Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut , sa superficie et son volume . Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à .

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog (c'est ici). L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin¹⁰⁰(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe

Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

Attention, étudiants et élèves ! Respectez votre professeur de mathématiques. Peut-être derrière cette personne grise et austère il se cache un personnage très surpenant... En tout cas, conscience professionnelle oblige, j'irai voir ce film :

Le nouveau film avec Franck Dubosc. Sortie aujourd'hui

La sortie du deuxième volet de la trilogie est prévue pour l'année prochaine :

Mathohulk avant de reléver un segment compact

Noël est le temps des casse-noisettes, non des casse-têtes pour mes amis les matheux. Voici une égalité :

Le but est de démontrer qu'elle est vraie pour tout entier n strictement positif. Comme d'habitude en maths c'est la dévise short is beautiful, c'est-à-dire il faut trouver une solution courte et élégante, sans avoir beaucoup de calcul à faire. On pourra s'inspirer de l'image d'un père noël ayant des cadeaux à distribuer dans des chaussettes...

Pour nous reveiller commençons la semaine par une petite révision de calcul! Il s'agit d'un cours amusant et pas trop difficile. Il ne faut pas avoir la bosse de maths pour le réussir, juste un peu d'imagination. Tout le monde peut y participer, car on peut le faire avec le programme de mathématiques que nous avons tous appris à l'école. Voici donc ce petit cours de maths agrémenté de quelques exercices:

Leçon et questions: Maths pour les génies (cliquez)

C'est un document powerpoint — après l'avoir ouvert utilisez les flèches de votre clavier pour avancer.

Après quelques billets de maths, il est temps de polémiser un peu ;-) Voici un texte écrit par un collègue que j'ai rencontré recemment, Bertrand Rungaldier, professeur en PCSI au Lycée Janson-de-Sailly à Paris. On pourra le lire comme complément à l'article sur la désaffection des jeunes pour les filières scientifiques de Fabien Besnard.

Les Etats généraux des Mathématiques. Le constat est alarmant. Alors que le besoin de mathématiciens n’a jamais été aussi important, la France manque de mathématiciens ; pourquoi donc les jeunes scientifiques délaissent-ils les sciences dures et notamment les Mathématiques ? Ah, voilà une question qu’elle est bonne !!
Pour ce qui est de se poser la question, gageons qu’on va se la poser, mais pour ce qui est d’apporter un semblant de réponse…
Car les doctes qui se réunissent vont prendre soin de se mettre un bandeau noir sur les yeux, de se boucher les oreilles avec de la cire et de chausser des lunettes équipées de prismes pour ne surtout pas voir la réalité en face.

Car bien avant que de se poser la question « Pourquoi les jeunes scientifiques français rechignent-ils à devenir mathématicien ? » il conviendrait de se poser à soi même la simple question « Pourquoi moi-même, j’ai choisi de faire des Mathématiques ? »
Je fais ici le pari qu’on ne posera jamais cette question car si la question fâche, la réponse tue ! S’imagine-t-on vraiment que la réponse pourrait être « parce que les mathématiques c’est utile à la vie ! » ? Peuvent-ils vraiment croire une seule seconde qu’on choisit de se lancer dans une discipline de l’extrême, et les mathématiques pures en sont une à leur façon, parce que « ça sert » ? Ou parce qu’en tant que lycéen démocrate j’ai choisi de faire des Mathématiques citoyennes et de lutter contre les inégalités de convexité ou des accroissements finis !

NON ! On se lance dans de pareilles études aussi difficiles et sélectives parce qu’on a été ébloui, émerveillé par un cours, un professeur ou un devoir en classe ou à la maison. Parce qu’à cette occasion on a vu un feu d’artifice intellectuel de concepts et de raisonnements et qu’on a été frappé par la grâce comme Saül ou par une flèche de Cupidon mais en tous cas parce qu’on a trouvé ça beau.
Alors posons maintenant la question qui tue : Croyez vous vraiment messieurs les doctes que les programmes actuels aient de quoi toucher, émerveiller et éveiller des vocations ? Cela fait vingt ans que les programmes de lycée et de collège sont vidés de leur contenus pour, disent les Inspecteurs Généraux, inciter les élèves à « faire des études scientifiques ». Et depuis vingt ans que c’est le contraire qui se produit. Plus les programmes se vident et moins il y a d’élèves voulant devenir scientifique.

Tandis que nous abaissons, que dis-je, que nous aplatissons le niveau d’exigence l’Inde ou la Chine elles augmentent le leur. Et plus elles l’augmentent et plus il y a de candidats. Etonnant non ?
Dans les années 1970-80 il y avait à peine 25000 bacheliers C par an dont presque 10.000 se lançait dans les sciences dures. Aujourd’hui ce ne sont pas moins de 125.000 à 130.000 bacheliers déclarés « scientifiques » qui quittent le lycée, et alors… les amphithéâtres de Mathématiques se vident peu à peu. Voilà la réalité.
Tant qu’à faire, pourquoi ne pas organiser une grande « tombola scientifique » : « Devenez scientifique en participant à notre jeux concours ! » On pourrait ainsi décréter 200.000 jeunes gens scientifiques chaque année. Et en moins de 10 ans il n’y aurait plus du tout d’étudiants en sciences et cela permettrait de faire des économies.

On ne devient pas alpiniste en contemplant les steppes d’Asie centrales. On devient alpiniste en regardant des sommets couronnés de blanc avec le ciel bleu sombre au dessus et le soleil et qu’on se dit « Je veux monter la haut ! ». On ne devient pas pilote de catamarans de course au large en faisant du pédalo sur un étang « parce que c’est ludique », mais en regardant la mer, déchaînée, et qu’on est aspiré par l’immensité des forces de la nature.
On ne devient pas virtuose parce qu’on a téléchargé « Au clair de la lune » joué au tam-tam sur son portable, mais parce qu’on a écouté Czyfra jouer les Etudes d’Execution Transcendantes de Liszt ou Evgeni Kissin jouer l’Appassionata ou Glenn Gould jouer des partitas de Bach. Voilà qui motive et qui peut éveiller des vocations.

Alors quand on ouvre un livre de TS de mathématiques avec ses 450 pages de « Pour prendre un bon départ », « Un peu d’histoire », « Ce qu’il faut retenir », « L’Essentiel du cours », « Travaux Dirigés », « C’est nouveau au BAC », « A quoi ça sert ? », « Exercice corrigés », « Comment utiliser le cours », « Problèmes corrigés », « Réfléchissons », « Approfondir », et pourquoi pas « Mickey et les intégrales » ou « relie les points et devine où est caché Pluto » ; où l’on découvre par hasard trois pages d’un pseudo cours avec de vagues recettes sans la moindre démonstration rigoureuse (ça ne sert à rien or « Les Maths c’est utile ! »), sans définitions précises (parce que c’est trop abstrait), sans concept (parce que c’est « élitiste »), tout cela dans un déluge de bleu, de vert, de rouge, de jaune de photos et de dessins et bientôt sans doute des pages qui clignoteront et qui feront « pin-pon » quand on les ouvre ou bien qui téléchargeront un tube sur internet parce que « c’est plus motivant pour les élèves »… alors, si l’on a réussi à se retenir de pleurer on se dit qu’à moins d’avoir des parents eux-mêmes mathématiciens, un adolescent aujourd’hui n’a aucune chance d’être un jour un tant soit peu émerveillé par les Mathématiques.

450 pages de livre et misérablement 50 pages de cours quand j’avais 1200 pages de livre et 600 pages de cours le tout avec seulement 3 heures de mathématiques en plus. 50% d’horaire en plus mais dix fois plus de connaissance. Il y avait de quoi être motivé. Et quand on me rétorque « toi, oui mais moi je n’aimais pas vraiment les maths » je réponds « alors que faisais-tu en TC ? » et là silence !

Pourquoi moi, ai-je voulu faire des mathématiques ? Parce que j’ai été ébloui par un devoir sur le groupe des fonctions arithmétiques, parce qu’en fin de premier trimestre de Maths Sup j’ai pu m’acheter le livre Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel. Et Pourquoi ? Croyez-vous que j’avais l’âme d’un matheux ? Peut-être… mais à coup sûr parce que j’avais des connaissances qui me permettaient de mettre le nez dedans et de trouver ça beau : extension de corps, anneau, quotient, idéal premier, maximal, anneau quotient, factorisation canonique j’en passe et des meilleurs. Toutes ces connaissances qui m’ont motivé qui m’ont ébloui (moi et sans nulle doute bien d’autres) un élève de prépa rentre aujourd’hui rue d’Ulm sans en avoir la moindre trace !

Comment s’étonner qu’il n’y ait plus d’étudiant en géométrie algébrique, LA spécialité française, alors qu’un étudiant arrive en L3 sans jamais avoir vu autre chose comme espace topologique que des « parties d’un evn » tandis que de mon coté, après deux mois de Maths Sup, j’avais déjà vu des points ouverts et le fait qu’un espace était séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.
Croit-on que l’on va inciter des étudiants à faire de la cohomologie avec un programme d’algèbre linéaire qui stipule « l’accent devra être mis sur le calcul matriciel », chose utile mais tellement « bovine » qu’elle est justement utilisée dans les ordinateurs. Doit-on rappeler aux zigés qu’un cerveau n’est pas fait en silicium et que ce qui sert à l’un est très précisément ce qui démotive l’autre ?

La vacuité des programmes de Mathématiques de lycée n’a d’égale que celle du grand vide de la constellation d’Eridan. Les sinistres crétins de l’Inspection Générale ont été jusqu’à vouloir supprimer toute la géométrie dans les nouveaux programmes de seconde. Il a fallu un tollé de la part des professeurs pour que le reste d’un embryon de géométrie soit maintenu.
« Les cons, ça osent tout, c’est même à ça qu’on les reconnaît » dit le film, et bien on a osé inscrire au programme de PCSI l’algorithme d’Euclide des polynômes (qui est une horreur) alors que les notions de PGCD et de polynôme premiers entre eux (à quoi sert précisément cet algorithme) sont hors programme ! Bref, il y a à l’heure actuelle au programme un algorithme compliqué dont le résultat est hors programme. Bref, un algorithme qui officiellement ne sert à rien !

Les programmes sont aujourd’hui tellement stupides, tellement vides, tellement insipides que Laurent Lafforgue s’il les avait eu serait sans doute entré à Solesmes pour pouvoir fréquenter un peu l’infini qu’il a pu trouver dans les EGA et dans Grothendieck.
Il faut parler un minimum l’allemand si l’on veut apprécier celui de Goethe. On pourra faire tous les films et toutes les animations sur le sage de Weimar ce n’est pas comme cela qu’on motivera réellement des étudiants. Oh certes ils diront « c’était très intéressant » mais c’en restera là. Ce n’est pas ainsi qu’on les motivera pour étudier le Faust. C’est plutôt en leur donnant un minimum de vraies connaissances.

Tous ces efforts de vulgarisations sont certes louables mais force est de constater qu’il ne fonctionnent pas et cela parce que le niveau de connaissance est tellement loin du minimum que cela fait le même effet à un élève que si on lui récitait le Mahabaratha en sanscrit. On pourrait tout aussi bien lancer une campagne de promotion avec des pom-pom girl parcourant les TS de France en scandant « Vive les maths, vive les maths, Oui, oui, oui ! » ou encore « On est foot des Maths » avec Zinedine Zidane. Cela n’y changera rien. On donne le goût de quelque chose en la faisant goûter...
A vouloir à n’importe quel prix et par pure démagogie, faire des « scientifiques » qui n’en sont pas, on a écœuré tous ceux qui étaient susceptibles de le devenir. Oh certes il restera bien quelques fils et filles de mathématiciens qui seront brillantissimes. Ce seront les arbres qui cachent le désert. La France aura peut-être encore quelques médailles Fields car celles-ci récompensent des gens d’exception, hasards de la génétiques. Mais derrière ces arbres il n’y aura plus que des dunes de sable très mou.

Lorsque parfois l’on s’exclame « mais pourquoi supprimer tel ou tel pan de programme susceptible de motiver des élèves » la réponse est toujours : « ça ne sert à rien et ceux qui aiment les mathématiques pourront apprendre cela plus tard ». Et bien non ! Ils ne l’apprennent pas ni plus tard ni jamais parce qu’ils n’éprouvent aucune envie d’étudier des choses aussi ennuyeuses et qu’ils ignorent même qu’il puisse exister des choses passionnantes.
Le cas des Mathématiques est à ce titre particulier car la matière ne peut pas se vulgariser sans se livrer à une dénaturation telle qu’il ne reste rien de la chose même. Or l’absence de connaissance n’est pas une motivation pour en acquérir. Pour motiver des adolescents à se lancer dans les Mathématioques il faudrait des programme de Lycée difficile, abstrait sélectif. Précisément ce que font Chinois, Indiens, Russes qui oh miracle ! ont des étudiants à ne savoir où les mettre.

Ci gît l’Ecole Mathématiques Française, trahie et exterminée par un Ministère qui aurait dû la défendre.

(Auteur : Bertrand Rungaldier, professeur de prépa au Lycée Janson-de-Sailly)

Aujourd'hui j'ai reçu cet email d'un collègue dont je dois taire le nom car il habite dans le spectre d'un "corps" à un élément :

\begin{lamentations}
J'ai enfin découvert le chaînon manquant entre le buse et l'évier : un élève dont je dois taire le nom a réussi écrire « ln(-1) » à 4 reprises dans sa copie !
\end{lamentations}

Lorsque nous enseignants corrigeons des copies d'examen en première ou deuxième année à l'université ou dans une école d'ingénieurs, très souvent nous nous arrachons les cheveux. Nous ne comprenons pas pourquoi les étudiants n'arrivent pas à refaire des exercices semblables à ceux qu'on a traités en TD ; ou pourquoi ils n'arrivent pas à faire des raisonnements simples.

Evidemment pour une grande partie le responsable de cet échec est le système de l'enseignement secondaire et primaire qui, en cherchant la facilité du zapping sans apprentissage des connaissances fondamentales, fait que dans l'enseignement supérieur on construit sur du sable. Mais comme nous n'y pouvons rien changer, il faut chercher à améliorer le système où nous intervenons, c'est-à-dire l'enseignement supérieur, et le rendre plus efficace.

Ayant fait une partie de mes études en Allemagne je vais proposer une idée inspirée du système universitaire allemand. D'ailleurs ce système existe aussi dans les pays anglo-saxons. La photo suivante illustre la solution que je propose.

Etudiant de maths à l'université de Munich rendant l'un de ses d.m. hebdomadaires

Devoirs maisons notés

De quoi s'agit-il ? Il s'agit de devoirs maisons qui sont à rendre chaque semaine. Vous allez répondre : Mais qui est-ce qui va corriger tout ça ? Dans un amphi il peut bien avoir 150 à 200 étudiants et souvent il y a deux ou trois amphis, ça fait donc beaucoup de copies par semaine ! Les profs aux universités allemandes passent-ils leur nuits à corriger des copies ? Dans une classe prépa française avec peu d'élèves, oui, ça peut fonctionner (et ça fonctionne avec un DM par mois environ), mais pas à l'université !
Evidemment on ne peut pas transposer le système des prépa à une système universitaire où les TD et cours sont souvent assurés par des vacataires. Car on aura du mal à recruter un vacataire qui corrige chaque semaine les devoirs maison de ses groupes de TD ; sans augmentation sensible de sa paye il ne le fera pas.

L'étudiant Korrektor ou Grader

Donc qui est-ce qui va corriger toutes ces copies pour un salaire correct ? Les universités allemandes et américaines nous donnent l'exemple, ils font de l'outsourcing, en confiant ce travail à un personnel moins qualifié et donc moins coûteux : des étudiants de 3^e ou 4^e année. Ces Korrektoren ou graders sélectionnés, même s'ils n'ont pas forcément le niveau nécessaire pour enseigner, sont bien capables de corriger les copies suivant les instructions et le barême imposé par le professeur responsable du cours. La rémunération est certainement plus basse que celle qu'on devrait payer à un docteur ou agrégé.

Organisation

Chaque semaine les copies sont à rendre avant une heure et un jour fixe. Le correcteur les corrige et les rend une semaine plus tard. La note des devoirs maison peut être intégrée dans la moyenne générale (avec un faible coefficient pour ne pas inciter à la tricherie). Dans l'examen final certains exercices pourraient être inspirés des DM.
Les solutions des exercices des DM sont exposées dans des séances de correction qui remplacent les actuels séances de TD. On peut rentrer dans le sens même des exercices car le temps d'assimilation de l'énoncé n'est plus pris sur le temps de la séance.
D'ailleurs on pourrait encourager le travail en groupe en autorisant de rendre une seule copie par binôme (cela diminuerait aussi le coût ce correction). Je sais de mes propres études que j'ai beaucoup appris à travailler à deux ou à trois sur un DM.

Avantages

1. Contrôle régulier des acquis. Dans le système français actuel l'étudiant est censé de préparer son exercice à la maison avant le TD ; or dans la séance de TD ce n'est pas lui, mais le professeur ou un autre étudiant, qui expose la solution, et donc le travail de l'étudiant ne sera jamais controlé. Il n'y a simplement pas le temps pour contrôler tous. Après quelques semaines, l'étudiant cesse de préparer ses exercices ou il le fait avec une rédaction peu complète.
   Seulement des devoirs maison corrigés garantissent un travail complet et régulier.

2. Apprentissage de la rédaction. Un débutant en mathématiques apprend à rédiger et raisonner clairement seulement si on le corrige. Quand j'étais moi-même étudiant en première année je n'aurais jamais appris à bien rédiger si je n'avais pas su que ce que j'écrivais serait lu par un correcteur.

3. Gratification. Je dis souvent que les mathématiques sont une sorte de masturbation mentale... mais masturbation fertile ! Si on veut que les étudiants aiment les maths au moins un tout petit peu, il faut leur donner la chance de la découverte. Or dans le système actuel des TD (où on ne contrôle pas le travail de tous) l'étudiant moyen ne prépare pas ses exos. Dans la séance de TD il n'a jamais le temps de trouver le truc, il y aura toujours quelqu'un autre avant lui, le professeur ou un étudiant très fort, qui présente la solution. Cela prive l'étudiant du plaisir que peuvent donner les mathématiques car il n'est jamais récompensé par le sentiment d'avoir trouvé le truc lui-même.

4. Augmenter l'autonomie des étudiants. De la même manière que vous ne trouvez personne qui a appris à jouer au piano en allant au concert, on peut dire que les mathematiques passives n'existent pas. Or dans une séance de TD peu de temps est laissé au travail de chaque élève. Il est évident que les DM augmentent la capacité de travail autonome. Le jour d'un examen l'étudiant se trouve seul devant sa feuille, il ne peut pas poser une question à son professeur de TD. Avec les devoirs maison il se prépare mieux à cette situation.

5. Le labo de maths, c'est la tête. Pour des sciences expérimentales comme la physique, la chimie, la biologie, les séances de TP en laboratoire sont essentielles. En mathématiques c'est la tête qui joue le rôle de laboratoire. Et quelque fois vaut mieux que l'enseignant reste loin et laisse le temps aux expériences de fermir dans la tête de l'étudiant. C'est comme avec un élève de violon qui pratique, quelque fois vaut mieux ne pas être à côté...

6. Approfondir les connaissances, inciter à l'esprit de recherche. Dans une séance de TD du système actuel on ne peut jamais poser de vrais problèmes intéressants qui demandent un peu de temps de refléxion. On se restreint souvent à des exercices d'application de quelques recettes et si on fait un exo plus intéressant on n'a pas le temps de laisser chercher tous les élèves. Or dans une feuille de DM on peut aussi donner quelques exercices qui demandent un peu plus de recherche.

7. Recruter des futurs enseignants ou chercheurs. Les étudiants en 3^e ou 4^e année sélectionnés et payés pour être correcteurs font ainsi leurs premières expériences dans une équipe pédagogique de l'enseignement supérieur. Ce point peut enrichir leur CV. On pourrait également valoriser ce travail dans leur cursus d'études.

8. Démystifier la réussite. Les étudiants correcteurs en 3^e ou 4^e année serviront de bon exemple aux étudiants de 1^ère ou 2^e année et montrent qu'il est bien possible de réussir.

9. Economiser de l'argent en augmentant le niveau. Vu que les actuels séances de TD n'existeraient plus et céderaient la place à des séances de correction de d.m. on peut les faire en groupes plus grands. En plus, inutile de dépenser de l'argent dans des cours de mise à niveau que certains établissement font ; car on peut faire autant de cours de mise à niveau qu'on veut — si les étudiants ne travaillent pas chez eux, c'est du temps et de l'argent perdu.

Voilà donc mes idées d'Outre-Rhin. Ca marche très bien là-bas, je vous assure. Pourquoi ne pas l'essayer ici ?

On pourra aussi lire un billet et un autre sur thème, écrit par un collègue en physique.

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

Ajourd'hui quelques lignes pour illustrer que le cerveau n'est pas le seul organe actif des matheux...

Comment "le font"-ils ?

• Les topologistes le font discrètement.
• Les topologistes le font de manière ouverte.
• Les topologistes le font avec du caoutchouc.
• Les couples de topologistes le font en se rendant connexes.
• (les logiciens le font) ou NON (les logiciens le font).
• Les algébristes le font en groupe ou en anneau.
• Les algébristes le font avec leur corps.
• Les algébristes le font associativement.
• Les algébristes le font en s'inversant.
• Les algébristes le font en se multipliant.
• Les analystes le font continûment.
• Les analystes le font sur un support compact.
• Les experts en théorie de la mesure le font presque partout.
• Les experts en équations différentielles le font suivant les conditions initiales.
• Les experts en théorie des ensembles le font avec application.
• Les experts en combinatoire le font de toutes les manières possibles.
• Les mathématiciens le font une infinité de fois s'il peuvent le faire une fois et ensuite une fois de plus.

Comment "le faisaient" les grands ?

• Cantor le faisait en diagonale.
• Fermat essayait de le faire dans la marge mais n'avait pas assez de place.
• Galois l'a fait la nuit juste avant.
• Möbius le faisait toujours du même côté.
• Klein l'avait simultanément dedans et dehors.
• Cauchy le faisait avec un ami (Schwarz, Lipschitz, Riemann).
• Markov le faisait à la chaîne.
• Archimède le faisait dans sa baignoire.
• Newton tomba dans les pommes.
• Bourbaki le faisait dans un cas particulier du théorème 10.2.5 en utilisant subtilement le lemme 7.3.2.

Deux contrepèteries

• Nul n'est jamais assez fort pour ce calcul !
• Mon prof de maths a montré Bézout.

Une réciproque
The duchess: "Excuse me that I am late, but I was so fucking busy and vice versa."

Recommandation bibilographique : Ces blagues m'ont été envoyées par email au fil des années. Mais il existe même des livres sur ce sujet. Le lecteur qui souhaite s'y approfondir se plonger avec profit dans l'ouvrage de référence Je fais des maths comme un(e) cochon(ne) de Gérard-Olivier Maitry publié en 2008.

Classer les gens

• Il y a trois sortes de gens au monde: ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas compter.
• Il y a deux sortes de gens au monde: ceux qui pensent que le monde peut être divisé en deux sortes de gens et ceux qui pensent que ce n'est pas possible.
• Il y a 10 sortes de gens au monde: ceux qui comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas.

Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?

• Aucun. C'est laissé au lecteur en exercice.
• Aucun. Un mathématicien ne peut pas changer une ampoule, mais il peut prouver que cela est faisable.
• Un. Il la donne à un physicien et ramène ainsi le problème à un problème précédemment résolu.
• La solution est triviale.
• Un seul, une fois que vous avez réussi à lui présenter le problème dans des termes qu'il peut comprendre.

Combien faut-il d'analystes pour changer une ampoule ?
Trois. Un pour prouver l'existence, un pour prouver l'unicité et un pour déterminer les condtions initiales.

Combien faut-il d'analystes numériques pour changer une ampoule ?
3,9967 (après six itérations)

Combien faut-il de mathématiciens constructivistes pour changer une ampoule ?
Aucun. Ils ne croient pas au rotations infinitésimales.

Combien faut-il de géomètres classiques pour changer une ampoule ?
Cela ne peut pas être fait à la règle et au compas.

Combien faut-il de topologistes pour changer une ampoule ?
Un seul. Mais que fait-il du beignet ??

Combien faut-il de Bourbakistes pour changer une ampoule ?
Changer une ampoule est un cas particulier d'un problème plus général concernant l'entretien et la réparation d'un système électrique. Pour déterminer un minorant et un majorant du nombre de personnes nécessaires, nous devons vérifier si les conditions du lemme 2.1 (disponibilité du personnel) et ceux du corollaire 2.3.55 (motivation du personnel) sont vérifiées. Si et seulement si ces conditions sont réunies, on obtient le résultat en appliquant le théorème de la section 3.11.23. Le majorant obtenu est, bien sûr, à prendre en compte dans un espace mesuré, muni de la topologie *-faible.

Voici deux figures :       $  $  $  $       et       o  o  o  o .

Question :  Qu'ont-elles en commun ?   Réponse :  4.

Ce qui nous paraît évident ne l'est pas pour tout le monde. Mon ami Nik est parti un an enseigner dans une université à Tokio. C'est une période assez longue pour tenter d'apprendre le japonais ; mais ce n'est pas une langue comme les autres ! Normalement l'une des premières choses qu'on fait dans une langue étrangère, c'est apprendre à compter. Or compter en japonais n'est pas pour les débutants, c'est réservé aux avancés car on compte avec des nombres différents, selon le type d'objet.

A la base il y a deux façons de compter 1, 2, 3,... , à savoir ichi, ni, san, yon, go,... ou hito, futa, mi, yo,... — plus précisément il faut faire les distinctions suivantes :

• des objets longs et fins (parapluies, crayons) :   ippon, nibon, sanbon,...
• des objets plats (feuilles, tickets) :   ichi-mai, nimai, sanmai,...
• des étages d'un immeuble :   ikkai, nikai, sankai,...
• les mois :   ichi-gatsu, ni-gatsu, san-gatsu,...
• les jours dans le mois :   tsuitachi, futsuka, mikka, yokka,...
• des personnes :   hitari, futari, san-nin, yon-nin,...
• des liquides (bières pression) :   hitotsu, futatsu, mittsu, yotsu,...

Peut-être il y a là un rélique d'une époque lointaine où on comptait encore sans avoir une idée abstraite de la notion de nombre. Savoir compter et faire abstraction des objets qu'on compte, c'est quelque chose qu'on n'invente pas, on l'apprend. C'est, comme l'invention de la roue, une acquisition culturelle : il suffit qu'une seule fois un seul humain ait l'idée puis ça se répand et se transmet de génération en génération.

L'histoire des mathématiques est pleine d'exemples de concepts simples et basiques qui ont pris des siècles pour être découverts — pourtant, expliqués clairement, ils sont compréhensibles par tous. C'est pourquoi on pourrait attendre en vain qu'un élève invente lui-même les outils nécessaires pour résoudre un problème...