Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

Mon billet récent sur la dimension maximale d'un sous-espace affine contenu dans l'ensemble des matrices non-inversibles m'a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat.

On note l'espace des matrices n x n à coefficients réels et le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que est un ouvert dans . En effet c'est l'image réciproque de l'ouvert par l'application continue déterminant

On peut même dire un peu plus : le déterminant étant polynômial en le complémentaire des matrices inversibles, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de déterminant nul,

est une hypersurface algébrique. Géométriquement parlé est un fermé de qui ressemble localement à un hyperplan (c'est-à-dire à un sous-espace affine de dimension n²-1). Enfin, cela est vrai en presque tous les points, ceux où la différentielle du déterminant ne s'annulle pas (points réguliers). En revanche, en les points où la différentielle du déterminant est nulle (points singuliers), l'hypersurface ne ressemble plus à un sous-espace affine. Il peut y avoir un croisement comme par exemple

ou un rétrécissement comme par exemple

(Pour plus d'images de surfaces algébriques visitez le la galerie de Herwig Hauser.)

Il est évident que la différentielle du déterminant est nulle à l'origine. Donc notre hypersurface possède une singularité à l'origine. Le résultat suivant dit qu'il s'agit d'une singularité de type rétrécissement, car l'hypersurface de dimension n²-1 y perd quelques dimensions — il y reste juste assez de place pour n²-n dimensions...

Proposition :

Le nombre n²-n est la plus grande dimension possible d'une sous-variété différentiable F de telle que

Démonstration :

• L'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un sous-espace vectoriel (et donc en particulier une sous-variété différentielle) de dimension n²-n. Evidemment il contient l'origine 0 et est contenu dans .


• Soit F une sous-variété de de dimension n²-n+1 et telle que . Nous allons prouver que F contient une matrice inversible.
  Au voisinage de l'origine la sous-variété F est décrite par un système de n-1 équations

  

  tel que les différentielles sont linéairement indépendantes à l'origine. On résoud ce système par le théorème des fonctions implicites, c'est-à-dire on peut isoler (théorétiquement) n-1 des coordonnées et les exprimer par les autres. On a ainsi, toujours au voisiange de l'origine, n²-n+1 coordonnées variables et n-1 coordonnées isolées (fonctions différentiables des coordonnées variables).
  Maintenant je peux poursuivre mon raisonnement de la preuve du cas affine : par des permutations de lignes et de colonnes je m'arrange à ce que les coordonnées isolées soient toutes au-dessus de la diagonale matricielle ; puis je prends les coordonnées sur la diagonale toutes égales à un nombre non-nul et proche de 0 et les autres coordonnées variables égales à 0. Ainsi j'obtiens une matrice inversible qui est dans F.

Voici un petit exercice d'algèbre linéaire :

Soit A une matrice symétrique n×n à coefficients entiers et de déterminant nul. On note A_j la matrice (n-1)×(n-1) obtenue à partir de A en supprimant la j-ième ligne et la j-ième colonne. Soient i,j dans {1,...,n}. Le nombre det(A_iA_j) est-il un nombre carré?

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n.

Etudes dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

Mathias Wandel a construit une calculatrice en bois, basée sur la notation binaire !

Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.

Les nombres naturels

Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :

zéro = 0 , un = 1 , deux = 1+1 , trois = 1+1+1, quatre = 1+1+1+1 , etc.

Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que l'écriture primitive par bâtons qu'on trouve sur les murs des prisons : par exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place pour des grands nombres. Pour éviter cela on utilise une ruse, que j'illustre d'abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :

Le système décimal

Il fonctionne comme suit.

• Nous convenons que les dix premiers nombres (zéro, un, deux, trois, ..., huit, neuf) soient représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
• Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9+1 ou encore le dix, est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
• Puis on donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples:

  et .

Il n'est pas difficile de montrer que tout nombre naturel peut s'écrire dans ce système en n'utilisant que dix chiffres. Le fait qu'on ait pris dix chiffres est un pur hasard, certainement lié au fait que nous comptons dix doigts. Cela marcherait de la même manière si nous nous étions contentés par exemple de sept chiffres ; dans ce cas là, la juxtaposition signifierait le nombre sept et signifierait (c'est-à-dire dans notre système décimal habituel).

Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.

Le système binaire

Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .

La juxtaposition signifie alors le nombre deux et signifie , c'est-à-dire , donc cinq dans notre système décimal habituel.

Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :

0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.

est , est , est (un méga)

Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.


Exemples de passage d'un système à l'autre

Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :

• Soit un naturel écrit dans le système binaire. Alors dans le système décimal c'est le nombre
  


• Soit un naturel écrit dans le système décimal (!). Pour le transformer en écriture binaire nous devons d'abord trouver la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans . Nous savons que et que . Donc est la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans et ainsi l'écriture binaire de nécessitera onze chiffres le premier étant 1. Nous avons La plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est On est passé de la dixième puissance directement à la sixième ; les trois puissances "sautées" (neuvième, huitième, septième) sont représentées par des zéros. Donc l'écriture binaire de notre nombre commence par les cinq chiffres On poursuit de la même manière : ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est Puis ; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans est . Le dernier reste est Ainsi nous obtenons (notation binaire).


• Pour nous rassurer de notre dernier résultat faisons le test et re-transformons l'écriture binaire en écriture décimale. Le nombre en binaire devient en décimal donc (notation décimale).

Compris ? Et n'oubliez pas : il y a 10 sortes de gens au monde : ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas ;-)

Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est où désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire sur lui-même ? Et de sur lui-même ?

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

La comatrice com(M) d'une matrice carré M d'ordre n est la matrice des cofacteurs, c'est-à-dire sa composante en (l,k) est fois le déterminant de la matrice qui s'obtient lorsqu'on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c'est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s'appele matrice complémentaire (en allemand Adjunkte, en anglais adjugate matrix) et on démontre dans tout cours d'algèbre linéaire qu'elle vérifie la propriété fondamentale :

Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l'anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l'anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.

Exercice :  Démontrer que  com  est compatible avec la multiplication matricielle,

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

J'ai besoin de votre aide. Cette fois ce n'est pas pour résoudre un problème mathématique que je pose, mais plutôt le contraire. Il y a dix mois, Fafa m'a offert pour mon anniversaire cette sorte de puzzle tridimensionnel en bois.
 

Le problème c'est que ce jeu est vendu sans règles écrites et que le jour de mon anniversaire, elle avait déjà oublié les explications du vendeur. Et comme ça ne s'est pas passé dans un magasin mais dans un marché de Noël, impossible de le retrouver... Alors que faut-il faire avec ces pièces en bois? Si quelqu'un le sait, s'il vous plaît, manifestez-vous!