Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

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Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...

MathOMan relie 9 points avec 4 droites

Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.

Bin trace une cercle et son centre

Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.


On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

• comment trouver le centre d'un cercle
• comment calculer un pourcentage
• calculer une circonférence
• algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

1. blog ennuyeux
2. comment etre elégante en classe
3. pourquoi pas de belle fille en math spé
4. faire des math ou pas
5. comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
6. comment faire un piege a oiseau qui marche
7. piege a oiseaux sans piege
8. thèse doctorat reggae
9. ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
10. combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
11. comment resoudre une equation du premier degre sans pi
12. jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
13. apprendre beaucoup en peu de temps
14. bien gerer son bac avec humour
15. komen reusir le bac san travailé
16. avec quelle musique faire des maths ?
17. comment etre un bon eleve dans la classe
18. comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
19. insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
20. je veux qu'on me calcule cet exercice
21. comment faire une opération de transformation un homme en une femme
22. peut on réapprendre les maths à quarante ans
23. qui fait les math à ma place
24. demontrer de fausses égalités mathématiques
25. elle est ferme
26. image filles sur canapé
27. colloque proust contrepeterie
28. les étudiants ne savent plus faire une équation
29. exercice pour avoir le prix nobel en maths
30. apres combien de temps un chien oublie son maitre
31. comment tracer une droites concourantes
32. apprendre la corégraphie de nobody's perfect
33. je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
34. combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
35. comment trouver le mot je t'aime en math
36. comment être une fille amusante
37. comment aimer son mari
38. maths et masturbation
39. extrait x les petit nin avec femme
40. femme qui fait l'amour avec un chien
41. anssienne metode de multiplication
42. alain conne salaire
43. les 3 connes streaming
44. comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
45. franque du bosque
46. ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Dans ma cuisine je trouve ce récipient de sel cylindrique. Qu'est-ce qui est plus long, sa hauteur ou sa circonférence ?

Comparons ! La hauteur est bien inférieure à l'écart que je peux faire entre mon pouce et mes doigts ; en revanche, je n'arrive pas à joindre mes doigts autour du périmètre. Donc, à ma grande surpise, la circonférence de ce cylindre est bien plus grande que sa hauteur.

Nous avons tous appris à l'école que pour calculer la circonférérence d'un cercle on multiplie son diamètre par ce fameux nombre qui vaut approximativement 22/7. Et comme 22/7 est bien plus grand que 3, la circonférérence est supérieure à trois fois le diamètre. Si l'on garde cela à l'esprit, alors notre mesure ci-dessus n'est plus si surprenante !

La plupart des personnes se trompent avec ce type d'estimation et diront que la hauteur est plus grande. Le soir au bar, vous pouvez parier une bière avec vos amis en posant la même question sur la hauteur et le périmètre d'un verre de bière. Puis vous utilisez par exemple une serviette pour comparer les deux longueurs comme ci-dessous. C'est sûr que vous allez gagner !

La hauteur est...	...inférieure à la circonférence.	Mathoman gagne une bière !

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

1. est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord est constitué des deux extrémités. est un disque et son bord est un cercle. est une ``vraie'' boule et son bord est une ``vraie'' sphère.
   


2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
   
   
   
   
   
   Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.
   
   
   
   Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
   
   
   
   
   • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien . Le demi-cercle supérieur (en rouge) se projette bijectivement sur le segment (en bleu).
     
   
   
   • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien et est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord (en rouge) se projette bijectivement sur le disque (en bleu).
     
   
   
   
   


3. Chaque droite coupe la sphère en deux antipodes: et où est arbitraire dans .
   Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:
   
   
   
   De cette observation on déduit que l'application
   
   est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément
   
   
   
   Par conséquence est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que et l'équateur n'est rien d'autre que le bord de . Par conséquence .
   
   
4. Le résultat précédent implique en particulier que .
   Or =[-1,1] et par conséquence est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
   Ainsi est en bijection avec le cercle . Nous obtenons . Illustration:
   
   
   
   D'autre part est le groupe des rotations du plan euclidien orienté . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans il est évident que est en bijection avec le cercle .
   Conclusion: .
   


5. Pour la suite voir le fichier pdf.

Pourquoi le nombre de la formule pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste. On peut réaliser cette illusion optique dans son propre appartement ; voici une vidéo avec un cube.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

• Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...


• La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.

Hier soir j'étais chez mon ami artiste-développeur Eric Wenger. Il m'a présenté la nouvelle version de l'un des logiciels dont il est le créateur. Il s'agit d'ArtMatic Voyager avec lequel on peut créer des paysages infinis avec plantes, et beaucoup d'autres choses sans utiliser de bases de données préfabriquées...
Les projections des objets en trois dimensions sur un plan font donc partie du quotidien d'Eric. Voici un bel exercice de géométrie dans l'espace:

Décrire analytiquement le contour d'un tore de rayons r et R en fonction de l'angle entre le plan du tore et la droite entre le centre du tore et l'oeil.

Le contour possède une seule partie connexe lorsque est petit. Lorsque augmente une deuxième partie connexe apparaît à l'intérieur; elle est d'abord singulière, puis lisse. Mais qu'est-ce que ça donne analytiquement? Des ellipses?

Différentes positions d'un tore dans l'espace