Trouver la fausse boule d'or
Par Mathoman, mardi 7 octobre 2008 à 13:19 - Exo, enigme, casse-tête - Tags
Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.
Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?
Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.
Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?
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Enigmes et casse-têtes, Imitation, Poids, Balance, Balance à plateaux, Question de logique, Question des douze boules, Enigme des 12 boules, Question des 3 pesées, Casse-tête des trois pesées
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La notation binaire
Par Mathoman - Tags
Mathias Wandel a construit une calculatrice en bois, basée sur la notation binaire !
Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.
Les nombres naturels
Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :
Le système décimal
Il fonctionne comme suit.
signifierait le nombre sept et 
signifierait 
(c'est-à-dire 
dans notre système décimal habituel).
Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.
Le système binaire
Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .
La juxtaposition signifie alors le nombre deux et 
signifie 
, c'est-à-dire 
, donc cinq dans notre système décimal habituel.
Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :
0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.
est 
, 
est 
, 
est 
(un méga)
Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.
Exemples de passage d'un système à l'autre
Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :
Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.
Les nombres naturels
Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :
zéro = 0 , un = 1 , deux = 1+1 , trois = 1+1+1, quatre = 1+1+1+1 , etc.
Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que l'écriture primitive par bâtons qu'on trouve sur les murs des prisons : par exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place pour des grands nombres. Pour éviter cela on utilise une ruse, que j'illustre d'abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :Le système décimal
Il fonctionne comme suit.
- Nous convenons que les dix premiers nombres (zéro, un, deux, trois, ..., huit, neuf) soient représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
- Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9+1 ou encore le dix, est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
- Puis on donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples:
et 
.
signifierait le nombre sept et signifierait (c'est-à-dire dans notre système décimal habituel).Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.
Le système binaire
Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .
La juxtaposition
signifie alors le nombre deux et signifie , c'est-à-dire , donc cinq dans notre système décimal habituel.Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :
0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.
est , est , est (un méga)Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.
Exemples de passage d'un système à l'autre
Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :
- Soit
un naturel écrit dans le système binaire. Alors dans le système décimal c'est le nombre 
- Soit
un naturel écrit dans le système décimal (!). Pour le transformer en écriture binaire nous devons d'abord trouver la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 
. Nous savons que et que 
. Donc 
est la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 
et ainsi l'écriture binaire de nécessitera onze chiffres le premier étant 1. Nous avons 
La plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 
est 
On est passé de la dixième puissance directement à la sixième ; les trois puissances "sautées" (neuvième, huitième, septième) sont représentées par des zéros. Donc l'écriture binaire de notre nombre commence par les cinq chiffres 
On poursuit de la même manière : 
; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 
est 
Puis 
; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans 
est 
. Le dernier reste est 
Ainsi nous obtenons 
(notation binaire). - Pour nous rassurer de notre dernier résultat faisons le test et re-transformons l'écriture binaire en écriture décimale. Le nombre en binaire devient en décimal
donc 
(notation décimale).
Une preuve à prendre avec précaution
Par Mathoman - Tags
Le fait que
0,999999... = 1
est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration
de cette égalité.
On poseX = 0,99999...Alors on a l'égalité10X = 9,99999...dont on soustrait la première,9X = 9,00000...D'où X = 1.
Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve
— mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.
Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :
Une bien meilleure méthode
On pose X = 0,99999... et on part de
0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X
donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.
En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.
Autrement dit, 1 > 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001 > ... > 1 - X.
Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD
Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.
Brenoms
D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple
Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.
Cercle, ellipse et suite d'éclats
Par Mathoman - Tags
L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.
Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue
).
Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste. On peut réaliser cette illusion optique dans son propre appartement ; voici une vidéo avec un cube.
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Felice Varini : Quatre cercles dansants |
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Hors point de vue |
Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé
tout un village dans les Alpes Suisses !
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Felice Varini : Cercle et suite d'éclats(Vercorin, Suisse, été 2009) |
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Hors point de vue |
Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...
Les mystères du cerveau : les mathémagiciens
Par Mathoman - Tags
Je suis mathématicien et je sais calculer, presque toujours correctement mais pas brillamment. Les génies en calcul mental m'ont toujours impressionné. A l'école, quand j'avais douze ans, j'avais un ami qui calculait plus vite (et plus juste) que notre prof ; par exemple il trouvait très rapidement si un grand nombre (plus grand qu'un milliard) était divisible par 7 ou non. Je le trouvais toujours très intelligent ; il n'est pas devenu mathématicien mais médecin.
Le travail d'un mathématicien-chercheur est de raisonner, le calcul n'est qu'un outil pour arriver à ses fins. Mais quelques s'intéressent aussi au calcul mental et s'y perfectionnent. Par exemple l'américain Arthur Benjamin du Harvey Mudd College en Californie. Voici une belle vidéo de sa prestation :
L'allemand Rüdiger Gamm joue dans un autre registre . Il n'est pas mathématicien (n'a pas fait de bac) et ne semble pas s'intéresser au raisonnements mais uniquement aux calculs. Selon les chercheurs ses compétences étonnantes ne relèvent pas seulement du calcul en temps réel mais de la mémorisation d'une immense banque de données. La manière dont il stocke ces données et comment il y accède si rapidement est un secret que lui-même ne se pas vraiment expliquer. Dans la vidéo ci-dessus il donne la première centaine des chiffres de l'écriture décimale de la fraction 62/167. Après un temps de recherche silencieux il se lance dans la récitation des chiffres, et c'est plus rapide que je ne pourrais les lire...
A chacun son cerveau. Celui des chimpanzés réserve également des surpises. Des primatologues ont trouvé qu'ils sont capables des mémoriser la localisation de chiffres affichés seulement pendant une fraction de seconde à l'écran d'un ordinateur ; ensuite ils les touchent dans l'ordre croissant. Essayez de faire aussi vite qu'eux dans cette vidéo !
Probablement ces sont des capacités que nos ancêtres avaient également lorsqu'ils cherchaient des fruits sur des arbres, en passant par une liane. Or aujourd'hui homo sapiens n'en a plus besoin, donc le gène correspondant s'est perdu chez nous au fil de l'évolution.
La roue crevée
Par Mathoman - Tags
Des élèves qui ne viennent pas le jour du contrôle, c'est l'horreur de tout prof qui doit alors concocter un deuxième sujet pour le rattrapage. On comprend donc que très souvent ce deuxième sujet sera un peu plus difficile... Voici une belle petite histoire que des collègues m'ont écrite :
Ce sont quatre taupins qui ont un DS de math le lundi à passer. Ils vont faire la fête toute la nuit du dimanche à l’occasion de l’anniversaire de l’un d’entre eux. Seulement, ils ne se réveillent pas le fameux lundi matin et vont voir mardi le professeur pour s’excuser. Ils lui demandent alors de rattraper le lendemain en argumentant qu’ils ont crevé une roue sur le chemin en guise d’excuse. Le professeur accepte finalement.
Les étudiants bossent toute la nuit et arrivent le matin confiants à l’examen. Le professeur les met dans des salles différentes et leur donne le sujet d’examen qui comporte deux questions.
La première est sur 1 point. Chacun la lit dans son coin et trouve cela très facile. En effet, la question est : « Quelle est la raison qui vous a empêché de passer le DS prévu lundi ? ». Après, ils tournent la page et la seconde question, sur 19 points, est : « Quelle roue a été crevée ? »
Question (niveau probabilités classe de première)
Quelle est la note moyenne (valeur d'expectation) des quatre élèves à laquelle il faut s'attendre ?
Incitation à la réflexion
Pourra-t-on intégrer la question précédente comme troisième question au contrôle sans provoquer une boucle logique ?
Deux axes de symétrie radiale
Par Mathoman - Tags
Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.
On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.
Question :
Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?
Petite question sur les groupes
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Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?
Il y a une solution élégante, pas très longue...
Question de codimension en algèbre linéaire
Par Mathoman - Tags
Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :
Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.
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Se repérer dans le désert
Par Mathoman - Tags
Un joli exercice de géométrie
Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.
Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?
Réponse: Cliquez ici pour la solution.
Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!
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Question codage Maple
Par Mathoman - Tags
Ce matin en TP Maple je voulais coder une chose qui semble toute anodine : créer le liste des fonctions x —> sin(kx) où k=0,..,100. Il est facile de créer la liste des expressions sin(kx) où k=0,..,100, et dans les cas pratiques on peut se débrouiller avec ça. Mais créer la liste de ces fonctions ne semble pas aussi simple. Est-ce que par hasard un de mes lecteurs sait comment s'y prendre?