Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe telle que pour tout naturel n,

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

• Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...


• La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.

Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m'a rappelé quelques souvenirs de notions que j'avais apprises pendant ma maîtrise.

Le résultant de deux polynômes

Considérons deux polynômes

La proposition suivante est la raison d'être du résultant.

Proposition. On a R(P,Q)=0 si et seulement si P et Q possèdent un diviseur commun non-constant.

Le discriminant d'un polynôme

Dans le cas où Q est la dérivée de P le résultant porte un nom particulier : on appelle R(P,P') le discriminant de P. La proposition ci-dessus implique le corollaire ci-dessous.

Corollaire. Un polynôme complexe admet une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.

Testons au moins la véracité de ce corollaire sur les polynômes de second degré (que les profs de lycée appellent trinômes) !

Nous retrouvons ainsi le fait, connu par tout lycéen en classe première S, que le polynôme de second degré aX²+bX+c possède une racine double si et seulement si b²-4ac=0.

Groupe fondamental du complémentaire du lieu discriminant

Maintenant revenons au niveau maîtrise (des nos jours master ou encore magistère...) pour poser les deux questions suivantes. Dans l'espace on appelle lieu discriminant le sous-ensemble formé des tels que le polynôme

1. Montrer que est connexe par arcs.
2. Quel est le groupe fondamental de  ? Le décrire par générateurs et relations.

Les réponses sont plutôt faciles ; pour la deuxième question, pas la peine de tout formaliser, le handwaving suffit car dans cet exemple le formalisme ne donne rien en valeur ajoutée...

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :

a(1+ky)x² + by² = 1

Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

• D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
   
• Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
   
• D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci

  ax²/(1+ky)+ by² = 1.

  Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
   
• Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
   
  
• Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

Apparemment la question sur un pavage de rectangles posée ici il y a quelques jours est stimulante. Après la solution par produit tensoriel, voici une autre qui repose sur une activité habituellement réservée aux enfants: le coloriage. (Les matheux ne sont que de grands enfants !) Merci à David Caisson qui m'a envoyé cette solution extraite du livre Solving Mathematical Problems de Terence Tao.

L'idée de T. Tao est aussi simple que belle: on colore en vert tous les rectangles ayant un côté horizontal entier, et en rouge tous les autres rectangles. Un argument topologique de connexité nous assure alors que dans le grand rectangle on peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert ou les deux côtés horizontaux par un chemin rouge. (Pour ceux qui ne connaissent pas encore la notion de connéxité : c'est une sorte de théorème des valeurs intermédiaires qui dit que deux lignes reliant les côtés opposés se coupent forcément). Or un chemin vert consiste en la juxtaposition de rectangles verts, donc sa longueur horizontale est entière; et de manière analogue pour un chemin rouge.

Vous pouvez lire la solution complète ici.

Cette "solution" m'a laissé perplexe car sur les trois premières pages l'auteur n'avance pas beaucoup, puis au tout dernier paragraphe il évoque, sans les traiter, quelques obstacles qui pourraient éventuellement se poser. Et avec un peu d'esprit critique on trouve que la démonstration est fausse! Voici un contre-exemple.

Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.

Syntaxe d'une assertion

7 + 1 = 8

1 < 0

7+1

Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec

Introduire les objets avant leur utilisation

.

.

Exemples de bonne syntaxe

Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.

Théorème 1.  Soit . Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 2.  Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur si et seulement si a > 0.

Théorème 3.  Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur .

Preuve du théorème 2.  Soit a un réel. Blabla...

Mauvaise rédaction de la preuve

Preuve du théorème 2 (version débutant).
Soit a un réel. Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.

• On voit sur l'inégalité ax < ay .... Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écrire soit x et y....
• La fin du raisonnement devrait être... n'est pas clair.
• Le débutant écrit il faut montrer que... puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
  En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire pour la proposition que vous cherchez à prouver alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer ceci...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire : Soit a > 0. Pour montrer que la fonction définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur R je vais prouver que sa dérivée est strictement positive.

Bonne rédaction

Preuve du théorème 2 (version de l'étudiant expérimenté).
Soit a un réel.
Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.

Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité f(0) < f(1). Cela prouve que a = f(1) > f(0) = 0.

Structure d'une preuve

Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :

Enoncé.  Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a l'hypothèse (H) ... alors f est injective.
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.

Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.

Autre conseil

Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

Question:
Déterminer les fibres de l'application définie par

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C³ d'équation u+v+w=1 et D_k, k=1,2,3, les droites

Notons D'₁=D₁\{(1,0,0)}, D'₂=D₂\{(0,1,0)}, D'₃=D₃\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

peut s’écrire aussi comme Cela signifie que pour tout on a

• Premier cas: Alors et par conséquence et on a .
• Second cas: Supposons par l'absurde que la première coordonnée de est égale à 1. Ainsi et . Alors Par conséquence , c'est-à-dire . C'est une contradiction, car la cotangente est une application de sur

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur , primitive de s=-dz/(1+z²). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute (resp. ) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation on trouve:

(*)    

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a on obtient alors l'autre solution

(**)    

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

• Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (I)    
• La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (II)    

Je me rappelle qu'une fois, en plein concert à la Philharmonie de Munich, le pianiste Alfred Brendel interrompit son jeu car le public qui toussait. Il se retournait vers la salle et disait : "Die Grundlage der Musik ist die Stille." Traduction : la base de la musique c'est le silence.

J'aimerais adapter cette phrase aux mathématiques : "La base des mathématiques c'est le calcul". Et je pense au calcul le plus simple, les opérations élémentaires qui devraient être maîtrisées par tous les citoyens d'un pays moderne (à l'exception de quelques rares personnes souffrant d'une sorte de dyslexie des nombres) : addition, soustraction, multiplication et division. Si les élèves ne savent plus calculer, le professeur devrait arrêter son cours, comme Alfred Brendel, et le reprendre plus tard...

Autrefois, grâce à la scolarisation, le savoir progressait d'une génération à l'autre
Dans cet extrait de film des années cinquante un représentant essaie en vain de dissuader Ma and Pa Kettle que 25 divisé par 5 donne 14.

Aujourd'hui c'est le récul: beaucoup de bachéliers ne savent plus calculer
Lorsque j'enseignais en deux classes de terminale ES dans un lycée en région parisienne, j'étais confronté à un problème majeur : le programme du baccalauréat porte sur les dérivées et les intégrales, les logarithmes et les exponentielles. Or la majorité de ces élèves en terminale ne connaissait pas les règles élémentaires de calcul, beaucoup confondaient l'addition avec la multiplication et la soustraction avec la division. Voici un florilège extraits de quelques copies de bacs blancs :

Tout ça pourrait faire rire si ce n'étaient que quelques cas isolés. Mais ce type d'erreurs n'est plus exceptionnel, il est devenu la règle (voir mes statistiques). Il semble qu'aujourd'hui il est impossible de demander à un élève en terminale d'effectuer un calcul élémentaire sans faire d'erreur. Le nombre d'élèves acceptés en première (même en section S) et qui ne connaissent pas la table de multiplication est légion.

Ci-dessous un dernier exemple qui me rend heureux et triste à la fois — triste car cet élève ne maîtrise pas du tout le programme du collège (règles de calcul avec les fractions), et heureux car il a appris ce que je lui enseignais en terminale (règles de dérivation). Mais en fin de compte, quelle est la valeur de ses connaissances en calcul différentiel s'il ne sait pas simplifier correctement la fraction qu'il obtient ?

La question posée était de dériver la fonction Voici sa réponse :

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

1. Point de vue y en fonction de x.
   C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
   Le schéma mental est le suivant.

   

   L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
   En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
    
2. Point de vue collection d'éléments de Y.
   On peut aussi écrire l'application f en forme de famille . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
   En général, une famille dans Y n'est rien d'autre qu'une application
   

   

    
   où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
   Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire

   

   où est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement

   

   
    
3. Point de vue les fibres en fonction de y.
   Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté
    
   
   
   
    
   Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.
    

   

   
   L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.
    
   

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

.

Un avant-goût de la suite

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d'un bout à l'autre. Lorsqu'une femme atteint la fin de l'allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une durée au moins d'une minute durant lequel toutes les trois marchent dans la même direction.
(On peut supposer qu'il n'y pas d'hommes qui les dérangent.)