Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

°             °             °



°             °             °



°             °             °

Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...

MathOMan relie 9 points avec 4 droites

Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.

Bin trace une cercle et son centre

Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Nombres complexes
2. Nombres complexes (deuxième tour)
3. Fonctions usuelles
4. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
5. Géométrie en basses dimensions
6. Géométrie en basses dimensions (deuxième tour)
7. Courbes planes
8. Coniques
9. Programme mixte I
10. Programme mixte II
11. Nombres réels et limites
12. Fonctions continues
13. Fonctions continues et fonction dérivables
14. Fonctions dérivables. Groupes
15. Fonctions dérivables. Groupes
16. Polynômes. Limites

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:

1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?

Réponses:   Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

Dans ce billet j'ai posé l'exercice de montrer que la loi binaire

x¤y := x(y²+1)^½+y(x²+1)^½

définit une structure de groupe sur l'ensemble des réels. Le seul obstacle est l'associativité; la preuve n'est pas très difficile (il s'agit d'un simple transport de la loi + par le sinus hyperbolique). Mais avec Maple je n'arrive pas à faire la preuve par force brute; en effet, je ne sais pas comment faire en sorte que le logiciel simplifie l'expression concernée (tandis que le logiciel Xcas y arrive, comme l'a remarqué Tukikun).

Dans le même esprit, je me demande si quelqu'un arrive à démontrer avec Maple que, sur les courbes elliptiques (réelles), l'addition par la méthode des sécantes est associative. Je n'y suis pas arrivé.

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

Sur cette page des remarques et documents destinés aux étudiants qui suivent mes cours et TD à l'UVSQ en 2011/2012.

• Polycopié — Cours, exercices & corrigés (mise à jour le 05/02/2012)
  Il est possible que vous devez ré-actualiser la page (touche F5).
   
• Exos à préparer pour la séance TD du 15 février : 3.4, 3.6, 3.7, 3.10, 3.12
   
• Contrôle continu 1 : 22 février 2012 dans votre groupe de TD (carte d'étudiant)
   
• Contrôle continu 2 : 28 mars 2012 de 18h30 à 20h dans l'amphi 1 (carte d'étudiant)
   
• Toute absence non-justifiée par un certificat médical donne lieu à la note 0.
  Note globale = (moyenne des notes de CC + note de partiel) / 2
  La note globale doit être au moins 10 pour que la matière soit validée.
  En session 2, la moyenne des notes de CC intervient seulement si elle est supérieure à la note du partiel session 2.

• TD no.1 — Enoncé des exercices
• Patrons des solides de Platon — Réalisation: Carole Le Bellier

Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que et

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de :

• la boule
  
• la sphère
  
• l'hémisphère nord
  

Le bord de la boule est la sphère . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire




Questions

1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule et son bord dans les cas n=1,2,3.
2. Démontrer que
   
3. Démontrer que
   
4. Démontrer que
   
5. Démontrer que
   

Cliquez pour lire la Solution.

Dans ma vie musique et mathématiques tiennent une place à peu près égale. Les deux me passionnent, me procurent du plaisir, m'étonnent toujours et font que je reste un éternel élève. Quand je dis aux gens que je partage mon temps entre musique et maths, ça ne les surprend pas ; les mathématiques et la musique seraient liées, disent-ils. Mais en quoi consiste ce lien ? Généralement on me donnne trois types de réponses :

1. La musique et les maths sont abstraites.
2. Les deux utilisent des systèmes de notation illisibles pour le commun mortel.
3. On y fait des calculs.

A mon avis tous ces points restent un peu à la superficie.

1. Oui, les maths sont abstraites car elles sont construites sur un système d'axiomes qui n'est pas imposé par l'observation de la nature (comme les lois physiques) mais par un choix arbitraire soumis seulement à la logique ; et la musique est abstraite car elle ne dit rien de concret (comme une pièce de théâtre) et car on ne peut pas la toucher (comme une sculpture).
2. Oui, les deux font recours à des systèmes d'écriture qu'il faut apprendre. Mais dans les deux cas la fixation par l'écrit n'est qu'un moyen et pas la finalité ; le théorème de Pythagore existe sans qu'un géomètre grec le trace dans le sable, et la musique existe pour être écoutée et non pour être lue. De plus, pas toutes les musiques sont écrites ; le solfège était inventé pour la musique classique européenne et ne se transpose pas forcément aux musiques d'autres cultures qui fonctionnent par transmission orale ou à la musique électronique de nos jours.
3. Oui, dans les deux on peut être amené à faire des calculs. Mais encore les calculs ou la combinatoire ne constituent pas la finalité, ni dans la musique sérielle ou dodécaphonique, ni dans une triple-fugue de Bach, ni chez Bartók quand il place le climax d'un mouvement au moment qui correspond au nombre d'or.

Toutes ces réponses oublient un point essentiel qui, à mon avis, caractérise à la fois les sciences mathématiques et l'art de la musique :

La polyvalence des objets, ou le changement de référence

Une grande partie du travail d'un mathématicien consiste à considérer un même objet mais sous plusieurs angles différents, puis de traduire les observations d'un point de vue à l'autre. Ce qui est étonnant c'est qu'on peut en tirer, de ce pur travail de traduction, des conclusions intéressantes ! Et la même chose est vraie en musique ; une même mélodie, un même rythme, une même harmonie peuvent être ça ou ça. Ca l'air assez flou, je vais m'expliquer sur des exemples simples.

Ca mais aussi ça — les maths comme la science des différents points de vue

Mon prof de physique avait l'habitude de se moquer des matheux qui, selon lui, ramènent tout énoncé à des affirmations triviales du genre 0 = 0. Il est vrai que les maths construisent un monde à partir de très peu. L'essentiel se fait en traduisant des différents points de vues. Proposons nous par exemple de prouver l'affirmation suivante.

Proposition sur l'orthocentre. Les hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire se coupent en un point commun.

Les hauteurs se coupent en un point

Preuve. Soit ABC un triangle. Rappellons que, par définition, la hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Il ne faut pas la confondre avec la médiatrice sur [BC] qui, par définition, est perpendiculaire à [BC] et passe par le milieu de [BC].
Il est facile de voir que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. En effet, la médiatrice sur [AC] est l'ensemble des points équidistants à A et C ; et de manière analogue c'est vrai pour les deux autres médiatrices. Donc le point d'intersection des médiatrices sur [AC] et [BC] est équidistant à A et C et à B et C, donc il est aussi équidistant à A et B. Par conséquence il se trouve sur la médiatrice sur [AB].
En fait, l'intersection des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit

Maintenant revenons au problème de l'intersection des hauteurs. Nous construisons un nouveau triangle A'B'C' comme indiqué dans le dessin suivant.

Les hauteurs du petit triangle ABC sont les médiatrices du grand triangle A'B'C'

Les droites (AB) et (CA') sont parallèles ; de même (AC) et (BA'). Donc ABA'C est un parallélogramme, d'où l'égalité AB=CA'. De même on montre AB=B'C. Il en resulte que B'C=CA' ou encore que C est le milieu de [A'B']. Par conséquence la hauteur issue de C dans le triangle ABC coïncide avec la médiatrice sur [A'B'] du triangle A'B'C'. On peut faire le même raisonnement sur les deux autres hauteurs. Dire que les les hauteurs de ABC sont concourantes revient donc à dire que les médiatrices de A'B'C' sont concourantes — et nous savons que cette dernière affirmation est vraie, q.e.d.

Résumé. Les trois hauteurs d'un triangle sont aussi les médiatrices d'un autre triangle. L'essentiel de la preuve consiste en la traduction d'un point de vue dans l'autre. L'objet mathématique, ici une droite, peut être est ça, mais aussi ça. C'est de la pure ambivalence, et le mathématicien en est le traducteur !

Un autre exemple est celui du problème des fourmis sur une tige qui semble compliqué au premier abord, mais est finalement trivial si on change de référentiel.

Ca mais aussi ça — la musique comme l'art de l'ambivalence

Un exemple basique concerne le rythme. Beaucoup de compositeurs (notamment Brahms) utilisent le fait que le nombre six est 3+3 mais aussi 2+2+2. Pour ceux qui connaissent le solfège (et le calcul des fractions), cela se traduit par l'égalité 6/8=3/4. Par conséquence on peut très bien faire la contrebande de quelques mesures 3/4 dans un morceau 6/8, sans gêner le groove général de la musique (au contraire ça en rajoute). Je crois que l'exemple le plus connu est la chanson I like to be in America de la West Side Story de Leonard Bernstein.

Un autre exemple vient de l'harmonie. Comme nous venons parler de triangles en maths, parlons de triades (accord de trois notes) en musique. Prenons par exemple l'intervalle La-Do. Cette petite tierce peut faire partie de la triade La-Do-Mi (La-mineur) aussi bien que de la triade Fa-La-Do (Fa-majeur). C'est donc ça, mais aussi ça ! Une astuce des compositeurs est d'utiliser cette ambivalence au début d'une musique comme moyen de laisser l'auditeur dans le flou. Il ne sait pas si ça va aller vers mineur ou majeur ! Gustav Mahler le fait de manière géniale dans son fameux Adagietto (4^e mouvement de la cinquième symphonie). En plus, il nous trompe encore à l'arrivée avec une appogiature, c'est-à-dire il nous fait entendre simultanément les deux tonalités La-mineur et Fa-majeur, seulement la harpe et le pizzicato de la basse confirment avec la fondamentale qu'on est bien dans Fa.

Gustav Mahler : Adagietto de la 5ème symphonie

Pendant deux mesures l'auditeur craint d'être dans La-mineur, et quand il s'affirme finalement Fa-majeur, quelle satisfaction ! Vous pouvez l'écouter ci-dessous. Evidemment ce n'est qu'un exemple très basique et on en trouve beaucoup d'autres plus recherchés dans la littérature musicale (notamment les modulations ou l'enharmonie qui sont en analogie avec l'exemple des triangles cité en haut).

Ecouter cette musique ici.

Un dernier point commun entre maths et musique : c'est beau et ça ne sert à rien (enfin l'utilité n'est pas leur but premier). Mais une grande différence : les maths sont seulement belles pour ceux qui les font, tandis que la musique peut-être appréciée passivement.

D'ailleurs il y a des gens, plus formés que moi, qui réfléchissent aux liens structurels entre maths et musique et qui publient des recherches sérieuses sur ce sujet. De temps en temps je vais dans leur séminaire MaMuPhi à l'Ircam. Je me rappelle en particulier d'un exposé donné par le mathématicien et pianiste de jazz Guerino Mazzola ; il faisait le lien entre théorie des faisceaux et structure musicale. Je connais les faisceaux, je connais la musique, mais apparemment pas assez profondément pour avoir compris ces liens... Finalement, dans les deux domaines je ne suis qu'un working mathematician ou working composer qui ne se soucie pas trop des fondements souterrains ;-)

Citation de Paul Erdös (1913-1996)

Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful. If they aren't beautiful, nothing is.

Depuis quelques jours je possède un MacBook Pro. C'est le troisième système d'exploitation que je rencontre dans ma vie. Mon premier était Unix à l'université ; je l'utilisais principalement pour envoyer des emails avec Eudora, pour éditer du code LaTeX dans Emacs et pour programmer un peu en Html.

C'est seulement plus tard, lorsque je me suis acheté un PC, que j'ai fait la connaissance du système d'exploitation du plus riche homme de la planète. Mais je ne l'utilisais pas exclusivement ; en fait mon PC avait une double-fonction pour moi : je le bootais soit sous Linux pour faire du LaTeX comme avant, soit sous Windows pour lancer d'autres applications qui n'existent pas en Linux (principalement des logiciels de MAO, comme Cubase). Plus tard, j'ai découvert MiKTeX de Christian Schenk, une version Windows de LaTeX qui marche très bien avec TeXnicCenter ; cela sonnait alors le glas à mon utilisation de Linux car je pouvais enfin faire fonctionner LaTeX et mes applications audio favoris sous un même système d'exploitation, à savoir Windows.

Alors, dans ce monde si parfait, qu'est-ce qui m'a poussé à acheter un MacBook Pro ? Il y avait principalement deux raisons. D'abord la qualité hardware des PC portables m'a deçu — les touches, le boîtier, tout commencait à se dégrader après un ou deux ans, même avec des bonnes marques comme HP. Beaucoup de mes amis me conseillaient alors les ordinateurs à la pomme. Et il est vrai, mon nouveau MacBook Pro est vraiment agréable à toucher et semble fait pour durer. L'autre raison était que certains logiciels de musique comme le fameux Metasynth de mon ami Eric Wenger ne fonctionnent que sur Mac.

Grâce à BootCamp mon Mac démarre maintenant avec WinXP. Cela me permet de travailler comme toujours avec MiKTeX. Contrairement à ce que je craignais, WinXP fonctionne parfaitement sur le Mac — donc pas de problème au niveau software.

Mais voilà ma grande déception, elle vient plutôt de la hardware : le clavier du Mac. Le clavier du MacBook est conçu pour être chic sans être pratique ! L'élégance a emporté sur la fonctionnalité. Les touches indispensables pour coder en LaTeX n'y existent pas :

Plus précisément, elles existent et sont accéssibles en combinaison avec la touche alt mais il faut connaître leurs emplacements par cœur. C'est assez désagréable. Je ne comprends vraiment pas comment on a pu laisser de côté ces touches si importantes pour tout programmeur.

Sur un Mac on cherchera aussi en vain d'autres touches qu'on connaît d'un PC :

Dans l'édition LaTeX ou Html ces touches sont très pratiques si on veut, par exemple, sélectionner rapidement toute une ligne pour la copier-coller une page plus bas. Leur absence sur le Mac (sous Windows) implique qu'on doit utiliser plus souvent la souris pour sélectionner ou pour descendre et cela signifie une perte de temps ainsi qu'un manque de comfort.

En résumé : Je déconseille le MacBook à tous ceux qui doivent écrire des longs fichiers en un langage de programmation. Le Mac est certainement bon pour un usage multimédia. Pour ceux qui souhaitent, comme moi, faire les deux sur une même machine, ma recommandation est d'acheter plutôt un PC.

Dans mon dernier billet sur l'enseignement des mathématiques je parlais du système américain et allemand des devoirs maison hébdomadaires. Je me félicite du succès de ce billet : en effet, les responsables de l'enseignement des maths en cycle préparatoire à l'école d'ingénieurs Estaca l'ont lu et ont décidé la mise en place de ce système à partir de la rentrée prochaine.

Aujourd'hui j'aimerais parler d'une autre idée pour rendre plus efficace le contrôle des acquis des étudiants : les questionnaires à choix multiples. Traditionnellement nous, les matheux, nous n'aimons pas les QCM. Nous considérons les mathématiques comme une sorte d'art où le chemin du raisonnement choisi et la grâce avec laquelle on danse sur ce chemin, c'est-à-dire le style de rédaction, sont aussi importants que le résultat à trouver. Et cela ne peut pas être évalué par un QCM. — C'est vrai. Or quand nous corrigeons les partiels en premier cycle nous faisons souvent l'expérience que très peu d'étudiants savent rédiger correctement une suite d'idées. Et la remarque suivante montre que ce phénomène perdure même dans les semestres supérieurs : L’utilisation des hypothèses données dans l’énoncé doit être signalée au moment opportun et non en vrac en début de question, afin de montrer l’articulation du raisonnement (extrait du rapport du jury de l'agrégation 2009).
Il y a donc un décalage entre nos attentes et les résultats. Et ce n'est pas étonnant car le système des TD actuel n'apprend une rédaction cohérente. Comme le professeur de TD ne peut pas contrôler l'écrit de chacun, les étudiants ne font que recopier une rédaction exemplaire au tableau — ce qui est déjà une bonne chose mais ne suffit point, ça serait comme si on voulait apprendre à jouer le violon en écoutant Gidon Kremer. On revient donc au problème déjà cité de l'efficacité des TD...

Alors à quoi bon d'évaluer les étudiants par des choses sur lesquelles ils n'ont pas eu l'occasion de s'entraîner ? J'ai donc décidé, pour ma part, de faire désormais l'évaluation en forme de QCM (dans les établissements qui n'ont pas mis en place un système de correction de devoirs maison). Mon premier tel examen 100% QCM peut être consulté ici.

Quelles sont les compétences mathématiques qu'on peut évaluer par un QCM ? A mon avis, un bon pourcentage des méthodes au programme d'un premier cycle en école d'ingénieur ou en tronc commun de L1 : dériver, intégrer, systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, etc. D'après ce que j'ai vu c'est déjà suffisant pour trier les bons et les mauvais étudiants ;-)

Recherche de collaborateurs

Maintenant je viens avec une proposition concrète : qui a envie de participer à établir une base d'exercices en ligne en forme de QCM ? Qui est-ce qui a déjà de l'expérience en ce domaine (peut-être avec WIMS) et souhaite la partager ? L'idée serait la suivante.

• Une grande base de questions serait disponibles en ligne pour que les étudiants puissent s'entraîner chez eux.
• Une autre partie de questions serait reservée aux épreuves que les étudiants passent dans les salles d'ordinateur le jour de l'examen.
• Les résultats étant calculés automatiquement il n'y aura plus de travail de correction ni erreur d'évaluation possible.
• Une fois la base d'exercices créée et assez grande, on peut la rentabiliser et organiser des évaluations très fréquentes...
• Les exercices ne devraient pas forcément être interactives, originales ou d'une grande valeur pédagogique en e-learning (comme souvent dans WIMS), car ils serviraient uniquement à évaluer, l'enseignement en TD restant inchangé.