Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires.

Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans [X].

• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si P et Q sont de même degré, peut-on en déduire que P=Q ?
• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si on a la propriété similaire pour b, peut-on en déduire que P=Q ?

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe telle que pour tout naturel n,

En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x₁, ... ,x_n sous m contraintes données par g₁(x₁,...,x_n)=0, ... , g_m(x₁,...,x_n)=0, alors il existe des réels λ₁, ... ,λ_m tels que

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

• n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.


• n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g₁ et g₂ en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g₁(x,y,z) = g₂(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm², le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.

Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

Leur résultant R(P,Q) est le déterminant de la matrice de Sylvester, matrice carré d'ordre m+n dont on comprend la construction par l'exemple ci-dessous pour n=4 et m=3.

La proposition suivante est la raison d'être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d'un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !

On calcule alors le discriminant de P comme déterminant d'une matrice 3x3 (règle de Sarrus),

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace on appelle lieu discriminant le sous-ensemble formé des tels que le polynôme

possède une racine multiple.

1. Montrer que est connexe par arcs.
2. Quel est le groupe fondamental de  ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...

L'Etat fait la loi. En particulier, il s'occupe du code de travail et devrait veiller à ce que le paiement des salires soit transparent et se fait à temps. Or bizarrement il paraît que l'Etat est un employeur moins scrupuleux que les entreprises privées en ce qui concerne la transparence des fiches de paie et la ponctualité du paiement.

Voici un exemple. Une école d'ingénieur privée où j'enseigne établit le bulletin de paye suivant. Il est clairement structuré en commençant avec le plus important, à savoir le mois concerné, le nombre d'heures travaillées (CM=cours magistral, TD=travaux dirigés) et la base unitaire (par heure) ; puis il y a le total brut suivi des diverses côtisations. Et à la fin du mois l'argent est sur le compte de l'intervenant.

Dans le privé : fiche de paie claire

Maintenant comparons avec la fiche de paye pour un travail équivalent (heures d'interrogation en classe prépa) à l'Education Nationale. Sous la dénomination mystérieuse Rappel années antérieures on trouve un montant total, mais sans aucune explication.

Dans la fonction publique : fiche de paie obscure

On y cherchera en vain tous les détails importants, comme le tarif de base (nombre d'heures-élèves) ou la période concernée ! En plus, la période serait du plus grand intérêt car, même si le bulletin porte la date du janvier 2010, il s'agit en fait du paiement pour des interventions qui ont commencé en septembre 2009... et oui, l'Etat est un mauvais payeur, il est très souvent en retard ! Parfois il attend même six mois avant de payer les intervenants non-fonctionnaires (et aussi ses fonctionnaires pour leurs heures supplémentaires) ; en fait, lorsqu'on donne des heures de colles dans établissement pour la première fois, il n'est pas rare d'attendre le mois de mai pour avoir le premier virement concernant les heures du septembre. L'intervenant doit donc avoir une très bonne foi... Toute vérification est impossible.

Il est difficilement compréhensible que, dans notre monde informatisé du 21^e siècle, l'Education Nationale n'arrive pas à éditer des fiches de paye propres et à payer à échéance pour des services effectués.

Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

Question:
Déterminer les fibres de l'application définie par

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C³ d'équation u+v+w=1 et D_k, k=1,2,3, les droites

Notons D'₁=D₁\{(1,0,0)}, D'₂=D₂\{(0,1,0)}, D'₃=D₃\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de est discrète. Plus précisément, la restriction de f à est un revêtement au-dessus .

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

peut s’écrire aussi comme Cela signifie que pour tout on a

Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant .

• Premier cas: Alors et par conséquence et on a .
• Second cas: Supposons par l'absurde que la première coordonnée de est égale à 1. Ainsi et . Alors Par conséquence , c'est-à-dire . C'est une contradiction, car la cotangente est une application de sur

On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'₁, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'₂ ni D'₃. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur , primitive de s=-dz/(1+z²). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute (resp. ) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation on trouve:

Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)^½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a on obtient alors l'autre solution

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

• Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (I)    
• La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (II)    

Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme alors la formule (II) donne un triplet de somme

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert soit une fonction holomorphe injective telle que sur toutes les intersections . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

est holomorphe sur et possède une singularité essentielle en . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme pour tout , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe et pour tout il existe une infinité de nombres complexes tels que et .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul et un Il existe alors deux réels et tels que

Pour tout posons et Alors .
Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant assez grand, on voit que possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
 
On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

Le cofacteur d'indice (j,k) d'une matrice carrée A est où désigne la matrice qu'on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)

La matrice des cofacteurs de A, s'appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,

Petit exercice :  la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire sur lui-même ? Et de sur lui-même ?

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

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Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

1. Point de vue y en fonction de x.
   C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
   Le schéma mental est le suivant.

   

   L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
   En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
    
2. Point de vue collection d'éléments de Y.
   On peut aussi écrire l'application f en forme de famille . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
   En général, une famille dans Y n'est rien d'autre qu'une application
   

   

    
   où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
   Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

   

   où est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

   

   
    
3. Point de vue les fibres en fonction de y.
   Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
    
   
   
   
    
   Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
    

   

   
   L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
    
   

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

et l'espace des fibres

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence  ~  qui est définie par  x ~ x'  si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que et sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection , une bijection et une injection tel que le diagramme suivant commute.

En effet, il suffit de prendre pour la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

.

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

 
où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.