Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

La comatrice com(M) d'une matrice carré M d'ordre n est la matrice des cofacteurs, c'est-à-dire sa composante en (l,k) est fois le déterminant de la matrice qui s'obtient lorsqu'on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c'est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s'appele matrice complémentaire (en allemand Adjunkte, en anglais adjugate matrix) et on démontre dans tout cours d'algèbre linéaire qu'elle vérifie la propriété fondamentale :

Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l'anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l'anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.

Exercice :  Démontrer que  com  est compatible avec la multiplication matricielle,

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...

Il peut arriver en plein dimanche, quand tous les magasins sont fermés, qu'on doit effectuer un calcul avec la calculatrice, mais les piles de celle-ci sont vides. Pas de panique, il existe une

qui permet de faire les calculs de base et avec des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes. (Mais elle ne possède pas la possibilité de dessiner des graphes.)

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !

Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut , sa superficie et son volume . Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à .

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?

Un magma est un ensemble G muni d'une loi de composition interne ¤.
Si en plus cette loi est associative, c'est-à-dire (x¤y)¤z = x¤(y¤z) pour tous x,y,z dans G, alors on dit que (G,¤) est un demi-groupe.
Et si en plus il existe un élément neutre e dans G, c'est-à-dire e¤x = x¤e = x pour tout x dans G, alors on dit que (G,¤) est un monoïde.
Enfin, si chaque élément x de G possède un neutralisant x' dans G, c'est-à-dire x¤x' = x'¤x = e, alors on dit que (G,¤) est un groupe.

On dit aussi le symétrique de x pour l'élément neutralisant x' de x. Si la loi est notée par une addition on le note souvent -x (opposé) et si la loi est notée par une multiplication on le note souvent x^-1 (inverse).

Exemples :

• Considérons la loi de l'addition habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels strictements positifs N*={1,2,3,...} est un semi-groupe. Il manque l'élément neutre 0 ; on l'ajoute et on obtient le monoïde N={0,1,2,3,...}. Il manque les neutralisants (les opposés) -1, -2, -3, ... ; on les ajoute et on obtient le groupe des entiers Z={0,±1,±2,±3,...}.
• Considérons la loi de la multiplication habituelle de nombres. Muni de cette loi l'ensemble des naturels N est un monoïde, son élément neutre étant 1. Que faut-il ajouter ou enlever pour en faire un groupe ? D'abord on remarque que 0 multiplié avec tout nombre donne 0, donc jamais 1, autrement dit on ne pourra jamais trouver un neutralisant de 0 (on ne peut pas diviser par zéro...). Il faut donc enlever le 0, on trouve N*. Ensuite il faut ajouter les inverses : l'union de N* et de l'ensemble des 1/n où n parcourt N*, est-il un groupe ? Non, pas encore, car il faut aussi s'assurer que les produits restent dedans et donc on doit en fait ajouter toutes les fractions de la forme m/n avec m et n dans N*. On trouve le groupe multiplicatif Q*⁺ des rationnels strictement positifs.
  De même l'ensemble des nombres rationnels non nuls Q* est un groupe.
• Il existe des loi internes non-associatifs. L'ensemble Z muni de la soustraction est un magma (mais pas un demi-groupe). L'ensemble R³ muni du produit vectoriel
  (x₁, x₂, x₃) × (y₁, y₂, y₃) = (x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃, x₁y₂-x₂y₁)
  en est un autre.

Pour résumer, un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et tel que chaque élément a un neutralisant. Il s'agit alors de vérifier ces trois axiomes pour montrer qu'un objet proposé est un groupe. Beaucoup d'exercices sont de ce type et très souvent ce sont de simples vérifications mécaniques, permettant au débutant de se familiariser avec la notion de groupe. La rédaction de la réponse à la question suivante m'a pris un peu plus de temps, à savoir toute la durée d'un examen que j'ai surveillé hier — pas terrible de réussir un seul exo pendant que les étudiants doivent en faire cinq ;-) mais évidemment cet exo ne faisait pas partie de l'examen...

Exercice : On définit x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½. L'ensemble des réels muni de cette loi est-il un groupe ?

Toutes les solutions sont acceptées... en particulier celles utilisant la force brute du logiciel de calcul formel Maple car j'aimerais bien savoir si Maple arrive à faire ça. J'ai essayé de forcer Maple mais il ne voulait pas ; soit ça dépasse ses capacités, soit ça dépasse mes compétences maple-istiques.

Je me rappelle qu'une fois, en plein concert à la Philharmonie de Munich, le pianiste Alfred Brendel interrompit son jeu car le public qui toussait. Il se retournait vers la salle et disait : "Die Grundlage der Musik ist die Stille." Traduction : la base de la musique c'est le silence.

J'aimerais adapter cette phrase aux mathématiques : "La base des mathématiques c'est le calcul". Et je pense au calcul le plus simple, les opérations élémentaires qui devraient être maîtrisées par tous les citoyens d'un pays moderne (à l'exception de quelques rares personnes souffrant d'une sorte de dyslexie des nombres) : addition, soustraction, multiplication et division. Si les élèves ne savent plus calculer, le professeur devrait arrêter son cours, comme Alfred Brendel, et le reprendre plus tard...

Autrefois, grâce à la scolarisation, le savoir progressait d'une génération à l'autre
Dans cet extrait de film des années cinquante un représentant essaie en vain de dissuader Ma and Pa Kettle que 25 divisé par 5 donne 14.

Aujourd'hui c'est le récul: beaucoup de bachéliers ne savent plus calculer
Lorsque j'enseignais en deux classes de terminale ES dans un lycée en région parisienne, j'étais confronté à un problème majeur : le programme du baccalauréat porte sur les dérivées et les intégrales, les logarithmes et les exponentielles. Or la majorité de ces élèves en terminale ne connaissait pas les règles élémentaires de calcul, beaucoup confondaient l'addition avec la multiplication et la soustraction avec la division. Voici un florilège extraits de quelques copies de bacs blancs :

              

Tout ça pourrait faire rire si ce n'étaient que quelques cas isolés. Mais ce type d'erreurs n'est plus exceptionnel, il est devenu la règle (voir mes statistiques). Il semble qu'aujourd'hui il est impossible de demander à un élève en terminale d'effectuer un calcul élémentaire sans faire d'erreur. Le nombre d'élèves acceptés en première (même en section S) et qui ne connaissent pas la table de multiplication est légion.

Le roi est nu
Certains diront que tout cela n'a pas d'importance car les mathématiques n'interviennent que peu dans notre vie quotidienne et que d'autres facilités sont plus déterminantes pour bien réussir dans la vie. Peut-être. Je serais le dernier à exiger que tous mes co-citoyens connaissent les logarithmes et les intégrales. Mais ce qui me gêne beaucoup c'est que le calcul élémentaire n'est pas acquis et qu'en même temps on habitue les élèves à utiliser un langage de bois mathématique qui prétend qu'il y a une compréhension des objets impliqués tandis qu'au fond rien n'est compris. Sous un splendide manteau de termes savants (intégrales, limites, théorème des valeurs intermédiaires, etc.), le roi est nu ! C'est digne des Impostures intellectuelles à la Sokal-Bricmont...
Evidemment il est impossible, en dernière année de lycée, de rattraper avec des cours de soutien toutes ces bases manquées. Soit on fait les choses correctement dès le départ, soit on ne les fait pas, c'est-à-dire on élimine des programmes scolaires le calcul supérieur avec les fonctions.

Ci-dessous un dernier exemple qui me rend heureux et triste à la fois — triste car cet élève ne maîtrise pas du tout le programme du collège (règles de calcul avec les fractions), et heureux car il a appris ce que je lui enseignais en terminale (règles de dérivation). Mais en fin de compte, quelle est la valeur de ses connaissances en calcul différentiel s'il ne sait pas simplifier correctement la fraction qu'il obtient ?

La question posée était de dériver la fonction Voici sa réponse :

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt