Le IERS (International Earth Rotation & Reference Service) de l'observatoire de Paris nous apprend qu'aujourd'hui, dernier jour de l'année 2008, il faudra arrêter nos montres à 23:59:59 pendant une seconde avant de passer au nouvel an 2009.
En effet, pour différentes raisons astronomiques la terre ne tourne pas toujours avec la même vitesse autour du soleil, c'est-à-dire les années n'ont pas toujours la même durée (si on la compare avec les ultra-précises horloges atomiques) ; et cette année notre chère terre a trainé un peu sur son chemin ! Mais cela n'a rien de nouveau, c'est la 24^e fois depuis 1972 qu'elle nous oblige à être indulgents et de corriger son petit retard pris au cours de l'année en lui accordant la seconde supplémentaire le dernier jour.

Donc vous avez une seconde de plus pour prendre vos bonnes résolutions pour 2009. Et n'oubliez pas de mettre à jour l'heure de votre ordinateur grâce au réglage de l'heure par internet...

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

Mystères de la psychologie

Posez les deux questions suivantes à un ami.

"Comment demandes-tu l'heure à un sourd?" — Probablement il fera un geste.
"Comment demandes-tu un peigne à un chauve?" — Probablement il fera également un geste... au lieu de demander simplement!

Exemple:

Presque tout le monde tombe dans ce piège. Et très souvent, si plusieurs personnes sont présentes, ce n'est pas la personne à laquelle on a adressé la parole qui répond mais une autre qui se sent moins observée!

Nous mathématiciens sommes les spécialistes de la généralisation. Si nous avons trouvé une méthode pour résoudre un problème particulier nous essayons de l'adapter à des situations similaires ou plus générales. Nous sommes (dé)formés ainsi et ça fonctionne — au prix que ça n'aboutit pas toujours à la méthode la plus élégante.

Les juristes, en revanche, ont l'habitude de considérer chaque cas de manière indépendante. En effet, tout avocat sait que le fait d'avoir gagné un procès aujourd'hui n'implique pas qu'un procès identique sera gagné demain.
Je posais la question du peigne aussi à mes amis juristes et avocats. Sans avoir procédé à une statistique fiable, j'ai l'impression que le pourcentage des piégés est inférieur chez eux que chez les mathématiciens.

Deux autres exemples:

Il y a beaucoup de lycées français dans le monde entier mais il n'y a qu'un seul bac français. Ca demande une grande organisation (gérée par l'Agence pour l'enseignement français à l'étranger title="AEFE - Agence pour l'enseignement français à l'étranger"), car les dates des épreuves varient de continent en continent. Le candidats métropolitains s'intéressent chaque année au sujets de bac posé à Pondichéry en Inde, qui est le premier centre d'examen de l'hémisphère nord à passer le bac. Cette année la date de l'épreuve de maths en Inde était le 16 avril.

Je viens de mettre en ligne le sujet de l'épreuve de mathématiques de la série ES et j'ai rédigé un corrigé.

Je trouve toujours intéressant les barèmes des QCM. Dans cette épreuve le QCM est sur 3 points, et ça se présente ainsi :

Pour chacune des quatre questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.

Forcément, si on n'attribue jamais de total négatif alors, en termes de probabilités, c'est un jeu à espérance strictement positive, c'est-à-dire un candidat mal préparé a tout intérêt à répondre au hasard plutôt que de rien répondre. En fait, faisant le calcul, on trouve qu'un candidat répondant au hasard peut s'attendre à obtenir une moyenne de sur cet exercice à 3 points.

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

Je suis mathématicien et je sais calculer, presque toujours correctement mais pas brillamment. Les génies en calcul mental m'ont toujours impressionné. A l'école, quand j'avais douze ans, j'avais un ami qui calculait plus vite (et plus juste) que notre prof ; par exemple il trouvait très rapidement si un grand nombre (plus grand qu'un milliard) était divisible par 7 ou non. Je le trouvais toujours très intelligent ; il n'est pas devenu mathématicien mais médecin.

Le travail d'un mathématicien-chercheur est de raisonner, le calcul n'est qu'un outil pour arriver à ses fins. Mais quelques s'intéressent aussi au calcul mental et s'y perfectionnent. Par exemple l'américain Arthur Benjamin du Harvey Mudd College en Californie. Voici une belle vidéo de sa prestation :

L'allemand Rüdiger Gamm joue dans un autre registre . Il n'est pas mathématicien (n'a pas fait de bac) et ne semble pas s'intéresser au raisonnements mais uniquement aux calculs. Selon les chercheurs ses compétences étonnantes ne relèvent pas seulement du calcul en temps réel mais de la mémorisation d'une immense banque de données. La manière dont il stocke ces données et comment il y accède si rapidement est un secret que lui-même ne se pas vraiment expliquer. Dans la vidéo ci-dessus il donne la première centaine des chiffres de l'écriture décimale de la fraction 62/167. Après un temps de recherche silencieux il se lance dans la récitation des chiffres, et c'est plus rapide que je ne pourrais les lire...

A chacun son cerveau. Celui des chimpanzés réserve également des surpises. Des primatologues ont trouvé qu'ils sont capables des mémoriser la localisation de chiffres affichés seulement pendant une fraction de seconde à l'écran d'un ordinateur ; ensuite ils les touchent dans l'ordre croissant. Essayez de faire aussi vite qu'eux dans cette vidéo !

Probablement ces sont des capacités que nos ancêtres avaient également lorsqu'ils cherchaient des fruits sur des arbres, en passant par une liane. Or aujourd'hui homo sapiens n'en a plus besoin, donc le gène correspondant s'est perdu chez nous au fil de l'évolution.

Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste. On peut réaliser cette illusion optique dans son propre appartement ; voici une vidéo avec un cube.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

• La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
• Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

• Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
• Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

• Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...


• La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.