Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.


On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.

Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

• Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
  
  
  • Si alors car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
  
  
  • Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que On sait déjà qu'il existe un chemin injectif tel que et . L'ensemble est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
    
    Par continuité l'image réciproque est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément . On a l'inégalité car
    
    Le point ne peut pas être contenu dans la boule ouverte , sinon le serait également pour assez petit, contrairement à la définition de . Donc est sur le bord de la boule . Par construction on peut relier injectivement à tout point de sans rencontrer . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de Donc est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

    



• Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
  
  
  • Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
  
  
  • Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection . Pour on a . Il existe un chemin injectif allant de x à z. L'ensemble

    

    est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
    Parmi tous les points du compact il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et son correspondant sur la variété (toujours via la carte ). Clairement . D'une part on a la restriction de à et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

    

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

compact dans B(1),
donc compact dans U,
donc compact dans M,
donc fermé dans M (séparé).

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Comment trouver l'amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale.

Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples

Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts à se marier ; pour tout entier k dans [1,n] et tout choix de k femmes, l'ensemble des hommes qui sont aimés par au moins une de ces femmes contient au moins k éléments.
Démontrer qu'on peut organiser des mariages tels que chaque femme se marie avec un époux qu'elle aime.

Avant les vacances d'été j'avais écrit un billet avec les exercices du Trivium mathématique de Vladimir Arnold. Grâce aux efforts estivaux de certains lecteurs, notamment de JLT, presque toute question a trouvé sa solution (sauf les 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74). Quelle conclusion peut-on tirer ?

D'abord ce trivium est loin d'être trivial. Il apprend de l'humilité à beaucoup parmi nous, enseignants souvent spécialisés dans certains domaines, et nous rappelle qu'on a la mémoire courte, c'est-à-dire qu'on a tendance à oublier des choses si on ne les utilise/enseigne plus. Deuxièmement, on apprend à apprécier l'outil Wikipédia pour chercher des définitions ou clarifications de certaines notions. Je crois que j'aurais fait mes études plus facilement si Wikipédia avait déjà existé ; mais il y a encore dix ans il fallait aller à la bibliothèque, passer beaucoup de temps à ne rien trouver ou encore trouver des articles et livres où la notion recherchée apparaissait englobée par 200 pages de définitions ou théorèmes...

Mais laissons le dernier mot à l'auteur du Trivium lui-même : en fait, Arnold a écrit un Mathematical Trivium bis dans lequel il résume certaines réactions à son premier Trivium. En plus il y a aussi son texte sur l'enseignement des mathématiques et la vidéo suivante sur les mathématiques expérimentales :

Noël est le temps des casse-noisettes, non des casse-têtes pour mes amis les matheux. Voici une égalité :

Le but est de démontrer qu'elle est vraie pour tout entier n strictement positif. Comme d'habitude en maths c'est la dévise short is beautiful, c'est-à-dire il faut trouver une solution courte et élégante, sans avoir beaucoup de calcul à faire. On pourra s'inspirer de l'image d'un père noël ayant des cadeaux à distribuer dans des chaussettes...

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

• comment trouver le centre d'un cercle
• comment calculer un pourcentage
• calculer une circonférence
• algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

1. blog ennuyeux
2. comment etre elégante en classe
3. pourquoi pas de belle fille en math spé
4. faire des math ou pas
5. comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
6. comment faire un piege a oiseau qui marche
7. piege a oiseaux sans piege
8. thèse doctorat reggae
9. ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
10. combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
11. comment resoudre une equation du premier degre sans pi
12. jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
13. apprendre beaucoup en peu de temps
14. bien gerer son bac avec humour
15. komen reusir le bac san travailé
16. avec quelle musique faire des maths ?
17. comment etre un bon eleve dans la classe
18. comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
19. insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
20. je veux qu'on me calcule cet exercice
21. comment faire une opération de transformation un homme en une femme
22. peut on réapprendre les maths à quarante ans
23. qui fait les math à ma place
24. demontrer de fausses égalités mathématiques
25. elle est ferme
26. image filles sur canapé
27. colloque proust contrepeterie
28. les étudiants ne savent plus faire une équation
29. exercice pour avoir le prix nobel en maths
30. apres combien de temps un chien oublie son maitre
31. comment tracer une droites concourantes
32. apprendre la corégraphie de nobody's perfect
33. je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
34. combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
35. comment trouver le mot je t'aime en math
36. comment être une fille amusante
37. comment aimer son mari
38. maths et masturbation
39. extrait x les petit nin avec femme
40. femme qui fait l'amour avec un chien
41. anssienne metode de multiplication
42. alain conne salaire
43. les 3 connes streaming
44. comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
45. franque du bosque
46. ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

Dans ma vie musique et mathématiques tiennent une place à peu près égale. Les deux me passionnent, me procurent du plaisir, m'étonnent toujours et font que je reste un éternel élève. Quand je dis aux gens que je partage mon temps entre musique et maths, ça ne les surprend pas ; les mathématiques et la musique seraient liées, disent-ils. Mais en quoi consiste ce lien ? Généralement on me donnne trois types de réponses :

1. La musique et les maths sont abstraites.
2. Les deux utilisent des systèmes de notation illisibles pour le commun mortel.
3. On y fait des calculs.

A mon avis tous ces points restent un peu à la superficie.

1. Oui, les maths sont abstraites car elles sont construites sur un système d'axiomes qui n'est pas imposé par l'observation de la nature (comme les lois physiques) mais par un choix arbitraire soumis seulement à la logique ; et la musique est abstraite car elle ne dit rien de concret (comme une pièce de théâtre) et car on ne peut pas la toucher (comme une sculpture).
2. Oui, les deux font recours à des systèmes d'écriture qu'il faut apprendre. Mais dans les deux cas la fixation par l'écrit n'est qu'un moyen et pas la finalité ; le théorème de Pythagore existe sans qu'un géomètre grec le trace dans le sable, et la musique existe pour être écoutée et non pour être lue. De plus, pas toutes les musiques sont écrites ; le solfège était inventé pour la musique classique européenne et ne se transpose pas forcément aux musiques d'autres cultures qui fonctionnent par transmission orale ou à la musique électronique de nos jours.
3. Oui, dans les deux on peut être amené à faire des calculs. Mais encore les calculs ou la combinatoire ne constituent pas la finalité, ni dans la musique sérielle ou dodécaphonique, ni dans une triple-fugue de Bach, ni chez Bartók quand il place le climax d'un mouvement au moment qui correspond au nombre d'or.

Toutes ces réponses oublient un point essentiel qui, à mon avis, caractérise à la fois les sciences mathématiques et l'art de la musique :

La polyvalence des objets, ou le changement de référence

Une grande partie du travail d'un mathématicien consiste à considérer un même objet mais sous plusieurs angles différents, puis de traduire les observations d'un point de vue à l'autre. Ce qui est étonnant c'est qu'on peut en tirer, de ce pur travail de traduction, des conclusions intéressantes ! Et la même chose est vraie en musique ; une même mélodie, un même rythme, une même harmonie peuvent être ça ou ça. Ca l'air assez flou, je vais m'expliquer sur des exemples simples.

Ca mais aussi ça — les maths comme la science des différents points de vue

Mon prof de physique avait l'habitude de se moquer des matheux qui, selon lui, ramènent tout énoncé à des affirmations triviales du genre 0 = 0. Il est vrai que les maths construisent un monde à partir de très peu. L'essentiel se fait en traduisant des différents points de vues. Proposons nous par exemple de prouver l'affirmation suivante.

Proposition sur l'orthocentre. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire se coupent en un point commun.

Les hauteurs se coupent en un point

Preuve. Soit ABC un triangle. Rappellons que, par définition, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Il ne faut pas la confondre avec la médiatrice sur [BC] qui, par définition, est perpendiculaire à [BC] et passe par le milieu de [BC].
Il est facile de voir que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. En effet, la médiatrice sur [AC] est l'ensemble des points équidistants à A et C ; et de manière analogue c'est vrai pour les deux autres médiatrices. Donc le point d'intersection des médiatrices sur [AC] et [BC] est équidistant à A et C et à B et C, donc il est aussi équidistant à A et B. Par conséquence il se trouve sur la médiatrice sur [AB].
En fait, l'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

Maintenant revenons au problème de l'intersection des hauteurs. Nous construisons un nouveau triangle A'B'C' comme indiqué dans le dessin suivant.

Les hauteurs du petit triangle ABC sont les médiatrices du grand triangle A'B'C'

Les droites (AB) et (CA') sont parallèles ; de même (AC) et (BA'). Donc ABA'C est un parallélogramme, d'où l'égalité AB=CA'. De même on montre AB=B'C. Il en resulte que B'C=CA' ou encore que C est le milieu de [A'B']. Par conséquence la hauteur issue de C dans le triangle ABC coïncide avec la médiatrice sur [A'B'] du triangle A'B'C'. On peut faire le même raisonnement sur les deux autres hauteurs. Dire que les les hauteurs de ABC sont concourantes revient donc à dire que les médiatrices de A'B'C' sont concourantes — et nous savons que cette dernière affirmation est vraie, q.e.d.

Résumé. Les trois hauteurs d'un triangle sont aussi les médiatrices d'un autre triangle. L'essentiel de la preuve consiste en la traduction d'un point de vue dans l'autre. L'objet mathématique, ici une droite, peut être est ça, mais aussi ça. C'est de la pure ambivalence, et le mathématicien en est le traducteur !

Un autre exemple est celui du problème des fourmis sur une tige qui semble compliqué au premier abord, mais est finalement trivial si on change de référentiel.

Ca mais aussi ça — la musique comme l'art de l'ambivalence

Un exemple basique concerne le rythme. Beaucoup de compositeurs (notamment Brahms) utilisent le fait que le nombre six est 3+3 mais aussi 2+2+2. Pour ceux qui connaissent le solfège (et le calcul des fractions), cela se traduit par l'égalité 6/8=3/4. Par conséquence on peut très bien faire la contrebande de quelques mesures 3/4 dans un morceau 6/8, sans gêner le groove général de la musique (au contraire ça en rajoute). Je crois que l'exemple le plus connu est la chanson I like to be in America de la West Side Story de Leonard Bernstein.

Un autre exemple vient de l'harmonie. Comme nous venons parler de triangles en maths, parlons de triades (accord de trois notes) en musique. Prenons par exemple l'intervalle La-Do. Cette petite tierce peut faire partie de la triade La-Do-Mi (La-mineur) aussi bien que de la triade Fa-La-Do (Fa-majeur). C'est donc ça, mais aussi ça ! Une astuce des compositeurs est d'utiliser cette ambivalence au début d'une musique comme moyen de laisser l'auditeur dans le flou. Il ne sait pas si ça va aller vers mineur ou majeur ! Gustav Mahler le fait de manière géniale dans son fameux Adagietto (4^e mouvement de la cinquième symphonie). En plus, il nous trompe encore à l'arrivée avec une appogiature, c'est-à-dire il nous fait entendre simultanément les deux tonalités La-mineur et Fa-majeur, seulement la harpe et le pizzicato de la basse confirment avec la fondamentale qu'on est bien dans Fa.

Gustav Mahler : Adagietto de la 5ème symphonie

Pendant deux mesures l'auditeur craint d'être dans La-mineur, et quand il s'affirme finalement Fa-majeur, quelle satisfaction ! Vous pouvez l'écouter ci-dessous. Evidemment ce n'est qu'un exemple très basique et on en trouve beaucoup d'autres plus recherchés dans la littérature musicale (notamment les modulations ou l'enharmonie qui sont en analogie avec l'exemple des triangles cité en haut).

Ecouter cette musique ici.

Un dernier point commun entre maths et musique : c'est beau et ça ne sert à rien (enfin l'utilité n'est pas leur but premier). Mais une grande différence : les maths sont seulement belles pour ceux qui les font, tandis que la musique peut-être appréciée passivement.

D'ailleurs il y a des gens, plus formés que moi, qui réfléchissent aux liens structurels entre maths et musique et qui publient des recherches sérieuses sur ce sujet. De temps en temps je vais dans leur séminaire MaMuPhi à l'Ircam. Je me rappelle en particulier d'un exposé donné par le mathématicien et pianiste de jazz Guerino Mazzola ; il faisait le lien entre théorie des faisceaux et structure musicale. Je connais les faisceaux, je connais la musique, mais apparemment pas assez profondément pour avoir compris ces liens... Finalement, dans les deux domaines je ne suis qu'un working mathematician ou working composer qui ne se soucie pas trop des fondements souterrains ;-)

Citation de Paul Erdös (1913-1996)

Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.