Devinettes amusantes de géométrie
Par Mathoman, mardi 30 juin 2009 à 14:28 - Exo, enigme, casse-tête - Tags
Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :
Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.
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Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...
MathOMan relie 9 points avec 4 droites
Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :
Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).
Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.
Pourquoi ne pas lire aussi :
Entraîner sa vue géométrique
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On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.
- Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
- trouver le milieu entre deux points,
- trouver la bissectrice d'un angle,
- placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
- trouver le centre d'un cercle,
- former un angle droit,
- placer l'intersection de trois droites concourantes.
Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)
Se repérer dans le désert
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Un joli exercice de géométrie
Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?
Réponse: Cliquez ici pour la solution.
Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!
Colles ISEP 2009/2010
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Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe P1P de l'ISEP. Si vous avez une colle à rattraper vous devez obligatoirement m'en prévenir via le formulaire contact de ce site et m'indiquer le jour et le programme de colle.
Khôlles prépa math sup avec corrigés :
- Khôlle 1
- Khôlle 2
- Khôlle 3
- Khôlle 4 Equations différentielles
- Khôlle 5 fichier perdu
- Khôlle 6 Suites
- Khôlle 7 Intervalles, densité, continuité
- Khôlle 8 Continuité
- Khôlle 9 Dérivabilité
- Khôlle 10 Développements limités
- Khôlle 11 Convexité
- Khôlle 12 Groupes
- Khôlle 13 Anneaux, arithmétique
- Khôlle 14 Applications linéaires
- Khôlle 15 Applications linéaires
- Khôlle 16 Matrices
- Khôlle 17 Matrices
Lire les conseils de rédaction.
Exercice sur un pavage de rectangles
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Pas si évident que ça!
Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).
- Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
- La réciproque est-elle vraie?
- Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?
Les mystères du cerveau : les mathémagiciens
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Je suis mathématicien et je sais calculer, presque toujours correctement mais pas brillamment. Les génies en calcul mental m'ont toujours impressionné. A l'école, quand j'avais douze ans, j'avais un ami qui calculait plus vite (et plus juste) que notre prof ; par exemple il trouvait très rapidement si un grand nombre (plus grand qu'un milliard) était divisible par 7 ou non. Je le trouvais toujours très intelligent ; il n'est pas devenu mathématicien mais médecin.
Le travail d'un mathématicien-chercheur est de raisonner, le calcul n'est qu'un outil pour arriver à ses fins. Mais quelques s'intéressent aussi au calcul mental et s'y perfectionnent. Par exemple l'américain Arthur Benjamin du Harvey Mudd College en Californie. Voici une belle vidéo de sa prestation :
L'allemand Rüdiger Gamm joue dans un autre registre . Il n'est pas mathématicien (n'a pas fait de bac) et ne semble pas s'intéresser au raisonnements mais uniquement aux calculs. Selon les chercheurs ses compétences étonnantes ne relèvent pas seulement du calcul en temps réel mais de la mémorisation d'une immense banque de données. La manière dont il stocke ces données et comment il y accède si rapidement est un secret que lui-même ne se pas vraiment expliquer. Dans la vidéo ci-dessus il donne la première centaine des chiffres de l'écriture décimale de la fraction 62/167. Après un temps de recherche silencieux il se lance dans la récitation des chiffres, et c'est plus rapide que je ne pourrais les lire...
A chacun son cerveau. Celui des chimpanzés réserve également des surpises. Des primatologues ont trouvé qu'ils sont capables des mémoriser la localisation de chiffres affichés seulement pendant une fraction de seconde à l'écran d'un ordinateur ; ensuite ils les touchent dans l'ordre croissant. Essayez de faire aussi vite qu'eux dans cette vidéo !
Probablement ces sont des capacités que nos ancêtres avaient également lorsqu'ils cherchaient des fruits sur des arbres, en passant par une liane. Or aujourd'hui homo sapiens n'en a plus besoin, donc le gène correspondant s'est perdu chez nous au fil de l'évolution.
Deux axes de symétrie radiale
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Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.
On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.
Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?
SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions
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Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel
. Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que
et 
Notations
Dans un premier temps dont nous nous contentons ici le symbole
signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.Comme d'habitude
dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans
. Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de
:- la boule


- la sphère


- l'hémisphère nord


est la sphère
. Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point x.Si on ``recolle''
par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons
Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire
Questions
- Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule
et son bord
dans les cas n=1,2,3. - Démontrer que


- Démontrer que


- Démontrer que


- Démontrer que


Colles MPSI 2009/2010
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Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie à Paris. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !
Khôlles prépa math sup avec corrigés :
- Logique. Exponentielle et logarithme
- Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
- Equations différentielles linéaires
- Géométrie dans le plan et l'espace
- Courbes planes. Fichier perdu
- Coniques
- Applications. Théorie des ensembles
- Relations, applications, ensembles
- Ensembles. Dénombrements
- Groupes
- Groupes, anneaux, corps
- Arithmétique
- Suites
- Suites réels et complexes
- Espaces vectoriels
- Polynômes
Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :
- Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
- Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
- Lire mes conseils de rédaction.
- Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
- Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
Les mathématiques passives n'existent pas
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Pour les visionner cliquez ici.
Une phrase m'a particulièrement marqué :
Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)
Calcul des fractions sur une partition de musique
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Les professeurs de maths au collège embêtent les élèves avec des questions comme
Quel nombre est plus grand, 3/4 ou 7/9 ?
Avant l'arrivée des logiciels d'impression musicale, les imprimeurs de partitions de musique devaient bien maîtriser ce genre de calcul de fractions pour faire les bons alignements verticaux.

Par exemple dans la première mesure de l'extrait ci-dessus, où les violons sont en 3/4 et les autres en 4/4, il fallait bien réfléchir si le la indiqué en rouge doit être placé avant le ré indiqué en vert. En fait, le la est attaqué avant le ré car 1/5 est un peu plus grand que 3/16.
Clairement il s'agit là de questions assez théoriques parce que le tempo de cette musique est rapide et qu'on n'entend pas ces détails dans le tutti de l'orchestre (un aperçu de le page entière de cette partition est ici.) Et les violonistes ne se demandent probablement pas pourquoi ils doivent jouer leurs 5-uplets légèrement plus vite que les triplets qui se trouvent dans les mesures suivantes !
Question : qui a composé cette musique ?
Indication : il s'agit d'un ballet écrit pour les fameux Ballets Russes de Diaghilev à Paris.

