Palmarès de mots clés insolites pour MathOMan

Les mots clé et les visiteurs de ce blog

Par Mathoman, vendredi 19 juin 2009 à 17:58 - Sujets hors sujet - Tags

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

comment trouver le centre d'un cercle
comment calculer un pourcentage
calculer une circonférence
algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

blog ennuyeux
comment etre elégante en classe
pourquoi pas de belle fille en math spé
faire des math ou pas
comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
comment faire un piege a oiseau qui marche
piege a oiseaux sans piege
thèse doctorat reggae
ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
comment resoudre une equation du premier degre sans pi
jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
apprendre beaucoup en peu de temps
bien gerer son bac avec humour
komen reusir le bac san travailé
avec quelle musique faire des maths ?
comment etre un bon eleve dans la classe
comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
je veux qu'on me calcule cet exercice
comment faire une opération de transformation un homme en une femme
peut on réapprendre les maths à quarante ans
qui fait les math à ma place
demontrer de fausses égalités mathématiques
elle est ferme
image filles sur canapé
colloque proust contrepeterie
les étudiants ne savent plus faire une équation
exercice pour avoir le prix nobel en maths
apres combien de temps un chien oublie son maitre
comment tracer une droites concourantes
apprendre la corégraphie de nobody's perfect
je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
comment trouver le mot je t'aime en math
comment être une fille amusante
comment aimer son mari
maths et masturbation
extrait x les petit nin avec femme
femme qui fait l'amour avec un chien
anssienne metode de multiplication
alain conne salaire
les 3 connes streaming
comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
franque du bosque
ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Quelques paradoxes amusants

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Mine de rien

0 + 0 + 0 = 0, n’est-ce pas ? Et pourtant : 0 + 0 + 0, c’est trois fois rien. Et trois fois rien, c’est déjà un petit quelque chose...

Sur la transitivité de l'implication

Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous. Et plus il y a de trous, moins il y a de gruyère.
Donc : plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère !

Quel est le plus petit nombre ne pouvant pas être défini
en moins de 17 mots en français ?

Soit N le plus petit nombre ne pouvant pas être défini en moins de 17 mots en français. Le plus petit nombre ne pouvant pas être défini en moins de dix-sept mots en français est une expression correcte en français comportant 16 mots. Et N peut être défini par cette phrase, ce qui est contradictoire. Un tel entier N n’existe donc pas.

-----------------------------------------------

Pour finir, une petite devinette pour mes chers lecteurs (laissez vos réponses) :

Qu'est-ce qui est pire que le diable,
mieux que du bon sexe et
ceux qui l'ont à manger en meurent ?

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WolframAlpha : Recherche de mots et de maths à la fois

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Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

$x^3+y^3-\sin(y^2)=1.$

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

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Quelques jeux de mots

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Notre ami bloggeur PB a raison de se plaindre sur le niveau d'orthographe des bacheliers qui sortent des lycées de nos jours. Je trouve très souvent dans leurs rédactions en colles des choses comme ce therme en x² est... Le traitement de l'h par les jeunes est vraiment stupéfiant !

Jeux de mots

L’Arithmétique, c’est comme l’amour : ça commence par un Bezout et ça finit par un Gauss...

Contrepèterie

Tout bon matheux aime changer les maths !

Questions

Quel célèbre personnage se cache derrière ln(3) ?
exp et log font un concours de peinture. Qui gagne ?
exp et ln vont au restaurant. Qui paye l’addition ?
Monsieur Dehun et Madame Egalzéro ont une fille, comment l’appellent-ils ?

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Humour et calembours

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Pour finir la semaine avec un peu d'humour voici quelques jeux de mots.

Tout ce qui est hideux est négatif.

Et le désir s'accroît quand l'effet se recule.

$\forall x \in \mathbb{R}\;:\quad \phi(x)\neq K(x).\qquad$ En effet, si on fait fi de x, on n’en fait pas grand cas...

Voici un drôle de sketch extrait d'une série norvégienne d'il y a quelques années. Il s'agit d'une sorte de Tech Support médieval, juste au moment de l'apparition d'un tout nouveau moyen de stockage d'information : le livre.

La remarque que fait le moine à son consultant IT du helpdesk est d'ailleurs très typique pour de telles périodes de transition : le système précédent, les rouleaux, seraient plus pratiques que les livres, ils n'y avait pas toutes ces pages à tourner...

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Les rectangles revisités

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Dans les commentaires à la question sur un pavage de rectangles notre cher bloggeur PB disait d'avoir entendu de l'existence d'une solution qui utilise le produit tensoriel, mais malheureusement il ne la connaissait pas. D'abord ça m'intrigait — car où est le produit tensoriel dans tout ça? Or finalement un lien entre nos rectangles et cette structure algébrique est assez plausible; en effet, la loi de distributivité des tenseurs

$x\otimes y + x'\otimes y=(x+ x')\otimes y$

devrait correspondre à la fusion de deux rectangles ayant le côté $y$ en commun.

Donc hier j'ai pris le temps d'y réfléchir pour retrouver cette fameuse solution! En fait elle est très simple, sans astuce, elle ne fait qu'utiliser la propriété de distributivité ci-dessus.

Notons $x$ (resp.) $y$ la largeur (resp. hauteur) du grand rectangle $R$ , et de même $x_j$ (resp. $y_j$ ) pour les petits rectangles $R_j, \;j\in J$ , qui partitionnent $R$ . Alors on a

(*) $\sum_{j \in J} x_j\otimes y_j = x\otimes y\,.$

Pour prouver cette égalité il suffit de prolonger les côtés des petits rectangles comme indiqué sur la figure pour avoir une subdivision à laquelle on peut appliquer la propriété de distributivité:

Maintenant on regarde l'égalité (*) dans le produit tensoriel

$\mathbb{R}/\mathbb{Z} \:\otimes_{\mathbb{Z}}\:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\,,$

c'est-à-dire on prend les longueurs modulo $\mathbb{Z}$ . D'après hypothèse on a $x_j\otimes y_j = 0$ donc $x\otimes y=0$ et par conséquence $x=0$ ou $y=0$ . En autres mots, la largeur ou hauteur du grand rectangle est entière.

Update : Malheureusement cette preuve est erronée. Cherchez l'erreur... ou lisez mon commentaire no.13 ci-dessous.

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A la recherche des mathématiques perdues

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Quand les maths influencent la litérature française

Un amour de Swann, le deuxième livre autonome de la trilogie Du côté de chez Swann de Marcel Proust, est paru en 1913. A cette époque la théorie des ensembles et la théorie des groupes venaient d'être inventées et connaissaient un grand essor.
Je m'imagine bien l'écrivain Proust lors d'une réception un dimanche après-midi chez un représentant de la nomenklatura scientifique parisienne, disons chez le grand mathématicien Henri Poincaré ; on y joue des arrangements pour violon et piano des opéras de Wagner, on parle de poésie ou d'art chinois. Proust, le snob, s'isole dans le salon à côté et trouve sur la table une revue scientifique avec la dernière publication de son hôte. Il l'ouvre sur la première page, commence à lire et n'y comprend pas grand'chose — mais les mots et formulations lui plaisent...

Bon, vous direz que j'ai trop d'imagination ! Alors jugez par vous-même... voici la phrase avec laquelle commence Un amour de Swann :

Pour faire partie du « petit noyau », du « petit groupe », du « petit clan » des Verdurin, une condition était suffisante mais elle était nécessaire [...]

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3$ . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que $\;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\;$ et $\;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.$

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole $\:\simeq\:$ signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude $\mathbb{P}^n$ dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans $\mathbb{R}^{n+1}$ . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de $\mathbb{R}^{n+1}\:$ :

la boule $\;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,$
$\:$
la sphère $\;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,$
$\:$
l'hémisphère nord $\;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.$
$\:$

Le bord de la boule $\mathbb{B}^{n+1}$ est la sphère $\mathbb{S}^n$ . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' $\mathbb{B}^{n+1}$ par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons $\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,.$ Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

$\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />$

Questions

Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule $\mathbb{B}^n$ et son bord $\mathbb{S}^{n-1}$ dans les cas n=1,2,3.
Démontrer que $\;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.$
$\,$

Cliquez pour lire la Solution.

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Question sur les groupes topologiques

Par Mathoman - Tags

Un groupe topologique est un ensemble G munie d'une structure de groupe et d'une topologie telles que la loi interne

$G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,$

et la formation d'inverse

$G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},$

sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l'algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l'exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

Soient G et H des parties denses de $\mathbb{R}$ et $f :\: G \rightarrow H$ une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient $x_0\in G$ et $\epsilon>0$ . Puisque H est dense dans $\mathbb{R}$ on a $H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset$ . Donc il existe
$y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.$
De même il existe $y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,.$ A cause de la surjectivité de f on peut écrire $y_k=f(x_k)$ avec $x_k\in G, k=1,2$ . On pose $\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)$ . Alors pour tout x dans G
$\begin{align*}x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}$
ce qui montre que f est continue en $x_0$ . La preuve de la continuité de la réciproque $f^{-1}$ est la même.
Soient G et H des parties denses et dénombrables de $\mathbb{R}$ . Alors elles sont homéomorphes.

D'abord nous écrivons
$\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}$
Maintenant nous allons énumérer G et H d'une autre manière, et Le but est de faire de sorte que est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
- k=0. On prend $x'_0=x_0,\;y'_0=y_0$
- k=1. On prend $x'_1=x_1$ . Pour le choix de $y'_1$ regardons l'ordre de $x'_0$ et de $x_1'$ .
  Si $x'_1<x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H inférieur à $y'_0$ .
  Si $x'_1>x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H supérieur à $y'_0$ .
- k=2. On prend comme $y'_2$ le premier élément de $H\setminus\{y'_0,y'_1\}$ de la liste (**). Pour choisir $x'_2$ regardons l'ordre de $y'_0,y'_1,y'_2$ .
  Si $y'_2$ est inférieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G inférieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est supérieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G supérieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est entre $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G entre $x'_0$ et $x'_1$ .
- k=3. On prend comme $x'_3$ le premier élément de $G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\}$ de la liste (*). Pour le choix de $y'_3$ regardons l'ordre de $x'_0,x'_1,x'_2,x'_3$ . Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
  Si $x'_3<x'_0<x'_1<x'_2$ on prend comme $y'_3$ un élément de H inférieur à $y'_0,y'_1,y'_2.$
  Si $x'_2<x'_3<x'_0<x'_1$ on prend comme $y'_3$ un élément de H entre $y'_2$ et $y'_0$ .
  Et ainsi de suite.
Les groupes topologiques $G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ et $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ répondent au problème.

D'après ce qu'on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes topologiques $f :\, G \to H$ . Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité
$f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning$
impossible dans $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ .

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La collection d'exercices de Vladimir Arnol'd

Par Mathoman - Tags

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Trivium mathématique (fichier pdf).

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Vladimir Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, dans l'hôpital Saint-Antoine à Paris.

Mise-à-jour : JLT n'a pas chômé pendant le mois de juillet et a résolu la plupart des exercices !

Restent encore à faire: les no. 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74.

Les solutions des exercices se trouvent dans les commentaires (pour déplier cliquer ci-dessous) mais ne sont pas dans l'ordre. Pour s'y retrouver utilisez la fonction find (Ctrl+F) de votre browser et recherchez le numéro de l'exercice par exemple sous la forme "no.54" ou "no.04".

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Groupes cycliques (vulgarisation)

Par Mathoman - Tags

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)

Calculer la date ou l'heure -- activité maths 6e

Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

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