Structure compatible de groupe et de topologie sur un même ensemble

Question sur les groupes topologiques

Par Mathoman, dimanche 20 décembre 2009 à 14:23 - Maths pour matheux - Tags

Un groupe topologique est un ensemble G munie d'une structure de groupe et d'une topologie telles que la loi interne

$G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,$

et la formation d'inverse

$G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},$

sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l'algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l'exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

Soient G et H des parties denses de $\mathbb{R}$ et $f :\: G \rightarrow H$ une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient $x_0\in G$ et $\epsilon>0$ . Puisque H est dense dans $\mathbb{R}$ on a $H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset$ . Donc il existe
$y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.$
De même il existe $y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,.$ A cause de la surjectivité de f on peut écrire $y_k=f(x_k)$ avec $x_k\in G, k=1,2$ . On pose $\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)$ . Alors pour tout x dans G
$\begin{align*}x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}$
ce qui montre que f est continue en $x_0$ . La preuve de la continuité de la réciproque $f^{-1}$ est la même.
Soient G et H des parties denses et dénombrables de $\mathbb{R}$ . Alors elles sont homéomorphes.

D'abord nous écrivons
$\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}$
Maintenant nous allons énumérer G et H d'une autre manière, et Le but est de faire de sorte que est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
- k=0. On prend $x'_0=x_0,\;y'_0=y_0$
- k=1. On prend $x'_1=x_1$ . Pour le choix de $y'_1$ regardons l'ordre de $x'_0$ et de $x_1'$ .
  Si $x'_1<x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H inférieur à $y'_0$ .
  Si $x'_1>x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H supérieur à $y'_0$ .
- k=2. On prend comme $y'_2$ le premier élément de $H\setminus\{y'_0,y'_1\}$ de la liste (**). Pour choisir $x'_2$ regardons l'ordre de $y'_0,y'_1,y'_2$ .
  Si $y'_2$ est inférieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G inférieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est supérieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G supérieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est entre $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G entre $x'_0$ et $x'_1$ .
- k=3. On prend comme $x'_3$ le premier élément de $G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\}$ de la liste (*). Pour le choix de $y'_3$ regardons l'ordre de $x'_0,x'_1,x'_2,x'_3$ . Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
  Si $x'_3<x'_0<x'_1<x'_2$ on prend comme $y'_3$ un élément de H inférieur à $y'_0,y'_1,y'_2.$
  Si $x'_2<x'_3<x'_0<x'_1$ on prend comme $y'_3$ un élément de H entre $y'_2$ et $y'_0$ .
  Et ainsi de suite.
Les groupes topologiques $G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ et $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ répondent au problème.

D'après ce qu'on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes topologiques $f :\, G \to H$ . Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité
$f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning$
impossible dans $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ .

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Groupes et compagnie

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Un magma est un ensemble G muni d'une loi de composition interne ¤.
Si en plus cette loi est associative, c'est-à-dire (x¤y)¤z = x¤(y¤z) pour tous x,y,z dans G, alors on dit que (G,¤) est un demi-groupe.
Et si en plus il existe un élément neutre e dans G, c'est-à-dire e¤x = x¤e = x pour tout x dans G, alors on dit que (G,¤) est un monoïde.
Enfin, si chaque élément x de G possède un neutralisant x' dans G, c'est-à-dire x¤x' = x'¤x = e, alors on dit que (G,¤) est un groupe.

On dit aussi le symétrique de x pour l'élément neutralisant x' de x. Si la loi est notée par une addition on le note souvent -x (opposé) et si la loi est notée par une multiplication on le note souvent x^-1 (inverse).

Exemples :

Considérons la loi de l'addition habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels strictements positifs N*={1,2,3,...} est un semi-groupe. Il manque l'élément neutre 0 ; on l'ajoute et on obtient le monoïde N={0,1,2,3,...}. Il manque les neutralisants (les opposés) -1, -2, -3, ... ; on les ajoute et on obtient le groupe des entiers Z={0,±1,±2,±3,...}.
Considérons la loi de la multiplication habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels N est un monoïde, son élément neutre étant 1. Que faut-il ajouter ou enlever pour en faire un groupe ? D'abord on remarque que 0 multiplié avec tout nombre donne 0, donc jamais 1, autrement dit on ne pourra jamais trouver un neutralisant de 0 (on ne peut pas diviser par zéro...). Il faut donc enlever le 0, on trouve N*. Ensuite il faut ajouter les inverses : l'union de N* et de l'ensemble des 1/n où n parcourt N*, est-il un groupe ? Non, pas encore, car il faut aussi s'assurer que les produits restent dedans et donc on doit en fait ajouter toutes les fractions de la forme m/n avec m et n dans N*. On trouve le groupe multiplicatif Q*⁺ des rationnels strictement positifs.
De même l'ensemble des nombres rationnels non nuls Q* est un groupe.
Il existe des loi internes non-associatifs. L'ensemble Z muni de la soustraction est un magma (mais pas un demi-groupe). L'ensemble R³ muni du produit vectoriel
(x₁, x₂, x₃) × (y₁, y₂, y₃) = (x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃, x₁y₂-x₂y₁)
en est un autre.

Pour résumer, un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et tel que chaque élément a un neutralisant. Il s'agit alors de vérifier ces trois axiomes pour montrer qu'un objet proposé est un groupe. Beaucoup d'exercices sont de ce type et très souvent ce sont de simples vérifications mécaniques, permettant au débutant de se familiariser avec la notion de groupe. La rédaction de la réponse à la question suivante m'a pris un peu plus de temps, à savoir toute la durée d'un examen que j'ai surveillé hier — pas terrible de réussir un seul exo pendant que les étudiants doivent en faire cinq ;-) mais évidemment cet exo ne faisait pas partie de l'examen...

Exercice : On définit x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½. L'ensemble des réels muni de cette loi est-il un groupe ?

Toutes les solutions sont acceptées... en particulier celles utilisant la force brute du logiciel de calcul formel Maple car j'aimerais bien savoir si Maple arrive à faire ça. J'ai essayé de forcer Maple mais il ne voulait pas ; soit ça dépasse ses capacités, soit ça dépasse mes compétences maple-istiques.

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La comatrice conserve la multiplication

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La comatrice com(M) d'une matrice carré M d'ordre n est la matrice des cofacteurs, c'est-à-dire sa composante en (l,k) est $\small{(-1)^{l+k}}$ fois le déterminant de la matrice qui s'obtient lorsqu'on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c'est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s'appele matrice complémentaire (en allemand Adjunkte, en anglais adjugate matrix) et on démontre dans tout cours d'algèbre linéaire qu'elle vérifie la propriété fondamentale :

$^t\text{com}(M)\:M\;=\;M\:^t\text{com}(M)\;=\;\det(M)\:I\:.$

Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l'anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l'anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur $\small\mathbb{Z}$ sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.

Exercice : Démontrer que com est compatible avec la multiplication matricielle,

com(I) = I et com(MN) = com(M) com(N).

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3$ . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que $\;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\;$ et $\;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.$

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole $\:\simeq\:$ signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude $\mathbb{P}^n$ dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans $\mathbb{R}^{n+1}$ . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de $\mathbb{R}^{n+1}\:$ :

la boule $\;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,$
$\:$
la sphère $\;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,$
$\:$
l'hémisphère nord $\;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.$
$\:$

Le bord de la boule $\mathbb{B}^{n+1}$ est la sphère $\mathbb{S}^n$ . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' $\mathbb{B}^{n+1}$ par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons $\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,.$ Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

$\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />$

Questions

Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule $\mathbb{B}^n$ et son bord $\mathbb{S}^{n-1}$ dans les cas n=1,2,3.
Démontrer que $\;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.$
$\,$

Cliquez pour lire la Solution.

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A la recherche des mathématiques perdues

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Quand les maths influencent la litérature française

Un amour de Swann, le deuxième livre autonome de la trilogie Du côté de chez Swann de Marcel Proust, est paru en 1913. A cette époque la théorie des ensembles et la théorie des groupes venaient d'être inventées et connaissaient un grand essor.
Je m'imagine bien l'écrivain Proust lors d'une réception un dimanche après-midi chez un représentant de la nomenklatura scientifique parisienne, disons chez le grand mathématicien Henri Poincaré ; on y joue des arrangements pour violon et piano des opéras de Wagner, on parle de poésie ou d'art chinois. Proust, le snob, s'isole dans le salon à côté et trouve sur la table une revue scientifique avec la dernière publication de son hôte. Il l'ouvre sur la première page, commence à lire et n'y comprend pas grand'chose — mais les mots et formulations lui plaisent...

Bon, vous direz que j'ai trop d'imagination ! Alors jugez par vous-même... voici la phrase avec laquelle commence Un amour de Swann :

Pour faire partie du « petit noyau », du « petit groupe », du « petit clan » des Verdurin, une condition était suffisante mais elle était nécessaire [...]

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Les limites des logiciels de calcul formel?

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Dans ce billet j'ai posé l'exercice de montrer que la loi binaire

x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½

définit une structure de groupe sur l'ensemble des réels. Le seul obstacle est l'associativité; la preuve n'est pas très difficile (il s'agit d'un simple transport de la loi + par le sinus hyperbolique). Mais avec Maple je n'arrive pas à faire la preuve par force brute; en effet, je ne sais pas comment faire en sorte que le logiciel simplifie l'expression concernée (tandis que le logiciel Xcas y arrive, comme l'a remarqué Tukikun).

Dans le même esprit, je me demande si quelqu'un arrive à démontrer avec Maple que, sur les courbes elliptiques (réelles), l'addition par la méthode des sécantes est associative. Je n'y suis pas arrivé.

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Règle pour apprendre à conjuguer

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Dans un post récent mon collègue bloggeur PB a constaté qu'une trop grande partie de ses élèves en prépa ne savent pas conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé et qu'ils écrivent souvent « on a montrer que… » dans leurs copies.

Je pense que la compréhension de la structure grammaticale d'une langue est fondamentale pour l'apprentissage des mathématiques. Je la situerais au même niveau que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une structure fondamentale à connaître pour ne pas écrire de bêtises. Malheureusement l'enseignement scolaire actuel ne transmet plus cette hygiène de base, de sorte que de telles lacunes se prolongent jusqu'aux classes préparatoires...

Voici donc une «recette» permettant d'éviter l'erreur la plus fréquente : la confusion entre les terminaisons -er, -é, -ez. On peut l'appliquer sans vraiment comprendre ce que c'est un infinitif, un participe composé et une deuxième personne au pluriel (de toutes manières ceux qui comprennent ces notions ne font probablement pas d'erreurs).

L'idée est simple : remplacer le verbe du premier groupe par un autre verbe, puis se fier à la prononciation. Par exemple on a les correspondances suivantes.

montrer/apprendre/voir, montrez/apprenez/voyez, montré/appris/vu.

Il suffit alors de procéder par analogie. Au lieu du verbe montrer utilisez l'autre verbe (apprendre, voir, etc.), puis testez laquelle est la bonne conjuguaison en lisant à haute voix.

Quelques règles de grammaire pour les nuls

FAUX	CORRECT	DONC PAR ANALOGIE
on a apprendre que...	on a appris que...	on a ~~montrer~~ montré que...
vous devez apprenez...	vous devez apprendre...	vous devez ~~montrez~~ montrer...
je viens de vu que...	je viens de voir que...	je viens de ~~montré~~ montrer que...
le lemme qu'on a voir	le lemme qu'on a vu	le lemme qu'on a ~~montrer~~ montré
ce qu'il devait compris	ce qu'il devait comprendre	ce qu'il devait ~~montré~~ montrer
Quel lemme voir-vous ?	Quel lemme voyez-vous ?	Quelle femme ~~aimer~~ aimez-vous ?

C'est bizarre, je ne suis pas français mais je crois que je fais moins d'erreurs de conjuguaison que la moyenne des bacheliers français. Je fais des fautes sur les prépositions (par exemple je ne sais pas si on dit j'aide un élève à faire ses devoirs j'aide un élève de faire ses devois ou j'aide un élève faire ses devois) et parfois je n'utilise pas le passé correct (dans ma langue maternelle, l'allemand, on utilise de manière indifférente l'imparfait et le passé composé), mais jamais ça ne me viendrait à l'esprit d'écrire « on a montrer que… »

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Lieu discriminant

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Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

$P=a_0+a_1 X+a_2 X^2+\,\cdots\,+a_n X^n,\;Q=b_0+b_1 X+b_2 X^2+\,\cdots\,+b_m X^m.$

Leur résultant R(P,Q) est le déterminant de la matrice de Sylvester, matrice carré d'ordre m+n dont on comprend la construction par l'exemple ci-dessous pour n=4 et m=3.

$R(P,Q)=\begin{vmatrix} a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \end{vmatrix}$

La proposition suivante est la raison d'être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d'un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !

$P=c+b X+aX^2,\;\;\;P'=b+2a X,\;\;\;a\neq0.$

On calcule alors le discriminant de P comme déterminant d'une matrice 3x3 (règle de Sarrus),

$R(P,P')= \begin{vmatrix} c & b & a \\ b & 2a &0 \\ 0 & b & 2a \end{vmatrix} = c\begin{vmatrix} 2a &0 \\ b & 2a \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} b & a \\ b & 2a \end{vmatrix} = -a(b^2-4ac).$

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace $\mathbb{C}^n$ on appelle lieu discriminant le sous-ensemble $\Delta$ formé des $(a_0,\,\ldots\,,a_{n-1})$ tels que le polynôme

$P = a_0+ a_1X +\,\cdots\, + a_{n-1}X^{n-1} + X^n$

possède une racine multiple.

Montrer que $\mathbb{C}^n\setminus\Delta$ est connexe par arcs.
Quel est le groupe fondamental de $\mathbb{C}^n\setminus\Delta$ ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...

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Torsion du bras - le groupe fondamental de SO(3)

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Dernièrement nous avons parlé de groupes cycliques et du groupe de rotation SO(3). Aujourd'hui nous allons revisiter ces deux notions pour explorer une jolie propriété en mathématiques.

Voici une petite vidéo où je tourne mon bol de café au lait. Plus précisément je lui fais deux tours complets. On remarquera qu'après le premier tour mon bras est tourdu, mais après le deuxième tour mon bras revient à sa comfortable position du début.

MathOMan tord son bras... et le remet à sa place!

Bizarre... La tasse de café retrouve sa position initiale après le premier tour. Ca semble évident car une rotation par 360° revient à faire une rotation de 0°. Mon bras, en revanche, a besoin de deux tours, c'est-à-dire 720°, pour retrouver sa position initiale.

Le secret de tout ça réside dans le groupe fondamental de SO(3). Le groupe fondamental est constitué des lacets (chemins fermés) — plus précisément des classes d'homotopie de lacets, deux lacets étant dit homotopes si on peut déformer l'un dans l'autre de manière continue.

Le problème est donc de savoir si l'on peut passer continûment d'un lacet dans l'espace des rotations à un autre. C'est une question de topologie non-triviale. Il se trouve que, contrairement a ce que nous dit notre intuition, une rotation de 360° n'est pas équivalente à pas de rotation! C'est profondement incompréhensible à premier abord. Il faut une rotation de 720°.

Explication (par handwaving en prose)

Pour ce qui suit il faut avoir compris que SO(3) peut être vu comme la boule d'unité (de l'espace ambiant à trois dimensions) après identification des antipodes sur la sphère — voir le billet sur le groupe de rotation SO(3) pour les détails.

Choisissons deux antipodes P et Q sur la sphère et notons g le chemin qui va de P à Q en ligne droite. Or g est un lacet dans SO(3) à cause de l'identification des antipodes. Plus précisément, il s'agit des rotations atour de l'axe fixe (PQ) commençant avec l'angle -180° et finissant avec l'angle 180°. Ce lacet g représente donc précisément un tour de la tasse de café.
Soit h un demi-cercle sur la sphère, allant de P à Q. Il est clair qu'on peut déformer g continûment en h. En termes d'homotopie on a alors g=h.
Considérons le demi-cercle h' allant de Q à P qui complète h en un cercle entier. Maintenant vient le point crucial: le cercle entier h+h' est homotope au lacet constant, car on peut le "rétrécir en un point''.
D'autre part il est clair que, par identification des antipodes, h et h' sont deux lacets identiques dans SO(3). Nous obtenons ainsi 2g=2h=h+h'=0 dans le groupe fondamentale de SO(3).

Ainsi nous avons montré que 2g=0, c'est-à-dire un tour de 720° du bol de café se déforme continûment au tour nul, ce qui permet à mon bras de se remettre en place.

Il reste à voir qu'on n'a pas déjà g=0, autrement dit qu'il est impossible d'avoir le bras en place déjà après le premier tour. Une manière simple de comprendre que g , ou encore h, n'est pas homotope au lacet constant est de voir h comme un lacet dans l'espace projectif de dimension 3. Il correspond alors à la rotation d'une droite dans l'espace de dimension 4, d'angle 180° autour d'un axe perpendiculaire. La droite revient sur elle-même, mais on ne peut pas rétrécir ce mouvement.

Voilà, si on formalise ces raisonnements un peu plus, on démontre que le groupe fondamental de SO(3) (ou plus généralement d'un espace projectif de dimension au moins 3) est le groupe cyclique à deux éléments Z/2Z.

Les physiciens adorent ce genre de propriétés mathématiques et invoquent même le groupe de Spin, revêtement universel de SO(3). Mais pour expliquer ces applications en physique théorique, il faudra un autre bloggeur — peut-être un PhysOMan?

On m'a recommandé à ce sujet le livre Spinors & Space-Time de Roger Penrose et Wolfgang Rindler mais mes maigres pré-recquis en physique m'ont découragé de l'acquérir ;-)

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Groupes cycliques (vulgarisation)

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Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)

Calculer la date ou l'heure -- activité maths 6e

Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

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Concevoir la notion d'application

Par Mathoman - Tags

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

$f\;:\; X \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; x \; \longrightarrow\;f(x)\,.$

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

Point de vue y en fonction de x.
C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
Le schéma mental est le suivant.
L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe $\Gamma \subset X\times Y$ constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
Point de vue collection d'éléments de Y.
On peut aussi écrire l'application f en forme de famille $(f(x))_{x\in X}$ . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
En général, une famille $(y_j)_{j\in J}$ dans Y n'est rien d'autre qu'une application

$y\;:\; J \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; j \; \longrightarrow\;y_j\,,$

où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si $(b_j)_{j\in J}$ est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire
$v=\sum_{j\in J} \lambda_j\, b_j\:,$
où $(\lambda_j)_{j\in J}$ est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application $\lambda\;:\; J \;\longrightarrow \;K\,$ est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement
$v=\sum_{b\in B} \lambda_b\, b\:.$
Point de vue les fibres en fonction de y.
Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté

$f_y\;=\;f^{-1}(\{y\:\})\:=\:\{\:x\in X\; :\; f(x)=y\:\} \,.$

Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.

L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

$\tilde{Y} = f(X)\:\subset\:Y$

et l'espace des fibres

$\tilde{X} = \{\,f^{-1}(\{y\})\:|\: y\in \tilde{Y}\,\}\:\subset\:{\scr P}(X).$

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence ~ qui est définie par x ~ x' si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que $\tilde{X}$ et $\tilde{Y}$ sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection $\pi$ , une bijection $\tilde{f}$ et une injection $j$ tel que le diagramme suivant commute.

Factorisation canonique d'une fonction, comment comprendre les applications

En effet, il suffit de prendre pour $\pi$ la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour $\tilde{f}$ l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

$f= j\circ \tilde{f}\circ \pi$ .

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

$f\;:\; \mathbb{R}^3 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y,z) \; \longrightarrow\;ax+by+cz\,,$

où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace $\mathbb{R}^3$ par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

$g\;:\; \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

$g\;:\; \mathbb{C}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{C}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

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