L'Etat fait la loi. En particulier, il s'occupe du code de travail et devrait veiller à ce que le paiement des salires soit transparent et se fait à temps. Or bizarrement il paraît que l'Etat est un employeur moins scrupuleux que les entreprises privées en ce qui concerne la transparence des fiches de paie et la ponctualité du paiement.

Voici un exemple. Une école d'ingénieur privée où j'enseigne établit le bulletin de paye suivant. Il est clairement structuré en commençant avec le plus important, à savoir le mois concerné, le nombre d'heures travaillées (CM=cours magistral, TD=travaux dirigés) et la base unitaire (par heure) ; puis il y a le total brut suivi des diverses côtisations. Et à la fin du mois l'argent est sur le compte de l'intervenant.

Dans le privé : fiche de paie claire

Maintenant comparons avec la fiche de paye pour un travail équivalent (heures d'interrogation en classe prépa) à l'Education Nationale. Sous la dénomination mystérieuse Rappel années antérieures on trouve un montant total, mais sans aucune explication.

Dans la fonction publique : fiche de paie obscure

On y cherchera en vain tous les détails importants, comme le tarif de base (nombre d'heures-élèves) ou la période concernée ! En plus, la période serait du plus grand intérêt car, même si le bulletin porte la date du janvier 2010, il s'agit en fait du paiement pour des interventions qui ont commencé en septembre 2009... et oui, l'Etat est un mauvais payeur, il est très souvent en retard ! Parfois il attend même six mois avant de payer les intervenants non-fonctionnaires (et aussi ses fonctionnaires pour leurs heures supplémentaires) ; en fait, lorsqu'on donne des heures de colles dans établissement pour la première fois, il n'est pas rare d'attendre le mois de mai pour avoir le premier virement concernant les heures du septembre. L'intervenant doit donc avoir une très bonne foi... Toute vérification est impossible.

Il est difficilement compréhensible que, dans notre monde informatisé du 21^e siècle, l'Education Nationale n'arrive pas à éditer des fiches de paye propres et à payer à échéance pour des services effectués.

Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe telle que pour tout naturel n,

Dans la Quinzaine universitaire no.1336 page 11 (11 juin 2011) publiée par le SNALC (Syndicat national des lycées et collèges), on peut lire un article sur l'évolution du salaire et du pouvoir achat des professeurs. Dans les calculs qui sont présentés on trouve à peu près toutes les erreurs qu'il faut éviter quand on fait des calculs de pourcentage. En gros, l'auteur écrit ceci:

En 1981 je gagnais 158% du salaire le plus bas (SMIC) et en 2009 je gagnais 193% du SMIC. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat a augmenté de 35%, soit 1,25% par an.

N'étant pas économiste je ne suis pas certain qu'il est légitime de calculer le pouvoir d'achat en prenant le SMIC comme référence (ça semble faux, voir par exemple ici ou là) — mais cela n'est pas mon reproche ici. Mathématiquement les calculs sont complètement faux!

• Première erreur: Une augmentation de 35% en 28 ans ne correspond pas à une augmentation annuelle de 1,25% mais à une augmentation annuelle de environ 1,08%.
  Il est vrai que 35% divisé par 28 vaut 1,25%; or augmenter une quantité 28 fois par 1,25% revient à la multiplier par 1,0125²⁸, ce qui vaut environ 1,42 et correspond donc à une augmentation totale de 42% et pas de 35%. En revanche 1,0108²⁸ = 1,35 (arrondi).

En général, il ne faut jamais prendre la somme de pourcentages de variation mais le produit de leurs coefficients multiplicateurs. Pour donner un exemple plus simple: deux augmentations successives de 50% font une augmentation globale de 125% (et pas de 100%) car 1,5×1,5=2,25.

• Deuxième erreur: Pour passer de 158% à 193% on ne fait pas une augmentation de 35% mais de 22%. En effet 193/158 vaut 1,22 environ. (Cela fait 0,72% par an.)

En résumé, l'auteur est passé à côté d'une belle occasion pour souligner son propos car en réalité les chiffres concernant la faible progression de son pouvoir d'achat en 28 ans sont encore pire! La bonne version serait:

En 1981 je gagnais 158% du SMIC et en 2009 c'était 193%. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat (référencé à celui d'un Smicard) a augmenté de 22%, soit 0,72% par an.

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

• n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.


• n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert soit une fonction holomorphe injective telle que sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

est holomorphe sur et possède une singularité essentielle en . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme pour tout , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe et pour tout il existe une infinité de nombres complexes tels que et .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul et un Il existe alors deux réels et tels que

Pour tout posons et Alors .
Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant assez grand, on voit que possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est où désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire sur lui-même ? Et de sur lui-même ?

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

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Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

1. Point de vue y en fonction de x.
   C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
   Le schéma mental est le suivant.

   

   L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
   En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
    
2. Point de vue collection d'éléments de Y.
   On peut aussi écrire l'application f en forme de famille . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
   En général, une famille dans Y n'est rien d'autre qu'une application
   

   

    
   où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
   Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

   

   où est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

   

   
    
3. Point de vue les fibres en fonction de y.
   Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
    
   
   
   
    
   Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
    

   

   
   L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
    
   

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

et l'espace des fibres

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence  ~  qui est définie par  x ~ x'  si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que et sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection , une bijection et une injection tel que le diagramme suivant commute.

En effet, il suffit de prendre pour la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

.

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

 
où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).