Savoir en forme de T

Sur les priorités dans l'enseignement en terminale S

Par Mathoman, samedi 5 décembre 2009 à 18:00 - Maths et société - Tags

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

$\prod-$ shaped knowledge !

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

12 commentaires

Pourquoi ne pas lire aussi :

Forme générale d'une formule

Par Mathoman - Tags

Tout étudiant apprend les formules

$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.$

Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite $k^p$ avec $k\geq1$ est un polynôme rationnel en n de degré p+1.

8 commentaires

Oeuf de pâques

Par Mathoman - Tags

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

1 commentaires

Voyage dans le temps

Par Mathoman - Tags

Certainement vous avez déjà imaginé que vous jouez aux Time Bandits et que vous voyagez dans le temps ; et que vous avez en plus le droit d'amener des objets et votre savoir actuel avec vous...
Or si je prends mon téléphone portable avec moi et je voyage dans les années 1970 cet appareil ne me servira strictement à rien. Et si j'amène mon vélo (et sa pompe !) dans l'époque de l'Empire Romain (je me le suis déjà souvent imaginé) ça ferait un énorme tabac, certes ; mais après avoir roulé pendant un an sur les routes romaines j'aurais besoin de pièces de rechange et je n'en trouverais pas. Et Néro qui m'a donné une tonne d'or car je lui ai promis de faire construire des milliers de vélos pour son armée m'envoie aux lions du Circus Maximus car les ingénieurs de l'époque n'arrivent pas à réaliser des roulements à billes performants...

C'est pourquoi finalement le meilleur bagage à amener me semble des concepts intellectuels, universels et non liés à un environnement technique particulier. Par exemple, j'aimerais bien voyager au 17^e siècle et expliquer à Leibniz pourquoi il avait tort à croire que la série

$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$

convergait vers ½. En fait, il disait que cette série convergait à la fois vers 0 et vers 1, donc vers ½ et que c'était là une preuve de l'existence de dieu... Mais la bonne définition de la notion de limite, si fondamentale, n'a été trouvée que 150 ans plus tard par Weierstrass. La voici :

$\lim_{n\to\infty}a_n = a \;\;\Longleftrightarrow\;\; \forall\,\epsilon>0\;\exists\,n_0\in\mathbb{N}\;\forall\,n>n_0\::\;\;|a_n-a|<\epsilon.$

C'est sous cette forme que l'on enseigne la limite aux lycéens (ou au moins on le faisait il y a une vingtaine d'années). C'est donc une idée plutôt basique — mais il fallait la trouver !

Sondage de mes lecteurs : Qu'est-ce que vous aimeriez amener lors d'un voyage dans le temps ? Et à qui voudriez-vous présenter votre savoir ? Laissez vous guider par votre fantaisie de mathématicien ;-)

20 commentaires

SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

Par Mathoman - Tags

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3$ . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que $\;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\;$ et $\;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.$

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole $\:\simeq\:$ signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude $\mathbb{P}^n$ dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans $\mathbb{R}^{n+1}$ . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de $\mathbb{R}^{n+1}\:$ :

la boule $\;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,$
$\:$
la sphère $\;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,$
$\:$
l'hémisphère nord $\;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.$
$\:$

Le bord de la boule $\mathbb{B}^{n+1}$ est la sphère $\mathbb{S}^n$ . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' $\mathbb{B}^{n+1}$ par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons $\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,.$ Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

$\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />$

Questions

Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule $\mathbb{B}^n$ et son bord $\mathbb{S}^{n-1}$ dans les cas n=1,2,3.
Démontrer que $\;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.$
$\,$

Cliquez pour lire la Solution.

7 commentaires

Groupes et compagnie

Par Mathoman - Tags

Un magma est un ensemble G muni d'une loi de composition interne ¤.
Si en plus cette loi est associative, c'est-à-dire (x¤y)¤z = x¤(y¤z) pour tous x,y,z dans G, alors on dit que (G,¤) est un demi-groupe.
Et si en plus il existe un élément neutre e dans G, c'est-à-dire e¤x = x¤e = x pour tout x dans G, alors on dit que (G,¤) est un monoïde.
Enfin, si chaque élément x de G possède un neutralisant x' dans G, c'est-à-dire x¤x' = x'¤x = e, alors on dit que (G,¤) est un groupe.

On dit aussi le symétrique de x pour l'élément neutralisant x' de x. Si la loi est notée par une addition on le note souvent -x (opposé) et si la loi est notée par une multiplication on le note souvent x^-1 (inverse).

Exemples :

Considérons la loi de l'addition habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels strictements positifs N*={1,2,3,...} est un semi-groupe. Il manque l'élément neutre 0 ; on l'ajoute et on obtient le monoïde N={0,1,2,3,...}. Il manque les neutralisants (les opposés) -1, -2, -3, ... ; on les ajoute et on obtient le groupe des entiers Z={0,±1,±2,±3,...}.
Considérons la loi de la multiplication habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels N est un monoïde, son élément neutre étant 1. Que faut-il ajouter ou enlever pour en faire un groupe ? D'abord on remarque que 0 multiplié avec tout nombre donne 0, donc jamais 1, autrement dit on ne pourra jamais trouver un neutralisant de 0 (on ne peut pas diviser par zéro...). Il faut donc enlever le 0, on trouve N*. Ensuite il faut ajouter les inverses : l'union de N* et de l'ensemble des 1/n où n parcourt N*, est-il un groupe ? Non, pas encore, car il faut aussi s'assurer que les produits restent dedans et donc on doit en fait ajouter toutes les fractions de la forme m/n avec m et n dans N*. On trouve le groupe multiplicatif Q*⁺ des rationnels strictement positifs.
De même l'ensemble des nombres rationnels non nuls Q* est un groupe.
Il existe des loi internes non-associatifs. L'ensemble Z muni de la soustraction est un magma (mais pas un demi-groupe). L'ensemble R³ muni du produit vectoriel
(x₁, x₂, x₃) × (y₁, y₂, y₃) = (x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃, x₁y₂-x₂y₁)
en est un autre.

Pour résumer, un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et tel que chaque élément a un neutralisant. Il s'agit alors de vérifier ces trois axiomes pour montrer qu'un objet proposé est un groupe. Beaucoup d'exercices sont de ce type et très souvent ce sont de simples vérifications mécaniques, permettant au débutant de se familiariser avec la notion de groupe. La rédaction de la réponse à la question suivante m'a pris un peu plus de temps, à savoir toute la durée d'un examen que j'ai surveillé hier — pas terrible de réussir un seul exo pendant que les étudiants doivent en faire cinq ;-) mais évidemment cet exo ne faisait pas partie de l'examen...

Exercice : On définit x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½. L'ensemble des réels muni de cette loi est-il un groupe ?

Toutes les solutions sont acceptées... en particulier celles utilisant la force brute du logiciel de calcul formel Maple car j'aimerais bien savoir si Maple arrive à faire ça. J'ai essayé de forcer Maple mais il ne voulait pas ; soit ça dépasse ses capacités, soit ça dépasse mes compétences maple-istiques.

19 commentaires

Carte d'anniversaire mathématique

Par Mathoman - Tags

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

3 commentaires

Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et $U_1,U_2,\,\dots\,,U_n$ un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert $U_j$ soit $f_j$ une fonction holomorphe injective telle que $df_j=df_k$ sur toutes les intersections $U_j\cap U_k$ . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

$\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;$

est holomorphe sur $\mathbb{C}\backslash0$ et possède une singularité essentielle en $0$ . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme $f(z)\neq0$ pour tout $z\in\mathbb{C}\backslash0$ , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe $w\neq0$ et pour tout $\epsilon>0$ il existe une infinité de nombres complexes $z$ tels que $0<|z|<\epsilon$ et $f(z)=w$ .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul $w$ et un $\epsilon>0.$ Il existe alors deux réels $r>0$ et $\varphi$ tels que

$w=re^{i\varphi}.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ posons $u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n)$ et $z_n=1/{u_n}.$ Alors $\lim_{n\to\infty}z_n=0$ .
Ainsi on a on a

$f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.$

Par conséquence, en prenant $n$ assez grand, on voit que $w$ possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé $0<\,|z|\,<\epsilon$ .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par

$g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}$ .

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

2 commentaires

Apprendre à compter

Par Mathoman - Tags

Voici deux figures : $ $ $ $ et o o o o .

Question : Qu'ont-elles en commun ? Réponse : 4.

Ce qui nous paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Mon ami Nik est parti un an enseigner dans une université à Tokio. C'est une période assez longue pour tenter d'apprendre le japonais ; mais ce n'est pas une langue comme les autres ! Normalement l'une des premières choses qu'on fait dans une langue étrangère, c'est apprendre à compter. Or compter en japonais n'est pas pour les débutants, c'est réservé aux avancés car on compte avec des nombres différents, selon le type d'objet.

A la base il y a deux façons de compter 1, 2, 3,... , à savoir ichi, ni, san, yon, go,... ou hito, futa, mi, yo,... — plus précisément il faut faire les distinctions suivantes :

des objets longs et fins (parapluies, crayons) : ippon, nibon, sanbon,...
des objets plats (feuilles, tickets) : ichi-mai, nimai, sanmai,...
des étages d'un immeuble : ikkai, nikai, sankai,...
les mois : ichi-gatsu, ni-gatsu, san-gatsu,...
les jours dans le mois : tsuitachi, futsuka, mikka, yokka,...
des personnes : hitari, futari, san-nin, yon-nin,...
des liquides (bières pression) : hitotsu, futatsu, mittsu, yotsu,...

Peut-être il y a là un rélique d'une époque lointaine où on comptait encore sans avoir une idée abstraite de la notion de nombre. Savoir compter et faire abstraction des objets qu'on compte, c'est quelque chose qu'on n'invente pas, on l'apprend. C'est, comme l'invention de la roue, une acquisition culturelle : il suffit qu'une seule fois un seul humain ait l'idée puis ça se répand et se transmet de génération en génération.

L'histoire des mathématiques est pleine d'exemples de concepts simples et basiques qui ont pris des siècles pour être découverts — pourtant, expliqués clairement, ils sont compréhensibles par tous. C'est pourquoi on pourrait attendre en vain qu'un élève invente lui-même les outils nécessaires pour résoudre un problème...

3 commentaires

La collection d'exercices de Vladimir Arnol'd

Par Mathoman - Tags

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Trivium mathématique (fichier pdf).

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Vladimir Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, dans l'hôpital Saint-Antoine à Paris.

Mise-à-jour : JLT n'a pas chômé pendant le mois de juillet et a résolu la plupart des exercices !

Restent encore à faire: les no. 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74.

Les solutions des exercices se trouvent dans les commentaires (pour déplier cliquer ci-dessous) mais ne sont pas dans l'ordre. Pour s'y retrouver utilisez la fonction find (Ctrl+F) de votre browser et recherchez le numéro de l'exercice par exemple sous la forme "no.54" ou "no.04".

76 commentaires

Série classique convergente

Par Mathoman - Tags

Pour savoir pour quel $\alpha>0$ la série $\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}$ est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c'est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l'encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,

$\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.$

Par intégration il en résulte que

$\begin{align*} \frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ pour }\alpha\neq1\:,\\&\\&\\ \ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:. \end{align*}$

En faisant tendre n vers l'infini on conclût que la série converge si $\alpha>1$ et diverge vers l'infini si $\alpha\leq1\,.$

Question de colle :

Soit $\sum_{k=1}^\infty\,u_k$ une série convergente. Est-il vrai que $\sum_{k=1}^\infty\,u_k^3$ est également convergente ?

7 commentaires

Catégories

Savoir en forme de T

Sur les priorités dans l'enseignement en terminale S

Pourquoi ne pas lire aussi :

Forme générale d'une formule

Oeuf de pâques

Voyage dans le temps

SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

Groupes et compagnie

Carte d'anniversaire mathématique

Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Apprendre à compter

La collection d'exercices de Vladimir Arnol'd

Série classique convergente

Archives

Blogs de maths

Autres sites

Blogs divers

Syndication