Le fait que

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose

X = 0,99999...

Alors on a l'égalité

10X = 9,99999...

dont on soustrait la première,

9X = 9,00000...

D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on part de

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1.   CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

Après quelques billets de maths, il est temps de polémiser un peu ;-) Voici un texte écrit par un collègue que j'ai rencontré recemment, Bertrand Rungaldier, professeur en PCSI au Lycée Janson-de-Sailly à Paris. On pourra le lire comme complément à l'article sur la désaffection des jeunes pour les filières scientifiques de Fabien Besnard.

Les Etats généraux des Mathématiques. Le constat est alarmant. Alors que le besoin de mathématiciens n’a jamais été aussi important, la France manque de mathématiciens ; pourquoi donc les jeunes scientifiques délaissent-ils les sciences dures et notamment les Mathématiques ? Ah, voilà une question qu’elle est bonne !!
Pour ce qui est de se poser la question, gageons qu’on va se la poser, mais pour ce qui est d’apporter un semblant de réponse…
Car les doctes qui se réunissent vont prendre soin de se mettre un bandeau noir sur les yeux, de se boucher les oreilles avec de la cire et de chausser des lunettes équipées de prismes pour ne surtout pas voir la réalité en face.

Car bien avant que de se poser la question « Pourquoi les jeunes scientifiques français rechignent-ils à devenir mathématicien ? » il conviendrait de se poser à soi même la simple question « Pourquoi moi-même, j’ai choisi de faire des Mathématiques ? »
Je fais ici le pari qu’on ne posera jamais cette question car si la question fâche, la réponse tue ! S’imagine-t-on vraiment que la réponse pourrait être « parce que les mathématiques c’est utile à la vie ! » ? Peuvent-ils vraiment croire une seule seconde qu’on choisit de se lancer dans une discipline de l’extrême, et les mathématiques pures en sont une à leur façon, parce que « ça sert » ? Ou parce qu’en tant que lycéen démocrate j’ai choisi de faire des Mathématiques citoyennes et de lutter contre les inégalités de convexité ou des accroissements finis !

NON ! On se lance dans de pareilles études aussi difficiles et sélectives parce qu’on a été ébloui, émerveillé par un cours, un professeur ou un devoir en classe ou à la maison. Parce qu’à cette occasion on a vu un feu d’artifice intellectuel de concepts et de raisonnements et qu’on a été frappé par la grâce comme Saül ou par une flèche de Cupidon mais en tous cas parce qu’on a trouvé ça beau.
Alors posons maintenant la question qui tue : Croyez vous vraiment messieurs les doctes que les programmes actuels aient de quoi toucher, émerveiller et éveiller des vocations ? Cela fait vingt ans que les programmes de lycée et de collège sont vidés de leur contenus pour, disent les Inspecteurs Généraux, inciter les élèves à « faire des études scientifiques ». Et depuis vingt ans que c’est le contraire qui se produit. Plus les programmes se vident et moins il y a d’élèves voulant devenir scientifique.

Tandis que nous abaissons, que dis-je, que nous aplatissons le niveau d’exigence l’Inde ou la Chine elles augmentent le leur. Et plus elles l’augmentent et plus il y a de candidats. Etonnant non ?
Dans les années 1970-80 il y avait à peine 25000 bacheliers C par an dont presque 10.000 se lançait dans les sciences dures. Aujourd’hui ce ne sont pas moins de 125.000 à 130.000 bacheliers déclarés « scientifiques » qui quittent le lycée, et alors… les amphithéâtres de Mathématiques se vident peu à peu. Voilà la réalité.
Tant qu’à faire, pourquoi ne pas organiser une grande « tombola scientifique » : « Devenez scientifique en participant à notre jeux concours ! » On pourrait ainsi décréter 200.000 jeunes gens scientifiques chaque année. Et en moins de 10 ans il n’y aurait plus du tout d’étudiants en sciences et cela permettrait de faire des économies.

On ne devient pas alpiniste en contemplant les steppes d’Asie centrales. On devient alpiniste en regardant des sommets couronnés de blanc avec le ciel bleu sombre au dessus et le soleil et qu’on se dit « Je veux monter la haut ! ». On ne devient pas pilote de catamarans de course au large en faisant du pédalo sur un étang « parce que c’est ludique », mais en regardant la mer, déchaînée, et qu’on est aspiré par l’immensité des forces de la nature.
On ne devient pas virtuose parce qu’on a téléchargé « Au clair de la lune » joué au tam-tam sur son portable, mais parce qu’on a écouté Czyfra jouer les Etudes d’Execution Transcendantes de Liszt ou Evgeni Kissin jouer l’Appassionata ou Glenn Gould jouer des partitas de Bach. Voilà qui motive et qui peut éveiller des vocations.

Alors quand on ouvre un livre de TS de mathématiques avec ses 450 pages de « Pour prendre un bon départ », « Un peu d’histoire », « Ce qu’il faut retenir », « L’Essentiel du cours », « Travaux Dirigés », « C’est nouveau au BAC », « A quoi ça sert ? », « Exercice corrigés », « Comment utiliser le cours », « Problèmes corrigés », « Réfléchissons », « Approfondir », et pourquoi pas « Mickey et les intégrales » ou « relie les points et devine où est caché Pluto » ; où l’on découvre par hasard trois pages d’un pseudo cours avec de vagues recettes sans la moindre démonstration rigoureuse (ça ne sert à rien or « Les Maths c’est utile ! »), sans définitions précises (parce que c’est trop abstrait), sans concept (parce que c’est « élitiste »), tout cela dans un déluge de bleu, de vert, de rouge, de jaune de photos et de dessins et bientôt sans doute des pages qui clignoteront et qui feront « pin-pon » quand on les ouvre ou bien qui téléchargeront un tube sur internet parce que « c’est plus motivant pour les élèves »… alors, si l’on a réussi à se retenir de pleurer on se dit qu’à moins d’avoir des parents eux-mêmes mathématiciens, un adolescent aujourd’hui n’a aucune chance d’être un jour un tant soit peu émerveillé par les Mathématiques.

450 pages de livre et misérablement 50 pages de cours quand j’avais 1200 pages de livre et 600 pages de cours le tout avec seulement 3 heures de mathématiques en plus. 50% d’horaire en plus mais dix fois plus de connaissance. Il y avait de quoi être motivé. Et quand on me rétorque « toi, oui mais moi je n’aimais pas vraiment les maths » je réponds « alors que faisais-tu en TC ? » et là silence !

Pourquoi moi, ai-je voulu faire des mathématiques ? Parce que j’ai été ébloui par un devoir sur le groupe des fonctions arithmétiques, parce qu’en fin de premier trimestre de Maths Sup j’ai pu m’acheter le livre Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel. Et Pourquoi ? Croyez-vous que j’avais l’âme d’un matheux ? Peut-être… mais à coup sûr parce que j’avais des connaissances qui me permettaient de mettre le nez dedans et de trouver ça beau : extension de corps, anneau, quotient, idéal premier, maximal, anneau quotient, factorisation canonique j’en passe et des meilleurs. Toutes ces connaissances qui m’ont motivé qui m’ont ébloui (moi et sans nulle doute bien d’autres) un élève de prépa rentre aujourd’hui rue d’Ulm sans en avoir la moindre trace !

Comment s’étonner qu’il n’y ait plus d’étudiant en géométrie algébrique, LA spécialité française, alors qu’un étudiant arrive en L3 sans jamais avoir vu autre chose comme espace topologique que des « parties d’un evn » tandis que de mon coté, après deux mois de Maths Sup, j’avais déjà vu des points ouverts et le fait qu’un espace était séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.
Croit-on que l’on va inciter des étudiants à faire de la cohomologie avec un programme d’algèbre linéaire qui stipule « l’accent devra être mis sur le calcul matriciel », chose utile mais tellement « bovine » qu’elle est justement utilisée dans les ordinateurs. Doit-on rappeler aux zigés qu’un cerveau n’est pas fait en silicium et que ce qui sert à l’un est très précisément ce qui démotive l’autre ?

La vacuité des programmes de Mathématiques de lycée n’a d’égale que celle du grand vide de la constellation d’Eridan. Les sinistres crétins de l’Inspection Générale ont été jusqu’à vouloir supprimer toute la géométrie dans les nouveaux programmes de seconde. Il a fallu un tollé de la part des professeurs pour que le reste d’un embryon de géométrie soit maintenu.
« Les cons, ça osent tout, c’est même à ça qu’on les reconnaît » dit le film, et bien on a osé inscrire au programme de PCSI l’algorithme d’Euclide des polynômes (qui est une horreur) alors que les notions de PGCD et de polynôme premiers entre eux (à quoi sert précisément cet algorithme) sont hors programme ! Bref, il y a à l’heure actuelle au programme un algorithme compliqué dont le résultat est hors programme. Bref, un algorithme qui officiellement ne sert à rien !

Les programmes sont aujourd’hui tellement stupides, tellement vides, tellement insipides que Laurent Lafforgue s’il les avait eu serait sans doute entré à Solesmes pour pouvoir fréquenter un peu l’infini qu’il a pu trouver dans les EGA et dans Grothendieck.
Il faut parler un minimum l’allemand si l’on veut apprécier celui de Goethe. On pourra faire tous les films et toutes les animations sur le sage de Weimar ce n’est pas comme cela qu’on motivera réellement des étudiants. Oh certes ils diront « c’était très intéressant » mais c’en restera là. Ce n’est pas ainsi qu’on les motivera pour étudier le Faust. C’est plutôt en leur donnant un minimum de vraies connaissances.

Tous ces efforts de vulgarisations sont certes louables mais force est de constater qu’il ne fonctionnent pas et cela parce que le niveau de connaissance est tellement loin du minimum que cela fait le même effet à un élève que si on lui récitait le Mahabaratha en sanscrit. On pourrait tout aussi bien lancer une campagne de promotion avec des pom-pom girl parcourant les TS de France en scandant « Vive les maths, vive les maths, Oui, oui, oui ! » ou encore « On est foot des Maths » avec Zinedine Zidane. Cela n’y changera rien. On donne le goût de quelque chose en la faisant goûter...
A vouloir à n’importe quel prix et par pure démagogie, faire des « scientifiques » qui n’en sont pas, on a écœuré tous ceux qui étaient susceptibles de le devenir. Oh certes il restera bien quelques fils et filles de mathématiciens qui seront brillantissimes. Ce seront les arbres qui cachent le désert. La France aura peut-être encore quelques médailles Fields car celles-ci récompensent des gens d’exception, hasards de la génétiques. Mais derrière ces arbres il n’y aura plus que des dunes de sable très mou.

Lorsque parfois l’on s’exclame « mais pourquoi supprimer tel ou tel pan de programme susceptible de motiver des élèves » la réponse est toujours : « ça ne sert à rien et ceux qui aiment les mathématiques pourront apprendre cela plus tard ». Et bien non ! Ils ne l’apprennent pas ni plus tard ni jamais parce qu’ils n’éprouvent aucune envie d’étudier des choses aussi ennuyeuses et qu’ils ignorent même qu’il puisse exister des choses passionnantes.
Le cas des Mathématiques est à ce titre particulier car la matière ne peut pas se vulgariser sans se livrer à une dénaturation telle qu’il ne reste rien de la chose même. Or l’absence de connaissance n’est pas une motivation pour en acquérir. Pour motiver des adolescents à se lancer dans les Mathématioques il faudrait des programme de Lycée difficile, abstrait sélectif. Précisément ce que font Chinois, Indiens, Russes qui oh miracle ! ont des étudiants à ne savoir où les mettre.

Ci gît l’Ecole Mathématiques Française, trahie et exterminée par un Ministère qui aurait dû la défendre.

(Auteur : Bertrand Rungaldier, professeur de prépa au Lycée Janson-de-Sailly)

Dans mon dernier billet sur l'enseignement des mathématiques je parlais du système américain et allemand des devoirs maison hébdomadaires. Je me félicite du succès de ce billet : en effet, les responsables de l'enseignement des maths en cycle préparatoire à l'école d'ingénieurs Estaca l'ont lu et ont décidé la mise en place de ce système à partir de la rentrée prochaine.

Aujourd'hui j'aimerais parler d'une autre idée pour rendre plus efficace le contrôle des acquis des étudiants : les questionnaires à choix multiples. Traditionnellement nous, les matheux, nous n'aimons pas les QCM. Nous considérons les mathématiques comme une sorte d'art où le chemin du raisonnement choisi et la grâce avec laquelle on danse sur ce chemin, c'est-à-dire le style de rédaction, sont aussi importants que le résultat à trouver. Et cela ne peut pas être évalué par un QCM. — C'est vrai. Or quand nous corrigeons les partiels en premier cycle nous faisons souvent l'expérience que très peu d'étudiants savent rédiger correctement une suite d'idées. Et la remarque suivante montre que ce phénomène perdure même dans les semestres supérieurs : L’utilisation des hypothèses données dans l’énoncé doit être signalée au moment opportun et non en vrac en début de question, afin de montrer l’articulation du raisonnement (extrait du rapport du jury de l'agrégation 2009).
Il y a donc un décalage entre nos attentes et les résultats. Et ce n'est pas étonnant car le système des TD actuel n'apprend une rédaction cohérente. Comme le professeur de TD ne peut pas contrôler l'écrit de chacun, les étudiants ne font que recopier une rédaction exemplaire au tableau — ce qui est déjà une bonne chose mais ne suffit point, ça serait comme si on voulait apprendre à jouer le violon en écoutant Gidon Kremer. On revient donc au problème déjà cité de l'efficacité des TD...

Alors à quoi bon d'évaluer les étudiants par des choses sur lesquelles ils n'ont pas eu l'occasion de s'entraîner ? J'ai donc décidé, pour ma part, de faire désormais l'évaluation en forme de QCM (dans les établissements qui n'ont pas mis en place un système de correction de devoirs maison). Mon premier tel examen 100% QCM peut être consulté ici.

Quelles sont les compétences mathématiques qu'on peut évaluer par un QCM ? A mon avis, un bon pourcentage des méthodes au programme d'un premier cycle en école d'ingénieur ou en tronc commun de L1 : dériver, intégrer, systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, etc. D'après ce que j'ai vu c'est déjà suffisant pour trier les bons et les mauvais étudiants ;-)

Recherche de collaborateurs

Maintenant je viens avec une proposition concrète : qui a envie de participer à établir une base d'exercices en ligne en forme de QCM ? Qui est-ce qui a déjà de l'expérience en ce domaine (peut-être avec WIMS) et souhaite la partager ? L'idée serait la suivante.

• Une grande base de questions serait disponibles en ligne pour que les étudiants puissent s'entraîner chez eux.
• Une autre partie de questions serait reservée aux épreuves que les étudiants passent dans les salles d'ordinateur le jour de l'examen.
• Les résultats étant calculés automatiquement il n'y aura plus de travail de correction ni erreur d'évaluation possible.
• Une fois la base d'exercices créée et assez grande, on peut la rentabiliser et organiser des évaluations très fréquentes...
• Les exercices ne devraient pas forcément être interactives, originales ou d'une grande valeur pédagogique en e-learning (comme souvent dans WIMS), car ils serviraient uniquement à évaluer, l'enseignement en TD restant inchangé.

Chers lecteurs, j'ai beaucoup apprécié les commentaires détaillés que vous avez laissés à mon dernier billet concernant la suppression de cours d'HG selon la réforme du lycée. Aujourd'hui je vais donner mon point de vue sur deux autres changements prévus par cette réforme : le recrutement.

Le premier point concerne l'attribution des postes. Dans un article du Monde on peut lire que l'Eduction Nationale modifie son mode de recrutement vers un système à l'anglo-saxonne ou à l'allemande. Le concours devient un examen à l'issue duquel les professeurs n'auront pas de poste assuré et devront postuler auprès des écoles, collèges ou lycées en fonction des besoins, comme dans une entreprise. Peut-être l'Education Nationale a fait de bonnes expériences avec son système de mouvement sur postes spécifiques et souhaite élargir ce concept à tous les postes.

Encore une fois, je trouve que c'est une bonne idée de récruter sur profil. En plus, le fait de poser candidature pour un certain poste implique automatiquement que l'enseignant sera plus motivé que s'il est nommé sur un poste qui souvent ne lui convient pas soit à cause de sa situation géographique soit à cause de son environnement. Au lieu de subir une affectation il doit agir et reste maître de son destin.

Autre avantage possible : le principe d'offre/demande pourra générer une plus juste rémunération car il est clair que certains postes ne trouveront aucun candidat, donc il faudra les rendre plus attractifs par des primes financières importantes ou des décharges horaires ! En effet, certains considèrent le système actuel comme injuste car les professeurs qui enseignent devant des classes plus agréables sont payés plus que leurs collègues. Dans cette vidéo des auditions sur le métier d'enseignant Philippe Meirieu dit à peu près ceci : Dans le passé la société avait besoin de professeurs en classes préparatoires et donc on a augmenté leur salaire. Aujourd'hui nous avons besoin de personnel dans des établissements difficiles, il faudrait maintenant faire un effort financier pour ces einseignants.
En fait, un professeur agrégé en prépa touche 50% plus pour chaque heure de cours avec sa classe. On justifie cette augmentation de salaire par une charge de travail plus importante en CPGE. Or on peut aussi argumenter — et c'est le point de Philippe Meirieu — que le temps de récupération du système nerveux d'un enseignant en collège difficile après un cours devant une bande d'adolescents de niveau très hétérogène est bien supérieure au temps de préparation de cours en prépa.
Ce qui amenerait à poser les enseignants de prépa devant le choix suivant : Soit vous gardez votre prépa mais avec le même salaire horaire que toute le monde ou bien vous prenez une classe de collège qui vous fait moins de travail. Combien vont choisir le collège ?

Le deuxième point de la réforme dont je veux parler ici c'est l'idée d'élever les niveaux des enseignants en les recrutant à bac + 5 contre bac + 3 aujourd'hui. Je pense que c'est une très mauvaise idée, au moins en mathématiques.

Déjà aujourd'hui l'Education Nationale ne dispose pas d'assez de postes qui nécessitent un niveau avancé de maths, alors pourquoi monter le niveau de recrutement ? A mon avis, il vaudrait mieux le baisser les exigences disciplinaires pour pouvoir recruter dans le vivier de profils dont les chefs d'établissement ont vraiment besoin. Et de quoi ont-ils besoin ? De personnages capables à tenir, garder et surveiller une classe. L'enseignement passe au second plan.

On a parfois l'impression que les critères de recrutement sont complètement découplés des missions confiées aux professeurs. Par exemple dans le rapport du jury de l'agrégation externe de mathématiques 2008 (page 52) on peut lire :

Signalons que la grande majorité des candidats ne sait pas faire la différence entre une bijection indéfiniment dérivable et un difféomorphisme.

En effet, c'est triste. Mais d'autre part Jean-Pierre Obin, inspecteur général de l'éducation nationale, dit clairement (voir vidéo ici) que les professeurs doivent s'occuper de l'éducation civique et morale des élèves. Et ceux qui connaissent les collèges d'aujourd'hui savent que cela représente 80% du temps et de l'énergie dépensés par un professeur. Le problème est alors trouver des fins connaisseurs de difféomorphismes qui sont aussi des éducateurs passionnés et charismatiques pour des élèves qui n'ont rien à voir avec les difféomorphismes. C'est un recrutement paradoxale...

Aujourd'hui j'ai reçu cet email d'un collègue dont je dois taire le nom car il habite dans le spectre d'un "corps" à un élément :

\begin{lamentations}
J'ai enfin découvert le chaînon manquant entre le buse et l'évier : un élève dont je dois taire le nom a réussi écrire « ln(-1) » à 4 reprises dans sa copie !
\end{lamentations}

Lorsque nous enseignants corrigeons des copies d'examen en première ou deuxième année à l'université ou dans une école d'ingénieurs, très souvent nous nous arrachons les cheveux. Nous ne comprenons pas pourquoi les étudiants n'arrivent pas à refaire des exercices semblables à ceux qu'on a traités en TD ; ou pourquoi ils n'arrivent pas à faire des raisonnements simples.

Evidemment pour une grande partie le responsable de cet échec est le système de l'enseignement secondaire et primaire qui, en cherchant la facilité du zapping sans apprentissage des connaissances fondamentales, fait que dans l'enseignement supérieur on construit sur du sable. Mais comme nous n'y pouvons rien changer, il faut chercher à améliorer le système où nous intervenons, c'est-à-dire l'enseignement supérieur, et le rendre plus efficace.

Ayant fait une partie de mes études en Allemagne je vais proposer une idée inspirée du système universitaire allemand. D'ailleurs ce système existe aussi dans les pays anglo-saxons. La photo suivante illustre la solution que je propose.

Etudiant de maths à l'université de Munich rendant l'un de ses d.m. hebdomadaires

Devoirs maisons notés

De quoi s'agit-il ? Il s'agit de devoirs maisons qui sont à rendre chaque semaine. Vous allez répondre : Mais qui est-ce qui va corriger tout ça ? Dans un amphi il peut bien avoir 150 à 200 étudiants et souvent il y a deux ou trois amphis, ça fait donc beaucoup de copies par semaine ! Les profs aux universités allemandes passent-ils leur nuits à corriger des copies ? Dans une classe prépa française avec peu d'élèves, oui, ça peut fonctionner (et ça fonctionne avec un DM par mois environ), mais pas à l'université !
Evidemment on ne peut pas transposer le système des prépa à une système universitaire où les TD et cours sont souvent assurés par des vacataires. Car on aura du mal à recruter un vacataire qui corrige chaque semaine les devoirs maison de ses groupes de TD ; sans augmentation sensible de sa paye il ne le fera pas.

L'étudiant Korrektor ou Grader

Donc qui est-ce qui va corriger toutes ces copies pour un salaire correct ? Les universités allemandes et américaines nous donnent l'exemple, ils font de l'outsourcing, en confiant ce travail à un personnel moins qualifié et donc moins coûteux : des étudiants de 3^e ou 4^e année. Ces Korrektoren ou graders sélectionnés, même s'ils n'ont pas forcément le niveau nécessaire pour enseigner, sont bien capables de corriger les copies suivant les instructions et le barême imposé par le professeur responsable du cours. La rémunération est certainement plus basse que celle qu'on devrait payer à un docteur ou agrégé.

Organisation

Chaque semaine les copies sont à rendre avant une heure et un jour fixe. Le correcteur les corrige et les rend une semaine plus tard. La note des devoirs maison peut être intégrée dans la moyenne générale (avec un faible coefficient pour ne pas inciter à la tricherie). Dans l'examen final certains exercices pourraient être inspirés des DM.
Les solutions des exercices des DM sont exposées dans des séances de correction qui remplacent les actuels séances de TD. On peut rentrer dans le sens même des exercices car le temps d'assimilation de l'énoncé n'est plus pris sur le temps de la séance.
D'ailleurs on pourrait encourager le travail en groupe en autorisant de rendre une seule copie par binôme (cela diminuerait aussi le coût ce correction). Je sais de mes propres études que j'ai beaucoup appris à travailler à deux ou à trois sur un DM.

Avantages

1. Contrôle régulier des acquis. Dans le système français actuel l'étudiant est censé de préparer son exercice à la maison avant le TD ; or dans la séance de TD ce n'est pas lui, mais le professeur ou un autre étudiant, qui expose la solution, et donc le travail de l'étudiant ne sera jamais controlé. Il n'y a simplement pas le temps pour contrôler tous. Après quelques semaines, l'étudiant cesse de préparer ses exercices ou il le fait avec une rédaction peu complète.
   Seulement des devoirs maison corrigés garantissent un travail complet et régulier.

2. Apprentissage de la rédaction. Un débutant en mathématiques apprend à rédiger et raisonner clairement seulement si on le corrige. Quand j'étais moi-même étudiant en première année je n'aurais jamais appris à bien rédiger si je n'avais pas su que ce que j'écrivais serait lu par un correcteur.

3. Gratification. Je dis souvent que les mathématiques sont une sorte de masturbation mentale... mais masturbation fertile ! Si on veut que les étudiants aiment les maths au moins un tout petit peu, il faut leur donner la chance de la découverte. Or dans le système actuel des TD (où on ne contrôle pas le travail de tous) l'étudiant moyen ne prépare pas ses exos. Dans la séance de TD il n'a jamais le temps de trouver le truc, il y aura toujours quelqu'un autre avant lui, le professeur ou un étudiant très fort, qui présente la solution. Cela prive l'étudiant du plaisir que peuvent donner les mathématiques car il n'est jamais récompensé par le sentiment d'avoir trouvé le truc lui-même.

4. Augmenter l'autonomie des étudiants. De la même manière que vous ne trouvez personne qui a appris à jouer au piano en allant au concert, on peut dire que les mathematiques passives n'existent pas. Or dans une séance de TD peu de temps est laissé au travail de chaque élève. Il est évident que les DM augmentent la capacité de travail autonome. Le jour d'un examen l'étudiant se trouve seul devant sa feuille, il ne peut pas poser une question à son professeur de TD. Avec les devoirs maison il se prépare mieux à cette situation.

5. Le labo de maths, c'est la tête. Pour des sciences expérimentales comme la physique, la chimie, la biologie, les séances de TP en laboratoire sont essentielles. En mathématiques c'est la tête qui joue le rôle de laboratoire. Et quelque fois vaut mieux que l'enseignant reste loin et laisse le temps aux expériences de fermir dans la tête de l'étudiant. C'est comme avec un élève de violon qui pratique, quelque fois vaut mieux ne pas être à côté...

6. Approfondir les connaissances, inciter à l'esprit de recherche. Dans une séance de TD du système actuel on ne peut jamais poser de vrais problèmes intéressants qui demandent un peu de temps de refléxion. On se restreint souvent à des exercices d'application de quelques recettes et si on fait un exo plus intéressant on n'a pas le temps de laisser chercher tous les élèves. Or dans une feuille de DM on peut aussi donner quelques exercices qui demandent un peu plus de recherche.

7. Recruter des futurs enseignants ou chercheurs. Les étudiants en 3^e ou 4^e année sélectionnés et payés pour être correcteurs font ainsi leurs premières expériences dans une équipe pédagogique de l'enseignement supérieur. Ce point peut enrichir leur CV. On pourrait également valoriser ce travail dans leur cursus d'études.

8. Démystifier la réussite. Les étudiants correcteurs en 3^e ou 4^e année serviront de bon exemple aux étudiants de 1^ère ou 2^e année et montrent qu'il est bien possible de réussir.

9. Economiser de l'argent en augmentant le niveau. Vu que les actuels séances de TD n'existeraient plus et céderaient la place à des séances de correction de d.m. on peut les faire en groupes plus grands. En plus, inutile de dépenser de l'argent dans des cours de mise à niveau que certains établissement font ; car on peut faire autant de cours de mise à niveau qu'on veut — si les étudiants ne travaillent pas chez eux, c'est du temps et de l'argent perdu.

Voilà donc mes idées d'Outre-Rhin. Ca marche très bien là-bas, je vous assure. Pourquoi ne pas l'essayer ici ?

On pourra aussi lire un billet et un autre sur thème, écrit par un collègue en physique.

Dans ma vie musique et mathématiques tiennent une place à peu près égale. Les deux me passionnent, me procurent du plaisir, m'étonnent toujours et font que je reste un éternel élève. Quand je dis aux gens que je partage mon temps entre musique et maths, ça ne les surprend pas ; les mathématiques et la musique seraient liées, disent-ils. Mais en quoi consiste ce lien ? Généralement on me donnne trois types de réponses :

1. La musique et les maths sont abstraites.
2. Les deux utilisent des systèmes de notation illisibles pour le commun mortel.
3. On y fait des calculs.

A mon avis tous ces points restent un peu à la superficie.

1. Oui, les maths sont abstraites car elles sont construites sur un système d'axiomes qui n'est pas imposé par l'observation de la nature (comme les lois physiques) mais par un choix arbitraire soumis seulement à la logique ; et la musique est abstraite car elle ne dit rien de concret (comme une pièce de théâtre) et car on ne peut pas la toucher (comme une sculpture).
2. Oui, les deux font recours à des systèmes d'écriture qu'il faut apprendre. Mais dans les deux cas la fixation par l'écrit n'est qu'un moyen et pas la finalité ; le théorème de Pythagore existe sans qu'un géomètre grec le trace dans le sable, et la musique existe pour être écoutée et non pour être lue. De plus, pas toutes les musiques sont écrites ; le solfège était inventé pour la musique classique européenne et ne se transpose pas forcément aux musiques d'autres cultures qui fonctionnent par transmission orale ou à la musique électronique de nos jours.
3. Oui, dans les deux on peut être amené à faire des calculs. Mais encore les calculs ou la combinatoire ne constituent pas la finalité, ni dans la musique sérielle ou dodécaphonique, ni dans une triple-fugue de Bach, ni chez Bartók quand il place le climax d'un mouvement au moment qui correspond au nombre d'or.

Toutes ces réponses oublient un point essentiel qui, à mon avis, caractérise à la fois les sciences mathématiques et l'art de la musique :

La polyvalence des objets, ou le changement de référence

Une grande partie du travail d'un mathématicien consiste à considérer un même objet mais sous plusieurs angles différents, puis de traduire les observations d'un point de vue à l'autre. Ce qui est étonnant c'est qu'on peut en tirer, de ce pur travail de traduction, des conclusions intéressantes ! Et la même chose est vraie en musique ; une même mélodie, un même rythme, une même harmonie peuvent être ça ou ça. Ca l'air assez flou, je vais m'expliquer sur des exemples simples.

Ca mais aussi ça — les maths comme la science des différents points de vue

Mon prof de physique avait l'habitude de se moquer des matheux qui, selon lui, ramènent tout énoncé à des affirmations triviales du genre 0 = 0. Il est vrai que les maths construisent un monde à partir de très peu. L'essentiel se fait en traduisant des différents points de vues. Proposons nous par exemple de prouver l'affirmation suivante.

Proposition sur l'orthocentre. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire se coupent en un point commun.

Les hauteurs se coupent en un point

Preuve. Soit ABC un triangle. Rappellons que, par définition, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Il ne faut pas la confondre avec la médiatrice sur [BC] qui, par définition, est perpendiculaire à [BC] et passe par le milieu de [BC].
Il est facile de voir que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. En effet, la médiatrice sur [AC] est l'ensemble des points équidistants à A et C ; et de manière analogue c'est vrai pour les deux autres médiatrices. Donc le point d'intersection des médiatrices sur [AC] et [BC] est équidistant à A et C et à B et C, donc il est aussi équidistant à A et B. Par conséquence il se trouve sur la médiatrice sur [AB].
En fait, l'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

Maintenant revenons au problème de l'intersection des hauteurs. Nous construisons un nouveau triangle A'B'C' comme indiqué dans le dessin suivant.

Les hauteurs du petit triangle ABC sont les médiatrices du grand triangle A'B'C'

Les droites (AB) et (CA') sont parallèles ; de même (AC) et (BA'). Donc ABA'C est un parallélogramme, d'où l'égalité AB=CA'. De même on montre AB=B'C. Il en resulte que B'C=CA' ou encore que C est le milieu de [A'B']. Par conséquence la hauteur issue de C dans le triangle ABC coïncide avec la médiatrice sur [A'B'] du triangle A'B'C'. On peut faire le même raisonnement sur les deux autres hauteurs. Dire que les les hauteurs de ABC sont concourantes revient donc à dire que les médiatrices de A'B'C' sont concourantes — et nous savons que cette dernière affirmation est vraie, q.e.d.

Résumé. Les trois hauteurs d'un triangle sont aussi les médiatrices d'un autre triangle. L'essentiel de la preuve consiste en la traduction d'un point de vue dans l'autre. L'objet mathématique, ici une droite, peut être est ça, mais aussi ça. C'est de la pure ambivalence, et le mathématicien en est le traducteur !

Un autre exemple est celui du problème des fourmis sur une tige qui semble compliqué au premier abord, mais est finalement trivial si on change de référentiel.

Ca mais aussi ça — la musique comme l'art de l'ambivalence

Un exemple basique concerne le rythme. Beaucoup de compositeurs (notamment Brahms) utilisent le fait que le nombre six est 3+3 mais aussi 2+2+2. Pour ceux qui connaissent le solfège (et le calcul des fractions), cela se traduit par l'égalité 6/8=3/4. Par conséquence on peut très bien faire la contrebande de quelques mesures 3/4 dans un morceau 6/8, sans gêner le groove général de la musique (au contraire ça en rajoute). Je crois que l'exemple le plus connu est la chanson I like to be in America de la West Side Story de Leonard Bernstein.

Un autre exemple vient de l'harmonie. Comme nous venons parler de triangles en maths, parlons de triades (accord de trois notes) en musique. Prenons par exemple l'intervalle La-Do. Cette petite tierce peut faire partie de la triade La-Do-Mi (La-mineur) aussi bien que de la triade Fa-La-Do (Fa-majeur). C'est donc ça, mais aussi ça ! Une astuce des compositeurs est d'utiliser cette ambivalence au début d'une musique comme moyen de laisser l'auditeur dans le flou. Il ne sait pas si ça va aller vers mineur ou majeur ! Gustav Mahler le fait de manière géniale dans son fameux Adagietto (4^e mouvement de la cinquième symphonie). En plus, il nous trompe encore à l'arrivée avec une appogiature, c'est-à-dire il nous fait entendre simultanément les deux tonalités La-mineur et Fa-majeur, seulement la harpe et le pizzicato de la basse confirment avec la fondamentale qu'on est bien dans Fa.

Gustav Mahler : Adagietto de la 5ème symphonie

Pendant deux mesures l'auditeur craint d'être dans La-mineur, et quand il s'affirme finalement Fa-majeur, quelle satisfaction ! Vous pouvez l'écouter ci-dessous. Evidemment ce n'est qu'un exemple très basique et on en trouve beaucoup d'autres plus recherchés dans la littérature musicale (notamment les modulations ou l'enharmonie qui sont en analogie avec l'exemple des triangles cité en haut).

Ecouter cette musique ici.

Un dernier point commun entre maths et musique : c'est beau et ça ne sert à rien (enfin l'utilité n'est pas leur but premier). Mais une grande différence : les maths sont seulement belles pour ceux qui les font, tandis que la musique peut-être appréciée passivement.

D'ailleurs il y a des gens, plus formés que moi, qui réfléchissent aux liens structurels entre maths et musique et qui publient des recherches sérieuses sur ce sujet. De temps en temps je vais dans leur séminaire MaMuPhi à l'Ircam. Je me rappelle en particulier d'un exposé donné par le mathématicien et pianiste de jazz Guerino Mazzola ; il faisait le lien entre théorie des faisceaux et structure musicale. Je connais les faisceaux, je connais la musique, mais apparemment pas assez profondément pour avoir compris ces liens... Finalement, dans les deux domaines je ne suis qu'un working mathematician ou working composer qui ne se soucie pas trop des fondements souterrains ;-)

Citation de Paul Erdös (1913-1996)

Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.

Aujourd'hui je propose à mes lecteurs un entretien avec Martin Andler, président de l'association Animath.

MathOMan : Qu’est-ce qu'Animath ?

Martin Andler : Animath est une association créée en 1998. Son objectif est de promouvoir les activités mathématiques « périscolaires», c’est-à-dire les activités proposées aux élèves de collège et de lycée sur la base du volontariat en dehors du temps scolaire. Animath a une vocation nationale. Nous sommes soutenus par la SMF, la SMAI, la SFDS, Femme et math, l’APMEP et l’Inspection générale de mathématiques et regroupons l’ensemble des acteurs associatifs et institutionnels de l’animation mathématique en France (les IREM, Maths en Jeans, Le CIJM, la FFJM, l’association Kangourou, Science ouverte…).

MOM : En quoi consistent les actions ?

MA : Animath organise des actions elle-même mais c’est aussi la maison commune, et nous soutenons les actions qui sont menées par nos membres. On pourrait classifier ces activités comme suit. Premièrement, les activités ponctuelles :

• Participation à un concours en temps limité : Kangourou, les rallyes mathématiques, les olympiades académiques de mathématiques, etc.
• Assister à une conférence donnée par un chercheur : les promenades mathématiques, les conférences « un texte un mathématicien » à la BNF, les interventions « les maths ça sert », visite d’une exposition mathématique dans un musée ou centre de culture scientifique.
• Participation à une journée comme « Filles et mathématiques : une équation lumineuse ».

Deuxièmement, les activités régulières :

• Participation à un club mathématique ou atelier scientifique.
• Préparation d’un projet scientifique dans le cadre de Maths en Jeans ou d’un concours de projet scientifique.

Et finalement les stages qui peuvent durer entre trois et dix jours pendant les vacances scolaires.

MOM : Mais ces activités s’adressent uniquement à des petits génies ?

MA : Non ! La seule condition est de s’intéresser aux maths. Evidemment lorsqu’il s’agit de sélectionner les types de six élèves qui représenteront la France aux Olympiades Internationales de Mathématiques (OIM) les élèves concernés sont extrêmement talentueux. Mais nous avons besoin de former chaque année des centaines de docteurs en mathématiques et des dizaines de milliers de personnes qui vont exercer des métiers à base scientifique ; et nous avons besoin aussi de penser à l’ensemble d’une classe d’âge.

MOM : Justement concernant les OIM, ça m’a toujours étonné que la France, pays de haut niveau en maths, figure en position moyenne depuis plus de vingt ans. Les dernières années les premiers rangs sont occupés par la Chine, le Vietnam, l’Iran, les Etats-Unis et la Russie.

MA : Rappelons que la participation aux OIM est réservée à des élèves de lycée. Leur moyenne d’âge est autour de 17 ans. Pendant un certain temps la France recrutait son équipe aussi parmi des élèves de maths sup. Mais il est apparu que le recrutement post-bac était non-conforme au règlement et depuis lors les résultats des français se sont nettement détériorés.

Cela dit, le règlement s’applique de la même manière à tous les pays et si nous obtenons des résultats aussi faibles (au-delà de la 30e place au classement par pays parmi une centaine de pays participants) c’est peut-être pour trois raisons : Premièrement, la scolarité en France retarde la spécialisation des élèves. La France est le seul pays où les élèves doivent étudier autant de matières (environ dix) jusqu’à la fin du lycée. Deuxièmement, nous n’avons pas actuellement un système efficace de détection des élèves talentueux en mathématiques. Et troisièmement, nous commençons seulement mettre en place une véritable préparation aux OIM.

Par contraste, beaucoup d’autres pays y compris des pays très comparables (Allemagne, Italie, Royaume Uni, Espagne) ont mis en place depuis des années un système de détection et de préparation avec des stages, des cours et des concours blancs. Dans tous ces pays les universités sont fortement impliquées dans ce processus et profitent de ces stages pour donner aux jeunes un premier contact avec des mathématiques plus avancées.

La structure qui prend en charge la participation française à l'OIM est l'Olympiade française de mathématiques (OFM), animée par Claude Deschamps. Notre rôle, ainsi que celui de certains clubs de mathématiques comme le club de mathématiques discrètes à Lyon se situe en amont de l'OFM. Nous organisons des stages de préparation olympiques destinés à des élèves qui se sont distingués dans les différents concours. Nous recevons une subvention du Ministère de l'Education Natioanle pour permettre à tous les élèves sélectionnés de participer, indépendamment de leurs ressources familiales. Le club de Lyon recrute des élèves de la région lyonnaise, mais attire également quelques élèves de la France entière pour des séances tous les quinze jours. L'OFM prend en charge chaque année en début d'année scolaire un groupe d'élèves susceptibles de faire partie de l'équipe l'été suivant.

Animath espère que l’on va progressivement se rapprocher du type d’organisation des autres pays.

Je voudrais insister sur deux points : Les résultats aux OIM ne sont pas un but en soi ; ce qui est intéressant c’est de permettre à des élèves doués de découvrir les mathématiques plus difficiles et avancées que celles qu’ils font au lycée. Puis, il ne faut pas se limiter à agir que pour quelques dizaines ou même quelques centaines de jeunes chaque année. Les besoins de formation scientifique sont bien plus globaux. Par exemple, à Hambourg il existe depuis des années un réseau de clubs mathématiques et tous les professeurs de mathématiques de moins de 50 ans ont participé à ces clubs lorsqu’ils étaient élèves eux-mêmes.

MOM : Pourquoi les mathématiques ne sont-elles pas appréciées par un grand nombre d’élèves ?

MA : Une difficulté à laquelle nous sommes tous confrontés est que l’apprentissage des math exige la maîtrise d’un certain nombre d’outils qui finissent par occuper tout l’espace-temps disponible dans l’enseignement. Du coup, les professeurs ne peuvent pas rendre compte du caractère vivant de la discipline, tant sur le plan de la recherche que sur le plan des très nombreuses applications des mathématiques. Les élèves ont l’impression que les mathématiques sont une discipline qui est morte depuis longtemps et qui n’a aucune pertinence dans les activités humaines. Nous devons changer cette perception et montrer qu’il y a une activité de recherche en math, même à ceux qui ne seront pas eux-mêmes chercheurs, et nous devons montrer que les maths ont des liens très forts avec les autres domaines des sciences, y compris les sciences sociales, et que beaucoup d’activités importantes dans la société se basent sur une vraie culture mathématique.

MOM : Pour moi personnellement ce point de vu « utilitaire » est très réducteur. J’ai choisi les études maths car je trouvais ça beau et par défi intellectuel, et beaucoup de mes camarades d’études à la fac l’ont fait pour ces mêmes raisons, tout en sachant qu’ils n’auraient pas de mal de trouver un emploi dans l’industrie une fois obtenu le diplôme.

MA : On peut dire qu’il y a deux catégories de gens. Ceux qui acceptent de jouer le jeu des mathématiques a priori : ils trouvent que les math sont belles et intéressantes en elles-mêmes. Mais il y a tous les autres qui n’accepteront de s’intéresser à une question de math que dans la mesure où cela leur permet de résoudre d’autres problème qui sont au cœur de leurs préoccupations. Même s’il est vrai que les math sont présentes un peu partout, on ne peut pas faire de leur apprentissage un préalable. A Animath, nous avons deux programmes qui cherchent à combler ce déficit dont j’ai parlé. Avec la SMF et avec le soutien du CNRS et de l’INRIA nous avons mis en place les « Promenades mathématiques ». Ce sont des conférences données par des chercheurs dans un établissement scolaire ou dans un lieu culturel au autre. La structure des promenades permet à un enseignant de collège ou de lycée de trouver assez facilement un chercheur susceptible à venir dans son établissement.
Cela est surtout intéressant pour les collèges et lycées éloignés des universités. J’encourage tous les chercheurs à proposer des conférences pour notre catalogue de promenades mathématiques, et évidemment les professeurs de lycée et de collège de nous en demander. La deuxième initiative est celle qui s’appelle « les math ça sert! ». Nos partenaires sont la SMAI et la SFDS et nous sommes soutenus par la fondation « C’Génial ». Là, il s’agit de faire venir dans les classes des ingénieurs, techniciens, gestionnaires, banquiers, architectes... qui, partant de ce qui est fait en classe à l’instant t, montrent comment cette notion de base est pertinente pour leur travail. Ce programme vient de démarrer ce printemps 2011.

MOM : Y a-t-il un concours de projets scientifique pour les lycéens en France ?

MA : Il faut bien reconnaître que la France est très en retard sur ce point. Aux Etats-Unis il existe le concours ISEF (International Science and Engineering Fair), sponsorisé par INTEL. Ce concours a été créé en 1950. En Allemagne il y a le concours « Jugend forscht » (La jeunesse fait de la recherche) qui a été créé en 1966. Ces deux concours sont portés par des fondations indépendantes qui trouvent leurs financements. Aux Etats-Unis les récompenses sont des bourses d’études très importantes. Il existe aussi un concours européen depuis un peu plus de 20 ans qui s’appelle « European Union contest for young scientists ». Tous ces concours s’adressent à des lycéens. Il s’agit pour eux d'effectuer un travail individuel ou en petits groupes (jusqu’à trois ou quatre), à longue haleine (six mois, un an ou plus) sur une question scientifique. En général le travail est suivi par un professeur de lycée, mais souvent se fait également au contact d’un chercheur. J’étais il y a deux semaines invité à Kiel pour assister à la remise des prix du concours « Jugend forscht 2011 ». Pour montrer l’importance que l’Allemagne y accorde, la cérémonie était présidée par Christian Wulff, le président de la RFA. Il y a sept catégories disciplinaires (biologie, chimie, physique, mathématiques-informatique, sciences de l’univers, sciences de l’ingénieur, enseignement professionnel). Au départ il y a environ 6000 projets qui participent aux compétition locales ; ce sont les jeunes eux-mêmes qui déterminent leur sujet, comme de vrais chercheurs, en toute liberté. Puis on en sélectionne une centaine et enfin la moitié entre eux obtient un prix. Quelques exemples de sujets de cette année : en physique, le travail du premier prix, Benjamin Walter (16 ans), portait sur l'interaction entre le coronène et une couche superficielle de germanium. Il s'est demandé s'il serait possible de produire du graphène à partir de ce matériau. En utilisant la microscopie à effet tunnel, il a pu répondre négativement à cette question, mais il a obtenu des informations très intéressantes sur les aspects géométriques et énergétiques de l'interaction coronène/germanium. En chimie, Nico Fleck (15 ans) a travaillé sur la « réaction de Finkelstein », où des molécules organiques se lient avec l'iode; il a étudié l'influence de divers catalyseurs et solutions. Il a déterminé que l'éther couronne accélère la production de canaux iodés.

Les deux projets qui on reçu les premiers prix en mathématiques : l’un était sur la généralisation du problème de coloriage de plan. Il s’agit d’une question posée par Ed Nelson : combien faut-il de couleurs pour colorier le plan en sorte qu’il n’existe pas de points à distance 1 ayant la même couleur. Cette question est encore ouverte aujourd'hui. Ils ont travaillé sur des généralisations et des variantes de ce problème. L’autre projet concernait des question de pavage du plan. La découverte du polygone de Voderberg en 1936 conduit à des formes étonnantes que ce groupe de jeunes chercheurs a explorés, en créant des modifications de la construction de Voderberg. Ils ont également étudié le problème dit de « Heesch » sur la taille des pavages.

Pour la première fois cette année deux équipes françaises ont été invitées au concours ISEF à Los Angeles début mai. Un des deux projets était en physique et avait participé aux « Olympiades la physique en France » et l’autre était un projet en mathématiques qui avait participé au concours « C’génial ». Les deux groupes ont obtenu un quatrième prix ce qui est tout à fait remarquable. Je connais bien le professeur responsable du projet de math, Francis Lauret ; il enseigne dans un collège à Miramas. Cela fait plusieurs années qu’il y anime l’atelier « Euclide » et qu’il fait travailler ses élèves dans le cadre de cet atelier. Le groupe qui a présenté le projet à Los Angeles consistait de deux élèves de 3e du collège, Marine Auriol, Clément Martinez, et d'Arnaud Vespa, un ancien élève qui est maintenant en 1ère. Le titre de leur projet était « Du record du tour du monde à la voile aux trous noirs : d’étranges géométries. Des applications concrètes des théories modernes en mathématiques. » Au départ ils avaient participé au « Vendée Globe » virtuel sur internet, où il fallait trouver la meilleur stratégie pour un skipper. Cela les a amenés d’abord à comprendre la géométrie sphérique, la physique d’un bateau à voile et la météo, mais aussi à concevoir un pilote automatique A partir de là ils se sont intéressés à des géométries non-euclidiennes plus générales, y compris la géométrie tropicale et à ses applications.

En France il existe maintenant plusieurs concours de projets scientifiques mais qui sont à bien plus petite échelle que les concours analogues dans la plupart des autres pays. Il y a le concours « Faites de la science » organisé par les UFR scientifiques. Il y a « C’Génial » organisé par Sciences à l’école. Ces deux concours concernent toutes les disciplines. Il y a aussi les « Olympiades la physique » qui contrairement aux « Olympiades de mathématiques » ne sont pas un concours en temps limité mais un concours de projet.

Il faut mentionner aussi « Maths en jeans », qui est un véritable succès depuis 22 ans ; l’idée est la même, à savoir faire travailler les élèves sur un projet mathématiques à longue haleine mais avec deux différences : premièrement le groupe peut comporter jusqu’à une trentaine d’élèves, deuxièmement il n’y a aucune notion compétitive, la récompense consiste à pouvoir présenter ses résultats au congrès « Maths en jeans ».

Concours de projets et concours en temps limité, avec ou sans compétition, sont complémentaires ; parfois des élèves participent aux deux, mais parfois les concours de projets scientifiques permettent à des élèves qui ne sont pas forcément très bons scolairement d’exprimer tout leur talent. Les concours de projet scientifique français concernent très peu d’élèves, beaucoup moins que par exemple en Allemagne. On peut se demander pourquoi. La première raison est qu’ils sont bien plus récents et qu’ils disposent d’appuis institutionnel et matériel beaucoup moins forts. Mais il y a une raison plus fondamentale : le talent qui peut s’exprimer dans un travail personnel qui dure un an ou parfois plus ne donne aucune indication sur la capacité à réussir dans les épreuves en temps limité qui sont la colonne vertébrale de la tradition française de sélection. Je trouve ça décourageant ! Dans une certaine mesure les sciences expérimentales et les sciences de l’ingénieur sont plus affectées que les mathématiques. En effet, la capacité de réussir des épreuves en temps limité en maths se rapproche plus d’une activité mathématique authentique que ça ne l’est le cas pour les sciences de l’ingénieur ou de laboratoire.

Il reste beaucoup à faire pour que nos concours de projets scientifiques atteignent le niveau de leurs homologues dans d’autres pays. Les exemples que j’ai donnés montrent que ces concours ont un sens en mathématiques. On peut à cet égard mentionner le Concours Shing Tung Yau en Chine qui est un concours de projets mathématiques qui existe depuis 2008. J’aimerais bien qu’on créé un concours de ce type là pour les mathématiques au niveau européen.

MOM : Merci pour cet entretien ! Un mot pour la fin ?

MA : Nous avons évoqué ensemble un certain nombre d'activités périscolaires mathématiques. Il y en a d'autres, comme les stages de mathématiques pendant les vacances, les initiatives spécifiques pour les filles, ou d'autres. Dans ces cas-là, on peut travailler spécifiquement en direction des jeunes des zones défavorisées, qui ont le plus besoin d'être appuyés dans leur parcours scolaire, ou en direction des filles qui ont tendance, on le sait bien, à se détourner des études scientifiques à forte intensité mathématique. Nous aurons peut-être l'occasion d'en reparler.