Petite pause musicale — ou plutôt machinale car ces petits bonhommes Duracell ont la précision d'une horloge suisse! Une coordination parfaite au niveau local et global.

Voici, à titre de comparaison, la batucada brésilienne Batala dans laquelle je jouais pendant quelques années la caixa (caisse claire). Ce n'est pas la même précision, mais on s'amuse quand-même ;-) Vive le samba à Paris !

Dans les commentaires à la question sur un pavage de rectangles notre cher bloggeur PB disait d'avoir entendu de l'existence d'une solution qui utilise le produit tensoriel, mais malheureusement il ne la connaissait pas. D'abord ça m'intrigait — car où est le produit tensoriel dans tout ça? Or finalement un lien entre nos rectangles et cette structure algébrique est assez plausible; en effet, la loi de distributivité des tenseurs
 

devrait correspondre à la fusion de deux rectangles ayant le côté en commun.

Donc hier j'ai pris le temps d'y réfléchir pour retrouver cette fameuse solution! En fait elle est très simple, sans astuce, elle ne fait qu'utiliser la propriété de distributivité ci-dessus.

Notons (resp.) la largeur (resp. hauteur) du grand rectangle , et de même (resp. ) pour les petits rectangles , qui partitionnent . Alors on a

Pour prouver cette égalité il suffit de prolonger les côtés des petits rectangles comme indiqué sur la figure pour avoir une subdivision à laquelle on peut appliquer la propriété de distributivité:
 

 
Maintenant on regarde l'égalité (*) dans le produit tensoriel

c'est-à-dire on prend les longueurs modulo . D'après hypothèse on a donc et par conséquence ou . En autres mots, la largeur ou hauteur du grand rectangle est entière.

Update : Malheureusement cette preuve est erronée. Cherchez l'erreur... ou lisez mon commentaire no.13 ci-dessous.

L'espace des petits exercices en maths me semble de dimension infinie ;-)  Voici encore un nouvel élément :

Est-ce que tout nombre naturel non-nul possède un multiple qui fait intervenir tous les dix chiffres dans son écriture décimale ?

Même des questions connues et d'apparence très simple me surprennent encore. Par exemple, ce n'était que très récemment que j'ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite — jusqu'à ce qu'on m'a appris que c'est un problème ouvert depuis très longtemps...

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste. On peut réaliser cette illusion optique dans son propre appartement ; voici une vidéo avec un cube.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

L'exercice amusant sur les rectangles entiers possède apparemment beaucoup de solutions. François-Xavier Vialard m'a indiqué un article en anglais de Stan Wagon qui réunit les différentes démonstrations de 14 auteurs du monde entier ! L'une parmi elles, qui m'a été signalé aussi par Tahar Boulmezaoud, est particulièrement belle. En effet, elle utilise seulement des mathématiques élémentaires que même un élève de 6^e, voire de CM2, peut comprendre. L'idée de la preuve est de travailler avec un réseau en forme d'échiquier. Voici une description détaillé de cette démonstration, lisible par tous, indépendemment du niveau en maths :

Je rappelle que l'énoncé de l'exercice se trouve ici.

On considère un grand échiquier dont chaque case est de longueur 1/2. Nous allons l'utiliser pour poser nos rectangles dessus.

Lemme 1. Si un rectangle est entier alors il couvre autant de surface noire que blanche.

Preuve : Cela se verra plus facilement avec un dessin. Voici un rectangle dont le coté horizontal est 3.

On le découpe,

puis on déplace la partie gauche à droite, sans que cela ne change la superficie blanche ou noire couverte.

Il est maintenant évident que le rectangle couvre autant de superficie blanche que noire, ce qui achève la démonstration du lemme 1.

Remarque : La réciproque du lemme 1 n'est pas vraie. Comme contre-exemple il suffit de prendre un rectangle dont le milieu se trouve sur un point nœud de l'échiquier. Il couvre alors autant d'aire noire que blanche sans être pourtant nécessairement entier :

Mais si on rajoute une condition de plus les choses s'arrangent ! En effet, on a l'énoncé suivant.

Lemme 1. Si un rectangle dont au moins un sommet coïncide avec un point nœud de l'échiquier couvre autant de surface noire que blanche alors il est entier.

Preuve : Prenons le cas où le sommet en bas à gauche du rectangle coïncide avec un point nœud. Colorons ce nœud ainsi que les autres nœuds qui sont de coordonnées entières par rapport à lui. Nous supposons qu'aucun des autres trois sommets est sur un nœud coloré.

Pour examiner si le rectangle couvre autant de surface blanche que noire, nous le découpons ainsi :

Le rectangle bleu a un côté horizontal entier et couvre donc, d'après le lemme 1, autant de surface noire que blanche. De même pour le rectangle vert car son côté vertical est entier. Il reste alors à examiner le petit rectangle rouge.

Le petit rectangle jaune couvre autant d'aire blanche que noire, tandis que le marron couvre plus d'aire blanche que noire. Par conséquence le petit rectangle rouge couvre plus de surface noire que blanche.

Nous avons donc démontré qu'un rectangle dont un unique sommet coïncide avec un nœud coloré ne peut pas couvrir autant d'aire blanche que noire. Donc si un rectangle a au moins un sommet sur un nœud coloré et couvre la même aire blanche que noire alors il a forcément un deuxième sommet sur un nœud coloré, et cela implique qu'il s'agit d'un rectangle entier. Le lemme 2 est ainsi démontré.

Remarque : En réalité, il y a quatre types petits rectangles restants mais nous n'avons traité qu'un seul type car pour les trois autres on voit immédiatement que les aires blanches et noires ne sont pas les mêmes :

Maintenant nous sommes prêts à donner la preuve du problème posé.

Nous plaçons notre grand rectangle de manière qu'un de ses sommet est sur un point nœud de l'échiquier. Par hypothèse tous les petits rectangles le constituant sont entiers, donc chacun couvre, d'après le lemme 1, autant d'aire blanche et que noire. Il en est de même du grand rectangle. D'après le lemme 2 il est entier.

Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Dans ce qui suit tous les nombres sont des nombres naturels :  0, 1, 2, 3, 4, ...

Définition.  Les multiples d'un nombre n sont les nombres 0, n, 2n, 3n, 4n, ...

Exemples :

• Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, ...
• Les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, ...
• Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, ...

On appelle les multiples de 2 aussi nombres pairs. Les non-multiples de 2 sont 1, 3, 5, 7, ... et sont appelés nombres impairs.

Notre définition donne les multiples en forme d'une liste. Mais qu'est-ce qui signifient vraiment les trois petits points dans la liste 0, n, 2n, 3n, 4n, ... ? En fait, on peut écrire les trois points car tout le monde comprend comment on doit continuer la liste : après 4n, il y a 5n, puis 6n, et de suite. Autrement dit, on a la règle suivante.

Règle 1.  Un nombre m est un multiple de n si et seulement s'il existe un k tel que m = kn.

Par exemple, le nombre m=24 est multiple du nombre n=4 car 24=k×4 avec k=6.

Il est important que ce k soit aussi un nombre naturel, comme m et n. En effet, on n'a pas le droit de dire la phrase suivante : Le nombre 3 est multiple 4 car 3=k×4 avec k=¾.

Règle 2.  Zéro est multiple de tout nombre. Tout nombre est multiple de soi-même.

Preuve : Soit n un nombre choisi. Le nombre 0 est le premier élément de la liste de multiples de n — on l'obtient en prenant k=0. Et n est le deuxième élément dans cette liste — on l'obtient en prenant k=1.

Cas particuliers :

• Les multiples de 1 sont 0, 1, 2, 3, 4, ..., c'est-à-dire, tout nombre est multiple de 1.
• Les multiples de 0 sont 0, 0, 0, 0, 0, ..., c'est-à-dire, zéro n'a que lui-même comme multiple.

Dans les exemples on voit que la liste des multiples de 4, à savoir 0, 4, 8, 12, ..., est contenue dans la liste des multiples de 2. Si on y réfléchit un peu ce n'est pas très étonnant et nous allons le formuler comme une règle général :

Règle 3.  Si m est multiple de n et si n est multiple de p alors m est aussi multiple de p.

Preuve :  Si m est multiple de n on peut l'écrire comme m = kn ;  et si n est multiple de p on peut l'écrire comme n = k'p. Alors on a m = kn = kk'p ce qui prouve que m est multiple de p.

Exemples :

• 6 est multiple de 3, donc tout multiple de 6 est aussi multiple de 3.
  La réciproque n'est pas vraie, par exemple, 9 est multiple de 3 mais pas de 6.
• Tout multiple de 12 est aussi un multiple de 3 et de 4 et de 2.
  C'est vrai car 12 est multiple de 3 et de 4 et de 2.

Beaucoup d'affirmations que nous disons dans notre langage de tous les jours, dépendent de notre point de vu. Par exemple, les deux phrases

Zoé est la fille d'Alexandre  et  Alexandre est le père de Zoé

signifient la même chose, mais de points de vue différents. C'est cette diversité qui donne de la richesse à notre langue ! En mathématiques aussi il y a des manières différentes pour exprimer une même chose ; c'est utile, pas pour une question de style, mais car en maths le changement du point de vue est souvent un outil très puissant (voir un exemple dans cet article).

Définition.  Si m est un multiple de n on dit aussi que m est divisible par n ou que n divise m ou que n est un diviseur de m.

Autrement dit, n divise m si et seulement s'il existe k entier tel que m = kn.
L'équation m = kn équivaut à k = m/n. Ainsi n divise m si et seulement si la fraction m/n est un entier (si n est non-nul).

Notation.  Pour dire n divise m on écrit souvent n | m.

Exemples

• 5 | 15.
  On dit 5 divise 15 ou 5 est un diviseur de 15 ou 15 est divisible par 5 ou 15 est un multiple de 5.
• 3 | 15.

Les affirmations suivantes se déduisent directement de ce que nous avons déjà compris sur les multiples.

• Tout nombre divise 0 car 0 est multiple de tout nombre.
  En écriture mathématique, n|0 car 0 = 0 × n.
• Tout nombre divise soi-même car tout nombre est multiple de soi-même.
  Ou encore, n|n car n = 1 × n.
• 1 divise tout nombre car tout nombre est multiple de 1.
  Ou encore, 1|n car n = n × 1.

Règle 4.  Si p|n et si n|m alors p|m. Par exemple, 15|30 et 30|3000 donc 15|3000.

Preuve :  C'est une traduction directe de la règle 3.

Question :  Qu'est-ce qui est plus grand, multiple ou diviseur ?

Réponse :  Mise à part le multiple 0, les multiples d'un nombre sont plus grands que ses diviseurs.
Par exemple, les multiples non-nuls de 12 sont 12, 24, 36, .... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Question :  Qui sont plus nombreux, les multiples d'un nombre donné ou ses diviseurs ?

Réponse :  Un nombre non-nul possède une infinité des multiples mais seulement un nombre fini de diviseurs.
En effet, pour n non-nul, la liste des multiples de n est 0, n, 2n, 3n, ... C'est une liste infinie avec des nombres de plus en plus grands. En revanche, le plus grand diviseur de n est n lui-même, donc n possède un nombre fini de diviseurs qui se trouvent parmi les nombres 1, 2, 3, ..., n.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre donnée n'est pas facile si ce nombre est grand. Donc il est pratique de disposer de quelques critères de divisibiltés. Ca sera l'objet du prochain billet. Finissons ce billet avec un énoncé simple et sa preuve. Ca sera l'occasion de voir le formalisme des multiples en action.

Théorème.  Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair.

Preuve du théorème.  Fixons un nombre entier n au hasard et prouvons le théorème pour ce nombre. (Le mathématicien dit pour cela soit n un entier.) Alors il y a deux cas possibles : soit n est pair, soit n est impair.
Supposons d'abord que n est pair. Alors il existe un entier k tel que n=2k. Ainsi n²=4k² ce qui prouve que n² est un multiple de 4, et donc en particulier un nombre pair. On vient de prouver que si un nombre est pair alors son carré aussi.
Supposons maintenant que n est impair. Alors il existe un entier k tel que n=2k+1. Donc n²=(2k+1)²=4k²+4k+1, et comme les deux premiers termes de cette somme sont pairs on en déduit que n² est impair. On vient de prouver que si un nombre est impair alors son carré aussi.
Or un nombre entier est soit pair soit impair ; donc en fait on a prouvé lé théorème.

Remarque.  Le théorème peut aussi s'énoncer comme suit : un entier est impair si et seulement si son carré est impair.

Exercices.  Les quatre exercices suivants sont faciles. Il faut simplement imiter la démonstration du théorème.

1. Montrer qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son carré l'est.
2. Montrer qu'un entier est pair si et seulement si son cube l'est.
3. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 4 si et seulement si son carré l'est ?
4. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son cube l'est ?

Après les maths et la musique et les maths du côté de chez Proust voici les mathématiques dans un roman.

A l'occasion de la journée mondiale de la femme le bloggeur El Jj a dédié un billet aux mathématiciennes. Ca m'a donné l'idée de parler d'un grand romancier qui rend hommage à sa femme mathématicienne en décrivant son incompréhension devant la science qu'elle étudie. Il s'agit de Thomas Mann (lauréat du prix Nobel de littérature en 1929) ; lorsque Mann rencontra sa future épouse Katia Pringsheim, celle-ci était étudiante en mathématiques (plus tard elle abondonnera cette voie pour se consacrer à leurs six enfants).

Dans le roman Königliche Hoheit (Altesse Royale, 1909) Thomas Mann dépeint comment il a conquis le cœur de Katia à travers deux personnages : le protagoniste Klaus Heinrich et l'étudiante en mathématiques, Imma Spoelmann. Voici un extrait que je trouve très amusant :

[...]
— Non, dit-il, aujourd'hui vous ne ferez pas d'algèbre, mademoiselle Imma, vous ne jouerez pas dans les espaces au-dessus de l'atmosphère, comme vous dites ! Regardez donc le soleil !... Vous permettez...? Il s'avança vers la petite table et prit en main le cahier de cours. Ce qu'il vit était ahurissant. En une écriture embrouillée, d'une épaisseur enfantine, qui laissait reconnaître la tenue de porte-plume propre à Imma Spoelmann, une fantaisie abracadabrante, un sabbat du runes entrecroisées couvrait les pages. Des signes d'écriture grecque se mariaient avec des caractères latins et des chiffres placés à différentes hauteurs, entremêlés de croix et de traits, alignés au-dessous ou au-dessus de lignes horizontales, à la manière des fractions, surmontés d'autres lignes qui formaient comme une tente, égalisés par de petits traits doubles, encadrés de rondes parenthèses, et réunis par des crochets carrés en grandes formules massives.
Des lettres isolées, placées en avant comme des sentinelles, se détachaient à droite, en haut des groupes enclavés. Des signes cabalistiques, complètement incompréhensibles au profane, entouraient de leurs bras les lettres et les nombres, tandis que des fractions les précédaient et qu'au-dessus d'eux, à la tête et aux pieds, planaient des nombres et des lettres. Des syllabes bizarres, abréviations de paroles mystérieuses étaient semées partout, et entre les colonnes nécromantiques, étaient écrites des phrases et des remarques en langage ordinaire, dont le sens dépassait tellement les choses humaines qu'on pouvait les lire sans en comprendre un mot, comme une incantation.

Klaus Heinrich leva les yeux sur la petite silhouette qui se tenait auprès de lui en robe chatoyante, drapée dans le voile noir de ses cheveux et regarda la petite tête exotique dans laquelle tout cela avait un sens et prenait une vie sublime et facile. Et voilà donc les arts impies, dit-il, qui vous feraient négliger cette belle matinée ?
[...]

Ca se passait il y a plus de cent ans. A cette époque il était encore exceptionnel de voir une jeune femme entamer des études supérieures, voire les maths — et ça a dû impressionner quelqu'un comme Thomas Mann qui n'a même pas passé son baccaluréat !

Si Katia a choisi de faire les études de mathématiques ce n'était certainement pas un hasard. En effet le père de Katia était Alfred Pringsheim, professeur de mathématiques à l'université de Munich. Même s'il n'est pas aussi illustre que son contemporain et collègue munichois Lindemann (qui est passé à la postérité pour sa démonstration de la transcendance de ), nous rencontrons encore aujourd'hui le nom Pringsheim sur certains travaux au sujet des séries et des fonctions analytiques.
D'ailleurs Thomas Mann au aussi éternisé son beau-père dans ce roman car le père du personnage fictif Imma Spoelmann porte les traits physiques et caractérielles d'Alfred Pringsheim. En revanche, dans le roman il n'est pas mathématicien mais simplement un homme très riche ce que Pringsheim, fils d'industriels prospères, était aussi dans la vraie vie.

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

• Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...


• La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.

Aujourd'hui je propose à mes lecteurs un entretien avec Martin Andler, président de l'association Animath.

MathOMan : Qu’est-ce qu'Animath ?

Martin Andler : Animath est une association créée en 1998. Son objectif est de promouvoir les activités mathématiques « périscolaires», c’est-à-dire les activités proposées aux élèves de collège et de lycée sur la base du volontariat en dehors du temps scolaire. Animath a une vocation nationale. Nous sommes soutenus par la SMF, la SMAI, la SFDS, Femme et math, l’APMEP et l’Inspection générale de mathématiques et regroupons l’ensemble des acteurs associatifs et institutionnels de l’animation mathématique en France (les IREM, Maths en Jeans, Le CIJM, la FFJM, l’association Kangourou, Science ouverte…).

MOM : En quoi consistent les actions ?

MA : Animath organise des actions elle-même mais c’est aussi la maison commune, et nous soutenons les actions qui sont menées par nos membres. On pourrait classifier ces activités comme suit. Premièrement, les activités ponctuelles :

• Participation à un concours en temps limité : Kangourou, les rallyes mathématiques, les olympiades académiques de mathématiques, etc.
• Assister à une conférence donnée par un chercheur : les promenades mathématiques, les conférences « un texte un mathématicien » à la BNF, les interventions « les maths ça sert », visite d’une exposition mathématique dans un musée ou centre de culture scientifique.
• Participation à une journée comme « Filles et mathématiques : une équation lumineuse ».

Deuxièmement, les activités régulières :

• Participation à un club mathématique ou atelier scientifique.
• Préparation d’un projet scientifique dans le cadre de Maths en Jeans ou d’un concours de projet scientifique.

Et finalement les stages qui peuvent durer entre trois et dix jours pendant les vacances scolaires.

MOM : Mais ces activités s’adressent uniquement à des petits génies ?

MA : Non ! La seule condition est de s’intéresser aux maths. Evidemment lorsqu’il s’agit de sélectionner les types de six élèves qui représenteront la France aux Olympiades Internationales de Mathématiques (OIM) les élèves concernés sont extrêmement talentueux. Mais nous avons besoin de former chaque année des centaines de docteurs en mathématiques et des dizaines de milliers de personnes qui vont exercer des métiers à base scientifique ; et nous avons besoin aussi de penser à l’ensemble d’une classe d’âge.

MOM : Justement concernant les OIM, ça m’a toujours étonné que la France, pays de haut niveau en maths, figure en position moyenne depuis plus de vingt ans. Les dernières années les premiers rangs sont occupés par la Chine, le Vietnam, l’Iran, les Etats-Unis et la Russie.

MA : Rappelons que la participation aux OIM est réservée à des élèves de lycée. Leur moyenne d’âge est autour de 17 ans. Pendant un certain temps la France recrutait son équipe aussi parmi des élèves de maths sup. Mais il est apparu que le recrutement post-bac était non-conforme au règlement et depuis lors les résultats des français se sont nettement détériorés.

Cela dit, le règlement s’applique de la même manière à tous les pays et si nous obtenons des résultats aussi faibles (au-delà de la 30e place au classement par pays parmi une centaine de pays participants) c’est peut-être pour trois raisons : Premièrement, la scolarité en France retarde la spécialisation des élèves. La France est le seul pays où les élèves doivent étudier autant de matières (environ dix) jusqu’à la fin du lycée. Deuxièmement, nous n’avons pas actuellement un système efficace de détection des élèves talentueux en mathématiques. Et troisièmement, nous commençons seulement mettre en place une véritable préparation aux OIM.

Par contraste, beaucoup d’autres pays y compris des pays très comparables (Allemagne, Italie, Royaume Uni, Espagne) ont mis en place depuis des années un système de détection et de préparation avec des stages, des cours et des concours blancs. Dans tous ces pays les universités sont fortement impliquées dans ce processus et profitent de ces stages pour donner aux jeunes un premier contact avec des mathématiques plus avancées.

La structure qui prend en charge la participation française à l'OIM est l'Olympiade française de mathématiques (OFM), animée par Claude Deschamps. Notre rôle, ainsi que celui de certains clubs de mathématiques comme le club de mathématiques discrètes à Lyon se situe en amont de l'OFM. Nous organisons des stages de préparation olympiques destinés à des élèves qui se sont distingués dans les différents concours. Nous recevons une subvention du Ministère de l'Education Natioanle pour permettre à tous les élèves sélectionnés de participer, indépendamment de leurs ressources familiales. Le club de Lyon recrute des élèves de la région lyonnaise, mais attire également quelques élèves de la France entière pour des séances tous les quinze jours. L'OFM prend en charge chaque année en début d'année scolaire un groupe d'élèves susceptibles de faire partie de l'équipe l'été suivant.

Animath espère que l’on va progressivement se rapprocher du type d’organisation des autres pays.

Je voudrais insister sur deux points : Les résultats aux OIM ne sont pas un but en soi ; ce qui est intéressant c’est de permettre à des élèves doués de découvrir les mathématiques plus difficiles et avancées que celles qu’ils font au lycée. Puis, il ne faut pas se limiter à agir que pour quelques dizaines ou même quelques centaines de jeunes chaque année. Les besoins de formation scientifique sont bien plus globaux. Par exemple, à Hambourg il existe depuis des années un réseau de clubs mathématiques et tous les professeurs de mathématiques de moins de 50 ans ont participé à ces clubs lorsqu’ils étaient élèves eux-mêmes.

MOM : Pourquoi les mathématiques ne sont-elles pas appréciées par un grand nombre d’élèves ?

MA : Une difficulté à laquelle nous sommes tous confrontés est que l’apprentissage des math exige la maîtrise d’un certain nombre d’outils qui finissent par occuper tout l’espace-temps disponible dans l’enseignement. Du coup, les professeurs ne peuvent pas rendre compte du caractère vivant de la discipline, tant sur le plan de la recherche que sur le plan des très nombreuses applications des mathématiques. Les élèves ont l’impression que les mathématiques sont une discipline qui est morte depuis longtemps et qui n’a aucune pertinence dans les activités humaines. Nous devons changer cette perception et montrer qu’il y a une activité de recherche en math, même à ceux qui ne seront pas eux-mêmes chercheurs, et nous devons montrer que les maths ont des liens très forts avec les autres domaines des sciences, y compris les sciences sociales, et que beaucoup d’activités importantes dans la société se basent sur une vraie culture mathématique.

MOM : Pour moi personnellement ce point de vu « utilitaire » est très réducteur. J’ai choisi les études maths car je trouvais ça beau et par défi intellectuel, et beaucoup de mes camarades d’études à la fac l’ont fait pour ces mêmes raisons, tout en sachant qu’ils n’auraient pas de mal de trouver un emploi dans l’industrie une fois obtenu le diplôme.

MA : On peut dire qu’il y a deux catégories de gens. Ceux qui acceptent de jouer le jeu des mathématiques a priori : ils trouvent que les math sont belles et intéressantes en elles-mêmes. Mais il y a tous les autres qui n’accepteront de s’intéresser à une question de math que dans la mesure où cela leur permet de résoudre d’autres problème qui sont au cœur de leurs préoccupations. Même s’il est vrai que les math sont présentes un peu partout, on ne peut pas faire de leur apprentissage un préalable. A Animath, nous avons deux programmes qui cherchent à combler ce déficit dont j’ai parlé. Avec la SMF et avec le soutien du CNRS et de l’INRIA nous avons mis en place les « Promenades mathématiques ». Ce sont des conférences données par des chercheurs dans un établissement scolaire ou dans un lieu culturel au autre. La structure des promenades permet à un enseignant de collège ou de lycée de trouver assez facilement un chercheur susceptible à venir dans son établissement.
Cela est surtout intéressant pour les collèges et lycées éloignés des universités. J’encourage tous les chercheurs à proposer des conférences pour notre catalogue de promenades mathématiques, et évidemment les professeurs de lycée et de collège de nous en demander. La deuxième initiative est celle qui s’appelle « les math ça sert! ». Nos partenaires sont la SMAI et la SFDS et nous sommes soutenus par la fondation « C’Génial ». Là, il s’agit de faire venir dans les classes des ingénieurs, techniciens, gestionnaires, banquiers, architectes... qui, partant de ce qui est fait en classe à l’instant t, montrent comment cette notion de base est pertinente pour leur travail. Ce programme vient de démarrer ce printemps 2011.

MOM : Y a-t-il un concours de projets scientifique pour les lycéens en France ?

MA : Il faut bien reconnaître que la France est très en retard sur ce point. Aux Etats-Unis il existe le concours ISEF (International Science and Engineering Fair), sponsorisé par INTEL. Ce concours a été créé en 1950. En Allemagne il y a le concours « Jugend forscht » (La jeunesse fait de la recherche) qui a été créé en 1966. Ces deux concours sont portés par des fondations indépendantes qui trouvent leurs financements. Aux Etats-Unis les récompenses sont des bourses d’études très importantes. Il existe aussi un concours européen depuis un peu plus de 20 ans qui s’appelle « European Union contest for young scientists ». Tous ces concours s’adressent à des lycéens. Il s’agit pour eux d'effectuer un travail individuel ou en petits groupes (jusqu’à trois ou quatre), à longue haleine (six mois, un an ou plus) sur une question scientifique. En général le travail est suivi par un professeur de lycée, mais souvent se fait également au contact d’un chercheur. J’étais il y a deux semaines invité à Kiel pour assister à la remise des prix du concours « Jugend forscht 2011 ». Pour montrer l’importance que l’Allemagne y accorde, la cérémonie était présidée par Christian Wulff, le président de la RFA. Il y a sept catégories disciplinaires (biologie, chimie, physique, mathématiques-informatique, sciences de l’univers, sciences de l’ingénieur, enseignement professionnel). Au départ il y a environ 6000 projets qui participent aux compétition locales ; ce sont les jeunes eux-mêmes qui déterminent leur sujet, comme de vrais chercheurs, en toute liberté. Puis on en sélectionne une centaine et enfin la moitié entre eux obtient un prix. Quelques exemples de sujets de cette année : en physique, le travail du premier prix, Benjamin Walter (16 ans), portait sur l'interaction entre le coronène et une couche superficielle de germanium. Il s'est demandé s'il serait possible de produire du graphène à partir de ce matériau. En utilisant la microscopie à effet tunnel, il a pu répondre négativement à cette question, mais il a obtenu des informations très intéressantes sur les aspects géométriques et énergétiques de l'interaction coronène/germanium. En chimie, Nico Fleck (15 ans) a travaillé sur la « réaction de Finkelstein », où des molécules organiques se lient avec l'iode; il a étudié l'influence de divers catalyseurs et solutions. Il a déterminé que l'éther couronne accélère la production de canaux iodés.

Les deux projets qui on reçu les premiers prix en mathématiques : l’un était sur la généralisation du problème de coloriage de plan. Il s’agit d’une question posée par Ed Nelson : combien faut-il de couleurs pour colorier le plan en sorte qu’il n’existe pas de points à distance 1 ayant la même couleur. Cette question est encore ouverte aujourd'hui. Ils ont travaillé sur des généralisations et des variantes de ce problème. L’autre projet concernait des question de pavage du plan. La découverte du polygone de Voderberg en 1936 conduit à des formes étonnantes que ce groupe de jeunes chercheurs a explorés, en créant des modifications de la construction de Voderberg. Ils ont également étudié le problème dit de « Heesch » sur la taille des pavages.

Pour la première fois cette année deux équipes françaises ont été invitées au concours ISEF à Los Angeles début mai. Un des deux projets était en physique et avait participé aux « Olympiades la physique en France » et l’autre était un projet en mathématiques qui avait participé au concours « C’génial ». Les deux groupes ont obtenu un quatrième prix ce qui est tout à fait remarquable. Je connais bien le professeur responsable du projet de math, Francis Lauret ; il enseigne dans un collège à Miramas. Cela fait plusieurs années qu’il y anime l’atelier « Euclide » et qu’il fait travailler ses élèves dans le cadre de cet atelier. Le groupe qui a présenté le projet à Los Angeles consistait de deux élèves de 3e du collège, Marine Auriol, Clément Martinez, et d'Arnaud Vespa, un ancien élève qui est maintenant en 1ère. Le titre de leur projet était « Du record du tour du monde à la voile aux trous noirs : d’étranges géométries. Des applications concrètes des théories modernes en mathématiques. » Au départ ils avaient participé au « Vendée Globe » virtuel sur internet, où il fallait trouver la meilleur stratégie pour un skipper. Cela les a amenés d’abord à comprendre la géométrie sphérique, la physique d’un bateau à voile et la météo, mais aussi à concevoir un pilote automatique A partir de là ils se sont intéressés à des géométries non-euclidiennes plus générales, y compris la géométrie tropicale et à ses applications.

En France il existe maintenant plusieurs concours de projets scientifiques mais qui sont à bien plus petite échelle que les concours analogues dans la plupart des autres pays. Il y a le concours « Faites de la science » organisé par les UFR scientifiques. Il y a « C’Génial » organisé par Sciences à l’école. Ces deux concours concernent toutes les disciplines. Il y a aussi les « Olympiades la physique » qui contrairement aux « Olympiades de mathématiques » ne sont pas un concours en temps limité mais un concours de projet.

Il faut mentionner aussi « Maths en jeans », qui est un véritable succès depuis 22 ans ; l’idée est la même, à savoir faire travailler les élèves sur un projet mathématiques à longue haleine mais avec deux différences : premièrement le groupe peut comporter jusqu’à une trentaine d’élèves, deuxièmement il n’y a aucune notion compétitive, la récompense consiste à pouvoir présenter ses résultats au congrès « Maths en jeans ».

Concours de projets et concours en temps limité, avec ou sans compétition, sont complémentaires ; parfois des élèves participent aux deux, mais parfois les concours de projets scientifiques permettent à des élèves qui ne sont pas forcément très bons scolairement d’exprimer tout leur talent. Les concours de projet scientifique français concernent très peu d’élèves, beaucoup moins que par exemple en Allemagne. On peut se demander pourquoi. La première raison est qu’ils sont bien plus récents et qu’ils disposent d’appuis institutionnel et matériel beaucoup moins forts. Mais il y a une raison plus fondamentale : le talent qui peut s’exprimer dans un travail personnel qui dure un an ou parfois plus ne donne aucune indication sur la capacité à réussir dans les épreuves en temps limité qui sont la colonne vertébrale de la tradition française de sélection. Je trouve ça décourageant ! Dans une certaine mesure les sciences expérimentales et les sciences de l’ingénieur sont plus affectées que les mathématiques. En effet, la capacité de réussir des épreuves en temps limité en maths se rapproche plus d’une activité mathématique authentique que ça ne l’est le cas pour les sciences de l’ingénieur ou de laboratoire.

Il reste beaucoup à faire pour que nos concours de projets scientifiques atteignent le niveau de leurs homologues dans d’autres pays. Les exemples que j’ai donnés montrent que ces concours ont un sens en mathématiques. On peut à cet égard mentionner le Concours Shing Tung Yau en Chine qui est un concours de projets mathématiques qui existe depuis 2008. J’aimerais bien qu’on créé un concours de ce type là pour les mathématiques au niveau européen.

MOM : Merci pour cet entretien ! Un mot pour la fin ?

MA : Nous avons évoqué ensemble un certain nombre d'activités périscolaires mathématiques. Il y en a d'autres, comme les stages de mathématiques pendant les vacances, les initiatives spécifiques pour les filles, ou d'autres. Dans ces cas-là, on peut travailler spécifiquement en direction des jeunes des zones défavorisées, qui ont le plus besoin d'être appuyés dans leur parcours scolaire, ou en direction des filles qui ont tendance, on le sait bien, à se détourner des études scientifiques à forte intensité mathématique. Nous aurons peut-être l'occasion d'en reparler.