Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut , sa superficie et son volume . Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à .

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

L'exercice amusant sur les rectangles entiers possède apparemment beaucoup de solutions. François-Xavier Vialard m'a indiqué un article en anglais de Stan Wagon qui réunit les différentes démonstrations de 14 auteurs du monde entier ! L'une parmi elles, qui m'a été signalé aussi par Tahar Boulmezaoud, est particulièrement belle. En effet, elle utilise seulement des mathématiques élémentaires que même un élève de 6^e, voire de CM2, peut comprendre. L'idée de la preuve est de travailler avec un réseau en forme d'échiquier. Voici une description détaillé de cette démonstration, lisible par tous, indépendemment du niveau en maths :

Je rappelle que l'énoncé de l'exercice se trouve ici.

On considère un grand échiquier dont chaque case est de longueur 1/2. Nous allons l'utiliser pour poser nos rectangles dessus.

Lemme 1. Si un rectangle est entier alors il couvre autant de surface noire que blanche.

Preuve : Cela se verra plus facilement avec un dessin. Voici un rectangle dont le coté horizontal est 3.

On le découpe,

puis on déplace la partie gauche à droite, sans que cela ne change la superficie blanche ou noire couverte.

Il est maintenant évident que le rectangle couvre autant de superficie blanche que noire, ce qui achève la démonstration du lemme 1.

Remarque : La réciproque du lemme 1 n'est pas vraie. Comme contre-exemple il suffit de prendre un rectangle dont le milieu se trouve sur un point nœud de l'échiquier. Il couvre alors autant d'aire noire que blanche sans être pourtant nécessairement entier :

Mais si on rajoute une condition de plus les choses s'arrangent ! En effet, on a l'énoncé suivant.

Lemme 1. Si un rectangle dont au moins un sommet coïncide avec un point nœud de l'échiquier couvre autant de surface noire que blanche alors il est entier.

Preuve : Prenons le cas où le sommet en bas à gauche du rectangle coïncide avec un point nœud. Colorons ce nœud ainsi que les autres nœuds qui sont de coordonnées entières par rapport à lui. Nous supposons qu'aucun des autres trois sommets est sur un nœud coloré.

Pour examiner si le rectangle couvre autant de surface blanche que noire, nous le découpons ainsi :

Le rectangle bleu a un côté horizontal entier et couvre donc, d'après le lemme 1, autant de surface noire que blanche. De même pour le rectangle vert car son côté vertical est entier. Il reste alors à examiner le petit rectangle rouge.

Le petit rectangle jaune couvre autant d'aire blanche que noire, tandis que le marron couvre plus d'aire blanche que noire. Par conséquence le petit rectangle rouge couvre plus de surface noire que blanche.

Nous avons donc démontré qu'un rectangle dont un unique sommet coïncide avec un nœud coloré ne peut pas couvrir autant d'aire blanche que noire. Donc si un rectangle a au moins un sommet sur un nœud coloré et couvre la même aire blanche que noire alors il a forcément un deuxième sommet sur un nœud coloré, et cela implique qu'il s'agit d'un rectangle entier. Le lemme 2 est ainsi démontré.

Remarque : En réalité, il y a quatre types petits rectangles restants mais nous n'avons traité qu'un seul type car pour les trois autres on voit immédiatement que les aires blanches et noires ne sont pas les mêmes :

Maintenant nous sommes prêts à donner la preuve du problème posé.

Nous plaçons notre grand rectangle de manière qu'un de ses sommet est sur un point nœud de l'échiquier. Par hypothèse tous les petits rectangles le constituant sont entiers, donc chacun couvre, d'après le lemme 1, autant d'aire blanche et que noire. Il en est de même du grand rectangle. D'après le lemme 2 il est entier.

Dans ma vie musique et mathématiques tiennent une place à peu près égale. Les deux me passionnent, me procurent du plaisir, m'étonnent toujours et font que je reste un éternel élève. Quand je dis aux gens que je partage mon temps entre musique et maths, ça ne les surprend pas ; les mathématiques et la musique seraient liées, disent-ils. Mais en quoi consiste ce lien ? Généralement on me donnne trois types de réponses :

1. La musique et les maths sont abstraites.
2. Les deux utilisent des systèmes de notation illisibles pour le commun mortel.
3. On y fait des calculs.

A mon avis tous ces points restent un peu à la superficie.

1. Oui, les maths sont abstraites car elles sont construites sur un système d'axiomes qui n'est pas imposé par l'observation de la nature (comme les lois physiques) mais par un choix arbitraire soumis seulement à la logique ; et la musique est abstraite car elle ne dit rien de concret (comme une pièce de théâtre) et car on ne peut pas la toucher (comme une sculpture).
2. Oui, les deux font recours à des systèmes d'écriture qu'il faut apprendre. Mais dans les deux cas la fixation par l'écrit n'est qu'un moyen et pas la finalité ; le théorème de Pythagore existe sans qu'un géomètre grec le trace dans le sable, et la musique existe pour être écoutée et non pour être lue. De plus, pas toutes les musiques sont écrites ; le solfège était inventé pour la musique classique européenne et ne se transpose pas forcément aux musiques d'autres cultures qui fonctionnent par transmission orale ou à la musique électronique de nos jours.
3. Oui, dans les deux on peut être amené à faire des calculs. Mais encore les calculs ou la combinatoire ne constituent pas la finalité, ni dans la musique sérielle ou dodécaphonique, ni dans une triple-fugue de Bach, ni chez Bartók quand il place le climax d'un mouvement au moment qui correspond au nombre d'or.

Toutes ces réponses oublient un point essentiel qui, à mon avis, caractérise à la fois les sciences mathématiques et l'art de la musique :

La polyvalence des objets, ou le changement de référence

Une grande partie du travail d'un mathématicien consiste à considérer un même objet mais sous plusieurs angles différents, puis de traduire les observations d'un point de vue à l'autre. Ce qui est étonnant c'est qu'on peut en tirer, de ce pur travail de traduction, des conclusions intéressantes ! Et la même chose est vraie en musique ; une même mélodie, un même rythme, une même harmonie peuvent être ça ou ça. Ca l'air assez flou, je vais m'expliquer sur des exemples simples.

Ca mais aussi ça — les maths comme la science des différents points de vue

Mon prof de physique avait l'habitude de se moquer des matheux qui, selon lui, ramènent tout énoncé à des affirmations triviales du genre 0 = 0. Il est vrai que les maths construisent un monde à partir de très peu. L'essentiel se fait en traduisant des différents points de vues. Proposons nous par exemple de prouver l'affirmation suivante.

Proposition sur l'orthocentre. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire se coupent en un point commun.

Les hauteurs se coupent en un point

Preuve. Soit ABC un triangle. Rappellons que, par définition, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Il ne faut pas la confondre avec la médiatrice sur [BC] qui, par définition, est perpendiculaire à [BC] et passe par le milieu de [BC].
Il est facile de voir que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. En effet, la médiatrice sur [AC] est l'ensemble des points équidistants à A et C ; et de manière analogue c'est vrai pour les deux autres médiatrices. Donc le point d'intersection des médiatrices sur [AC] et [BC] est équidistant à A et C et à B et C, donc il est aussi équidistant à A et B. Par conséquence il se trouve sur la médiatrice sur [AB].
En fait, l'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

Maintenant revenons au problème de l'intersection des hauteurs. Nous construisons un nouveau triangle A'B'C' comme indiqué dans le dessin suivant.

Les hauteurs du petit triangle ABC sont les médiatrices du grand triangle A'B'C'

Les droites (AB) et (CA') sont parallèles ; de même (AC) et (BA'). Donc ABA'C est un parallélogramme, d'où l'égalité AB=CA'. De même on montre AB=B'C. Il en resulte que B'C=CA' ou encore que C est le milieu de [A'B']. Par conséquence la hauteur issue de C dans le triangle ABC coïncide avec la médiatrice sur [A'B'] du triangle A'B'C'. On peut faire le même raisonnement sur les deux autres hauteurs. Dire que les les hauteurs de ABC sont concourantes revient donc à dire que les médiatrices de A'B'C' sont concourantes — et nous savons que cette dernière affirmation est vraie, q.e.d.

Résumé. Les trois hauteurs d'un triangle sont aussi les médiatrices d'un autre triangle. L'essentiel de la preuve consiste en la traduction d'un point de vue dans l'autre. L'objet mathématique, ici une droite, peut être est ça, mais aussi ça. C'est de la pure ambivalence, et le mathématicien en est le traducteur !

Un autre exemple est celui du problème des fourmis sur une tige qui semble compliqué au premier abord, mais est finalement trivial si on change de référentiel.

Ca mais aussi ça — la musique comme l'art de l'ambivalence

Un exemple basique concerne le rythme. Beaucoup de compositeurs (notamment Brahms) utilisent le fait que le nombre six est 3+3 mais aussi 2+2+2. Pour ceux qui connaissent le solfège (et le calcul des fractions), cela se traduit par l'égalité 6/8=3/4. Par conséquence on peut très bien faire la contrebande de quelques mesures 3/4 dans un morceau 6/8, sans gêner le groove général de la musique (au contraire ça en rajoute). Je crois que l'exemple le plus connu est la chanson I like to be in America de la West Side Story de Leonard Bernstein.

Un autre exemple vient de l'harmonie. Comme nous venons parler de triangles en maths, parlons de triades (accord de trois notes) en musique. Prenons par exemple l'intervalle La-Do. Cette petite tierce peut faire partie de la triade La-Do-Mi (La-mineur) aussi bien que de la triade Fa-La-Do (Fa-majeur). C'est donc ça, mais aussi ça ! Une astuce des compositeurs est d'utiliser cette ambivalence au début d'une musique comme moyen de laisser l'auditeur dans le flou. Il ne sait pas si ça va aller vers mineur ou majeur ! Gustav Mahler le fait de manière géniale dans son fameux Adagietto (4^e mouvement de la cinquième symphonie). En plus, il nous trompe encore à l'arrivée avec une appogiature, c'est-à-dire il nous fait entendre simultanément les deux tonalités La-mineur et Fa-majeur, seulement la harpe et le pizzicato de la basse confirment avec la fondamentale qu'on est bien dans Fa.

Gustav Mahler : Adagietto de la 5ème symphonie

Pendant deux mesures l'auditeur craint d'être dans La-mineur, et quand il s'affirme finalement Fa-majeur, quelle satisfaction ! Vous pouvez l'écouter ci-dessous. Evidemment ce n'est qu'un exemple très basique et on en trouve beaucoup d'autres plus recherchés dans la littérature musicale (notamment les modulations ou l'enharmonie qui sont en analogie avec l'exemple des triangles cité en haut).

Ecouter cette musique ici.

Un dernier point commun entre maths et musique : c'est beau et ça ne sert à rien (enfin l'utilité n'est pas leur but premier). Mais une grande différence : les maths sont seulement belles pour ceux qui les font, tandis que la musique peut-être appréciée passivement.

D'ailleurs il y a des gens, plus formés que moi, qui réfléchissent aux liens structurels entre maths et musique et qui publient des recherches sérieuses sur ce sujet. De temps en temps je vais dans leur séminaire MaMuPhi à l'Ircam. Je me rappelle en particulier d'un exposé donné par le mathématicien et pianiste de jazz Guerino Mazzola ; il faisait le lien entre théorie des faisceaux et structure musicale. Je connais les faisceaux, je connais la musique, mais apparemment pas assez profondément pour avoir compris ces liens... Finalement, dans les deux domaines je ne suis qu'un working mathematician ou working composer qui ne se soucie pas trop des fondements souterrains ;-)

Citation de Paul Erdös (1913-1996)

Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.