison, la batucada brésilienne Batala dans laquelle je jouais pendant quelques années la caixa (caisse claire). Ce n'est pas la même précision, mais on s'amuse quand-même ;-) Vive le samba à Paris !

Voilà, après une plutôt longue pause (exactement un mois) je suis de retour sur le blog et je commence doucement avec un petit exercice de géométrie plane ;-)

Soit D une droite dans le plan euclidien et n un entier positif. Montrer qu'il existe un point P₀ en dehors de la droite D et des points P₁,...,P_n sur D tels que la distance entre tous deux de ces n+1 points est un entier strictement positif.

Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

Pourquoi le nombre de la formule pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Un amour de Swann, le deuxième livre autonome de la trilogie Du côté de chez Swann de Marcel Proust, est paru en 1913. A cette époque la théorie des ensembles et la théorie des groupes venaient d'être inventées et connaissaient un grand essor.
Je m'imagine bien l'écrivain Proust lors d'une réception un dimanche après-midi chez un représentant de la nomenklatura scientifique parisienne, disons chez le grand mathématicien Henri Poincaré ; on y joue des arrangements pour violon et piano des opéras de Wagner, on parle de poésie ou d'art chinois. Proust, le snob, s'isole dans le salon à côté et trouve sur la table une revue scientifique avec la dernière publication de son hôte. Il l'ouvre sur la première page, commence à lire et n'y comprend pas grand'chose — mais les mots et formulations lui plaisent...

Bon, vous direz que j'ai trop d'imagination ! Alors jugez par vous-même... voici la phrase avec laquelle commence Un amour de Swann :

Pour faire partie du « petit noyau », du « petit groupe », du « petit clan » des Verdurin, une condition était suffisante mais elle était nécessaire [...]

 

Après le dessin "drôle" des courbes dans mon billet précédent, voici un petit dessin qui concerne pas mal de personnes je crois.

En fait, il y a tout un site web avec des bonnes blagues, aussi sur les maths, un peu à la Charlie Brown. Le site web s'appelle XKCD et est probablement tenu par un étudiant en sciences. Voici deux joyaux qui sont à mon goût.

Le suivant me rappelle mes propres expériences comme enseignant.

Et celui-ci fera rire notre bloggeur phycicien-cosmologue FB. Et celle-ci est fausse dans sa manière (avec la convention d'orientation habituelle du plan il faudrait écrire -90°).

Voir aussi ça ou ça ou ça ou ça.

Apparemment la question sur un pavage de rectangles posée ici il y a quelques jours est stimulante. Après la solution par produit tensoriel, voici une autre qui repose sur une activité habituellement réservée aux enfants: le coloriage. (Les matheux ne sont que de grands enfants !) Merci à David Caisson qui m'a envoyé cette solution extraite du livre Solving Mathematical Problems de Terence Tao.

L'idée de T. Tao est aussi simple que belle: on colore en vert tous les rectangles ayant un côté horizontal entier, et en rouge tous les autres rectangles. Un argument topologique de connexité nous assure alors que dans le grand rectangle on peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert ou les deux côtés horizontaux par un chemin rouge. (Pour ceux qui ne connaissent pas encore la notion de connéxité : c'est une sorte de théorème des valeurs intermédiaires qui dit que deux lignes reliant les côtés opposés se coupent forcément). Or un chemin vert consiste en la juxtaposition de rectangles verts, donc sa longueur horizontale est entière; et de manière analogue pour un chemin rouge.

Vous pouvez lire la solution complète ici.

Cette "solution" m'a laissé perplexe car sur les trois premières pages l'auteur n'avance pas beaucoup, puis au tout dernier paragraphe il évoque, sans les traiter, quelques obstacles qui pourraient éventuellement se poser. Et avec un peu d'esprit critique on trouve que la démonstration est fausse! Voici un contre-exemple.

 

 
La largeur est 4 et la hauteur est 3,5. Pourtant il n'y a pas de chaîne verte mais seulement une chaîne rouge dont on ne peut rien déduire sur la hauteur (car elle possède des décalages) ni sur la largeur (car les rectangles rouges n'ont pas de largeurs entières).

Mais Terence Tao ne serait pas Terence Tao, porteur de la Médaille Fields 2006 (sorte de prix Nobel pour mathématiciens), si l'idée de sa preuve était entièrement fausse ! En effet, après une petite recherche sur internet, je me rends sur son blog personnel et j'y trouve une liste d'errata où il corrige, entre autres, cette preuve. Voici l'amélioration qu'il apporte:

On colore les rectangles comme avant, mais seulement leurs intérieurs. Ensuite on colore en vert les côtés verticaux ouverts, et le reste en rouge.

Maintenant mon contre-exemple ne résiste plus! On peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert.


 
Pourquoi cette démonstration améliorée fonctionne-elle ? Et bien, lorsqu'on parcourt un chemin vert disons, alors chaque fois qu'on quitte un rectangle vert pour passer dans un autre, ça se fait sur un segment vertical dont l'abscisse est un entier.

Voilà donc une jolie solution purement topologique, sans analyse. Je ne pense pas qu'elle s'adapte aux dimensions supérieures.

Fin 2007 le Ministère de l'éducation nationale a tenu des auditions sur le métier d'enseignant. Chaque audition a été filmée et est diffusée en streaming sur le site web du Ministère. J'apprécie cette transparence.

D'une part il y a, apparemment, une pénurie de professeurs mais d'autre part beaucoup de gens (qui ne sont pas tous enseignants ou n'exercent ce metier devant une classe) sont passionés par les questions d'éducation et ont une opinion sur ce qui devrait être l'école. Donc le nombre d'orateurs devant cette commission est élévé et ces auditions ont duré plusieurs semaines (calendrier des auditions). Evidemment je n'ai pas vu l'intégralité de ces vidéos ; je me suis concentré sur les auditions de quelques orateurs bien connus, comme par exemple Luc Ferry qui parle ouvertement de certains problèmes, sans langue de bois...

On a également invité le philosophe Alain Finkielkraut. Il pose, entre autres, la question cruciale concernant le rôle des nouvelles technologies à l'école : Qu'est-ce qui sera plus utile dans la société de demain, être capable de se fixer longtemps sur une même activité ou gérer plusieurs taches en même temps ?

Pour bien réussir un concours le mieux c'est de le préparer avec des annales. C'est aussi vrai pour le premier concours que vous passerez dans votre vie : le baccalauréat.

Le style de sujets de bac de mathématiques ne change pas soudainement d'une année à l'autre. Mais il peut être différent des exercices que vous trouvez dans votre manuel scolaire ou que votre professeur vous pose en classe. Si vous maîtrisez bien les sujets des cinq dernières années, je crois le jour du bac vous n'aurez pas de mauvaises surprises. C'est pourquoi je vous conseille de vous préparer avec des sujets corrigés de bac en mathématiques.

Il est important aussi d'apprendre à gérer son temps. Si par exemple votre épreuve de bac dure trois heures, trouvez un créneau libre de trois heures non-interrompu pour vous enfermer dans votre chambre en éteignant le téléphone, l'ordinateur, la télé et concentrez vous sur le sujet. Prenez ensuite une bonne pause afin de comparer vos solutions avec le corrigé. Après une semaine refaites le même sujet pour contrôler si vous avez retenu les méthodes du corrigé...

En général, je vous conseille une règle valable pour tous les apprentissages (musique, sport, etc.) : travaillez d'abord la justesse, puis la rapidité, et pas dans le sens inverse ! Au départ votre but n'est pas de répondre à toutes les questions mais de donner des réponses complètes et justes aux exercices que vous maîtrisez ; plus tard la rapidité viendra de façon automatique. Un correcteur préfère une copie qui traite seulement la moitié des questions mais de manière correcte à une copie qui traite toutes les questions avec la moitié des réponses fausses !

Un dernier conseil: les sujets de bac nécessitent jamais de très longs calculs. Si vous avez besoin d'une page de calcul pour prouver une question, votre solution est peut-être juste mais elle est certainement trop longue. Donc même si vous savez faire un exercice, prenez quand même le temps de survoler le corrigé afin de vous impregner d'une rédaction concise qui dégage les points importants. Cela tient en particulier pour les candidats qui aspirent à la mention au bac!