Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe P1P de l'ISEP. Si vous avez une colle à rattraper vous devez obligatoirement m'en prévenir via le formulaire contact de ce site et m'indiquer le jour et le programme de colle.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Khôlle 1
2. Khôlle 2
3. Khôlle 3
4. Khôlle 4 — Equations différentielles
5. Khôlle 5 — fichier perdu
6. Khôlle 6 — Suites
7. Khôlle 7 — Intervalles, densité, continuité
8. Khôlle 8 — Continuité
9. Khôlle 9 — Dérivabilité
10. Khôlle 10 — Développements limités
11. Khôlle 11 — Convexité
12. Khôlle 12 — Groupes
13. Khôlle 13 — Anneaux, arithmétique
14. Khôlle 14 — Applications linéaires
15. Khôlle 15 — Applications linéaires
16. Khôlle 16 — Matrices
17. Khôlle 17 — Matrices
18. Khôlle 18 — Déterminant
19. Khôlle 19 — Polynômes
20. Khôlle 20 — Polynômes (encore)
21. Khôlle 21 — Fractions rationnelles
22. Khôlle 22 — Fonction intégrables
23. Khôlle 23 — Fonction intégrables (suite)
24. Khôlle 24 — Espaces euclidiens
25. Khôlle 25 — Espaces euclidiens (suite)
26. Khôlle 26 — Coniques
27. Khôlle 27 — Fonctions de plusieurs variables
28. Khôlle 28 — Courbes

Lire les conseils de rédaction.

Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?

Il y a une solution élégante, pas très longue...

Lorsque j'ai travaillé avec Gérald Calderon sur le film Origine Océan nous avons consacré une petite scène à un être unicellulaire nommé LUCA (Last Universal Common Ancestor), notre dernier ancêtre commun universel dont sont issues l'ensemble des espèces.

On peut se poser la question amusante s'il existe un LUMA (Last Universal Math Ancestor) — et pour répondre à cette question on peut s'aider d'une base de données de l'université américaine NDSU.

Il s'agit d'un arbre généalogique qui permet d'associer à chaque docteur en mathématiques du monde entier son directeur de thèse. Ainsi j'ai découvert que si je remonte six générations, je trouve parmi mes aïeux l'illustre Hermann von Helmholtz. Mais mon cousin Detlev qui a soutenu sa thèse en 2001 fait encore mieux : il est un descendant scientifique de Hilbert et donc du prince des maths Carl Friedrich Gauß !

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Des élèves qui ne viennent pas le jour du contrôle, c'est l'horreur de tout prof qui doit alors concocter un deuxième sujet pour le rattrapage. On comprend donc que très souvent ce deuxième sujet sera un peu plus difficile... Voici une belle petite histoire que des collègues m'ont écrite :

Ce sont quatre taupins qui ont un DS de math le lundi à passer. Ils vont faire la fête toute la nuit du dimanche à l’occasion de l’anniversaire de l’un d’entre eux. Seulement, ils ne se réveillent pas le fameux lundi matin et vont voir mardi le professeur pour s’excuser. Ils lui demandent alors de rattraper le lendemain en argumentant qu’ils ont crevé une roue sur le chemin en guise d’excuse. Le professeur accepte finalement.
Les étudiants bossent toute la nuit et arrivent le matin confiants à l’examen. Le professeur les met dans des salles différentes et leur donne le sujet d’examen qui comporte deux questions.
La première est sur 1 point. Chacun la lit dans son coin et trouve cela très facile. En effet, la question est : « Quelle est la raison qui vous a empêché de passer le DS prévu lundi ? ». Après, ils tournent la page et la seconde question, sur 19 points, est : « Quelle roue a été crevée ? »

Question (niveau probabilités classe de première)

Quelle est la note moyenne (valeur d'expectation) des quatre élèves à laquelle il faut s'attendre ?

Incitation à la réflexion

Pourra-t-on intégrer la question précédente comme troisième question au contrôle sans provoquer une boucle logique ?

Pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie ; ci-dessous les questions avec corrigés. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Logique. Exponentielle et logarithme
2. Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
3. Equations différentielles linéaires
4. Géométrie dans le plan et l'espace
5. Courbes planes. Fichier perdu
6. Coniques
7. Applications. Théorie des ensembles
8. Relations, applications, ensembles
9. Ensembles. Dénombrements
10. Groupes
11. Groupes, anneaux, corps
12. Arithmétique
13. Suites
14. Suites réels et complexes
15. Espaces vectoriels
16. Polynômes
17. Fractions rationnelles
18. Révisions
19. Fonctions continues
20. Espaces vectoriels
21. Fonctions dérivables
22. Etudes de fonctions
23. Matrices
24. Intégration
25. Déterminant

Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :

• Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
• Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
• Lire mes conseils de rédaction.
• Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le — le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
• Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
  
  

Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

Pourquoi le nombre de la formule pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

Pour mes étudiants à l'ESILV : tous les lundi après-midi vous y trouverez le cours magistral dispensé en amphi le matin même.

Polycopié — cours, tests et TD     (màj le 21/01/2010)
Exercices avec corrigés — pour votre entraînement.  (màj le 12/01/2010) 

Questions-test
Avec 1h15 de cours et 1h15 de TD par semaine il est impossible de traiter le programme sans faire appel à votre autonomie. Travaillez les questions-test de manière autonome, elles sont livrées avec réponses. Si vous ne comprenez pas une réponse, alors demandez plus de détails à votre chargé de TD (ou à moi). N'oubliez pas : les mathématiques ne s'apprennent qu'en les faisant !
Lorsque vous lisez un polycopié ou un livre de maths ayez toujours un brouillon et un crayon pour vérifier les calculs que l'auteur propose et dont certaines étapes pourraient vous échapper. En somme, mettez tout en question, puis essayez de comprendre pourquoi ce qui y est écrit est vrai. Votre but ultime devrait être de comprendre le contenu assez bien que vous pourriez l'expliquer à un collègue.

TD — exercices obligatoires

• Semaine du 14/09/2009 : 1.4, 1.5 (questions 2 et 3), 1.8
• Semaine du 21/09/2009 : 1.7, 2.5, 2.6 et travailler le cours jusqu'à la section 2.7
• Semaine du 28/09/2009 : 2.7 à 2.10 et travailler la section 2.8 du cours
• Semaine du 05/10/2009 : 2.4 et 2.12. ; travailler la section 2.9 du cours
  Pour mieux comprendre l'exercice 2.1 sur la cycloïde voici le dessin animé :
  
• Semaine du 19/10/2009 : 1.3, 1.5 (1 et 4), 2.11. (4 à 6) et 2.14
• Semaine du 26/10/2009 : 2.13 à 2.15 — travailler le chapitre 3 en entier, les solutions des TD étant fournies
• Semaine du 23/11/2009 : 2.13 (finir) et 4.1 à 4.3
• Semaine du 07/12/2009 : 4.2 à 4.4 — travailler le cours jusqu'à la section 4.9
• Semaine du 05/01/2010 : 5.1 à 5.5 — travailler le cours jusqu'à la section 5.3
• Fin semestre : 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10, 5.13, 5.14 — travailler le poly jusqu'à sa fin

J'ai décidé de ne pas rendre publique les corrigés des exercices TD. Les exercices obligatoires sont traités dans les séances TD. Les autres sont facultatives ; je communiquerai leurs solutions à ceux qui le désirent entre mes cours (amphi).

Contrôles

• Contrôle du 29 septembre 2009 avec corrigé
• Contrôle du 13 novembre 2009 avec corrigé
• Contrôle du 29 janvier 2010 avec corrigé
• Contrôle du 29 mai 2010 (rattrapage) avec corrigé

Livres conseillés

• Mathématiques L1 de MathOMan & al.
  Ce livre contient tout le programme d'algèbre et d'analyse enseigné généralement aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. Rappels de connaissances du lycée. Nombreux exemples, exercices et tests corrigés à la fin du livre. (Télécharger ici le chapitre exemple sur les suites.)
• Undergraduate Analysis de Serge Lang.
  Ecrit par un très grand pédagogue des mathématiques du 20e siècle. Excellent style, bon début pour se familiariser à la lecture scientifique en anglais.
• Analysis I de Terence Tao (pour aller plus loin)
• Applied Mathematics : Body and Soul (pour aller encore plus loin...)
  Série de quatre manuels enseigné à la Chalmers university of technology en Suède. Les quatre tomes couvrent les trois premières années d'études. (Télécharger le tome 4).

Logiciels conseillés

• Graphmatica — Pour tracer des courbes (installation gratuite)
• WolframAlpha — Pour calculer (logiciel en ligne)

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres — mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt