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Résidu


Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman, jeudi 18 septembre 2008 à 17:18 - Conjecture - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et U_1,U_2,\,\dots\,,U_n un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert U_j soit f_j une fonction holomorphe injective telle que df_j=df_k sur toutes les intersections U_j\cap U_k. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par
\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;

est holomorphe sur \mathbb{C}\backslash0 et possède une singularité essentielle en 0. L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme f(z)\neq0 pour tout z\in\mathbb{C}\backslash0, cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe w\neq0 et pour tout \epsilon>0 il existe une infinité de nombres complexes z tels que 0<|z|<\epsilon et f(z)=w.

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul w et un \epsilon>0. Il existe alors deux réels r>0 et \varphi tels que
w=re^{i\varphi}.

Pour tout n \in \mathbb{N} posons u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n) et z_n=1/{u_n}. Alors \lim_{n\to\infty}z_n=0.
Ainsi on a on a
f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.

Par conséquence, en prenant n assez grand, on voit que w possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé 0<\,|z|\,<\epsilon.

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}.

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

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Fibres d'une application complexe

Par Mathoman - Tags

Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

A :=\left\{ (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3\;|\; \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}\right\}.

Question:
Déterminer les fibres de l'application f\: :\; A\: \to \: \mathbb{C}^3 définie par

f(\alpha,\beta,\gamma)=(\cot\beta\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\beta).

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C3 d'équation u+v+w=1 et Dk, k=1,2,3, les droites

D_1=(1,0,0)+\mathbb{C}(0,1,-1), \;\;D_2=(0,1,0)+\mathbb{C}(1,0,-1), \;\;D_3=(0,0,1)+\mathbb{C}(1,-1,0).

Notons D'1=D1\{(1,0,0)}, D'2=D2\{(0,1,0)}, D'3=D3\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

f(A)=H\setminus(D'_1\cup D'_2\cup D'_3).
Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3) est discrète. Plus précisément, la restriction de f à f^{-1}(H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3)) est un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

\cot(\alpha+\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

peut s’écrire aussi comme \cot\beta\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot\beta=1. Cela signifie que pour tout (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3 on a

\cot\beta\cot\gamma+\cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=1 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}.
Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant (\alpha,\beta,\gamma)\in A.
  • Premier cas: \alpha\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Alors \beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z} et par conséquence \cot\beta=\tan\gamma et on a f(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0).
  • Second cas: \alpha\not\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Supposons par l'absurde que la première coordonnée de f(\alpha,\beta,\gamma) est égale à 1. Ainsi \cot\beta\cot\gamma=1 et \cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=0. Alors \cot\beta=-\cot\gamma. Par conséquence (\cot\beta)^2=-1, c'est-à-dire \cot\beta=\pm i. C'est une contradiction, car la cotangente est une application de \mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z} sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}.
On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'1, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'2 ni D'3. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

f^{-1}(1,0,0)=\left(\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right)\times\left{(\beta,\,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^2\,|\,\beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right}.
De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}, primitive de s=-dz/(1+z2). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute -\pi (resp. \pi) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation f(\alpha,\beta,\gamma)=(u,v,w) on trouve:

(*)    (\alpha,\beta,\gamma)=\left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.
Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a \rm{arccot}(-x)=\pi - \rm{arccot}(x) on obtient alors l'autre solution

(**)    \left(\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

  • Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (I)    \left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
  • La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (II)    \left(\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme k\pi alors la formule (II) donne un triplet de somme (3-k)\pi.

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