Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

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Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...

MathOMan relie 9 points avec 4 droites

Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.

Bin trace une cercle et son centre

Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.


On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

• Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
• trouver le milieu entre deux points,
• trouver la bissectrice d'un angle,
• placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
• trouver le centre d'un cercle,
• former un angle droit,
• placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe P1P de l'ISEP. Si vous avez une colle à rattraper vous devez obligatoirement m'en prévenir via le formulaire contact de ce site et m'indiquer le jour et le programme de colle.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Khôlle 1
2. Khôlle 2
3. Khôlle 3
4. Khôlle 4 — Equations différentielles
5. Khôlle 5 — fichier perdu
6. Khôlle 6 — Suites
7. Khôlle 7 — Intervalles, densité, continuité
8. Khôlle 8 — Continuité
9. Khôlle 9 — Dérivabilité
10. Khôlle 10 — Développements limités
11. Khôlle 11 — Convexité
12. Khôlle 12 — Groupes
13. Khôlle 13 — Anneaux, arithmétique
14. Khôlle 14 — Applications linéaires
15. Khôlle 15 — Applications linéaires
16. Khôlle 16 — Matrices
17. Khôlle 17 — Matrices
18. Khôlle 18 — Déterminant
19. Khôlle 19 — Polynômes
20. Khôlle 20 — Polynômes (encore)
21. Khôlle 21 — Fractions rationnelles
22. Khôlle 22 — Fonction intégrables
23. Khôlle 23 — Fonction intégrables (suite)
24. Khôlle 24 — Espaces euclidiens
25. Khôlle 25 — Espaces euclidiens (suite)
26. Khôlle 26 — Coniques
27. Khôlle 27 — Fonctions de plusieurs variables
28. Khôlle 28 — Courbes

Lire les conseils de rédaction.

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:

1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?

Réponses:   Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

Je suis mathématicien et je sais calculer, presque toujours correctement mais pas brillamment. Les génies en calcul mental m'ont toujours impressionné. A l'école, quand j'avais douze ans, j'avais un ami qui calculait plus vite (et plus juste) que notre prof ; par exemple il trouvait très rapidement si un grand nombre (plus grand qu'un milliard) était divisible par 7 ou non. Je le trouvais toujours très intelligent ; il n'est pas devenu mathématicien mais médecin.

Le travail d'un mathématicien-chercheur est de raisonner, le calcul n'est qu'un outil pour arriver à ses fins. Mais quelques s'intéressent aussi au calcul mental et s'y perfectionnent. Par exemple l'américain Arthur Benjamin du Harvey Mudd College en Californie. Voici une belle vidéo de sa prestation :

L'allemand Rüdiger Gamm joue dans un autre registre . Il n'est pas mathématicien (n'a pas fait de bac) et ne semble pas s'intéresser au raisonnements mais uniquement aux calculs. Selon les chercheurs ses compétences étonnantes ne relèvent pas seulement du calcul en temps réel mais de la mémorisation d'une immense banque de données. La manière dont il stocke ces données et comment il y accède si rapidement est un secret que lui-même ne se pas vraiment expliquer. Dans la vidéo ci-dessus il donne la première centaine des chiffres de l'écriture décimale de la fraction 62/167. Après un temps de recherche silencieux il se lance dans la récitation des chiffres, et c'est plus rapide que je ne pourrais les lire...

A chacun son cerveau. Celui des chimpanzés réserve également des surpises. Des primatologues ont trouvé qu'ils sont capables des mémoriser la localisation de chiffres affichés seulement pendant une fraction de seconde à l'écran d'un ordinateur ; ensuite ils les touchent dans l'ordre croissant. Essayez de faire aussi vite qu'eux dans cette vidéo !

Probablement ces sont des capacités que nos ancêtres avaient également lorsqu'ils cherchaient des fruits sur des arbres, en passant par une liane. Or aujourd'hui homo sapiens n'en a plus besoin, donc le gène correspondant s'est perdu chez nous au fil de l'évolution.

Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.

On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.

Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que et

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de :

• la boule
  
• la sphère
  
• l'hémisphère nord
  

Le bord de la boule est la sphère . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire




Questions

1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule et son bord dans les cas n=1,2,3.
2. Démontrer que
   
3. Démontrer que
   
4. Démontrer que
   
5. Démontrer que
   

Cliquez pour lire la Solution.

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Je n'ai pas le fichier tex de ce document pdf. Voici quelques erreurs de frappe que j'ai découvertes :

• La date en 2002 donne seulement le jour de compliation de ce fichier français. En fait, Arnol'd a déjà publié sa liste en russe dans l'année 1991 (voir cet entretien).
• Ex.14 — Il manque le dx.
• Ex.39 — ... d’un vecteur...
• Ex.37 — ... courbure...
• Ex.48 — Je crois que ça devrait être z¹⁰.
• Ex.52 — ... forme différentielle...
• Ex.65 — un u superflu ?
• Ex.74 — Le signe de division devrait être la divergence d'un champ de vecteurs.
• Ex.78 — Un à la place de infty.

Remarque : Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, à l'hôpital Saint-Antoine.

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

Pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie ; ci-dessous les questions avec corrigés. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Logique. Exponentielle et logarithme
2. Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
3. Equations différentielles linéaires
4. Géométrie dans le plan et l'espace
5. Courbes planes. Fichier perdu
6. Coniques
7. Applications. Théorie des ensembles
8. Relations, applications, ensembles
9. Ensembles. Dénombrements
10. Groupes
11. Groupes, anneaux, corps
12. Arithmétique
13. Suites
14. Suites réels et complexes
15. Espaces vectoriels
16. Polynômes
17. Fractions rationnelles
18. Révisions
19. Fonctions continues
20. Espaces vectoriels
21. Fonctions dérivables
22. Etudes de fonctions
23. Matrices
24. Intégration
25. Déterminant

Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :

• Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
• Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
• Lire mes conseils de rédaction.
• Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le — le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
• Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.