On demande à plusieurs scientifiques : "Combien vaut pi ?"
L'ingénieur répond : "C'est approximativement 3 et 1/7."
Le physicien dit : "C'est 3,14159"
Le mathématicien réfléchit un instant et répond : "C'est égal à pi".

Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kaluza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.
Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé. A la fin, le mathématicien et l'ingénieur, qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."

Un biologiste, un physicien et un mathématicien sont assis à la terrasse d'un café et regardent les passants. De l'autre côté de la rue, ils voient un homme et une femme entrer dans un immeuble. 10 minutes plus tard, ils ressortent avec une troisième personne.
 — Ils se sont multipliés, dit le biologiste.
 — Oh non, une erreur de mesure, s'écrie le physicien.
 — S'il rentre exactement une personne dans l'immeuble, il sera de nouveau vide, conclut le mathématicien.

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur voyagent à travers l'Ecosse et voient un mouton noir par la fenêtre du train.
"Aha," dit l'ingénieur, "je vois que les moutons écossais sont noirs."
"Hmm," dit le physicien, "tu veux dire que certains moutons écossais sont noirs."
"Non," dit le mathématicien, "tout ce qu'on sait est qu'il y a au moins un mouton en Ecosse, et qu'au moins un côté de ce mouton est noir !"

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

integral log(sin(x))

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

La fameuse Médaille Fields, équivalent en maths du prix Nobel, est seulement attribuée a des mathématiciens d'au plus 40 ans. On veut ainsi éviter que cette récompense soit donnée à un mathématicien émérite seulement à cause de sa grande réputation. Alors se pose la question, à quel âge un mathématicien a-t-il sa plus grande force ? Jean Dieudonné en donne sa réponse dans son Abrégé d'histoire des mathématiques ; et il y parle comme un botaniste parlerait de la croissance d'une plante précieuse :

La vocation mathématique s'éveille le plus fréquemment aux environs de la seizième année [...] Toutefois, contrairement à une opinion assez répandue, le début de la période créatrice se situe rarement avant l'âge de 20 à 25 ans ; les cas de Pascal, Clairaut, Gauss et Galois sont exceptionnels. Si les conditions extérieures sont favorables à son activité, on peut escompter qu'un mathématicien créateur continuera à découvrir des résultats importants jusque vers 50 ou 55 ans ; on cite quelques exemples de beaux théorèmes démontrés par des sexagénaires, mais on n'en connaît guère dont l'auteur ait dépassé 70 ans.

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n.

Etudes dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

Je suis mathématicien et je sais calculer, presque toujours correctement mais pas brillamment. Les génies en calcul mental m'ont toujours impressionné. A l'école, quand j'avais douze ans, j'avais un ami qui calculait plus vite (et plus juste) que notre prof ; par exemple il trouvait très rapidement si un grand nombre (plus grand qu'un milliard) était divisible par 7 ou non. Je le trouvais toujours très intelligent ; il n'est pas devenu mathématicien mais médecin.

Le travail d'un mathématicien-chercheur est de raisonner, le calcul n'est qu'un outil pour arriver à ses fins. Mais quelques s'intéressent aussi au calcul mental et s'y perfectionnent. Par exemple l'américain Arthur Benjamin du Harvey Mudd College en Californie. Voici une belle vidéo de sa prestation :

L'allemand Rüdiger Gamm joue dans un autre registre . Il n'est pas mathématicien (n'a pas fait de bac) et ne semble pas s'intéresser au raisonnements mais uniquement aux calculs. Selon les chercheurs ses compétences étonnantes ne relèvent pas seulement du calcul en temps réel mais de la mémorisation d'une immense banque de données. La manière dont il stocke ces données et comment il y accède si rapidement est un secret que lui-même ne se pas vraiment expliquer. Dans la vidéo ci-dessus il donne la première centaine des chiffres de l'écriture décimale de la fraction 62/167. Après un temps de recherche silencieux il se lance dans la récitation des chiffres, et c'est plus rapide que je ne pourrais les lire...

Probablement ces sont des capacités que nos ancêtres avaient également lorsqu'ils cherchaient des fruits sur des arbres, en passant par une liane. Or aujourd'hui homo sapiens n'en a plus besoin, donc le gène correspondant s'est perdu chez nous au fil de l'évolution.

Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez ont réalisé une très belle série de films en images de synthèse sur les mathématiques. Chaque vidéo est un récit scénarisé d'un mathématicien qui raconte ses découvertes d'une manière très compréhensible. C'est bien écrit et les visualisations correspondent exactement au texte ; on prend le temps d'expliquer ce type de maths sans beaucoup de formules.

Cliquez sur l'image

Le niveau recquis des différents épisodes est très divers. Aux lycéens en terminale S je recommande l'épisode 5 qui explique de manière simple ce que c'est un nombre complexe.
En revanche, les épisodes 7 et 8 qui parlent, entre autres, de la fibration de Hopf, vont plutôt profiter aux initiés en topologie en basses dimensions.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Il y a un peu plus d'un an je parlais ici pourquoi après le bac j'ai choisi d'étudier les mathématiques. Et quelques lecteurs ont apporté leurs propres témoignages. Pour la plupart c'était un choix de passion, pas de raison. En fait, les études de math, en particulier les deux premières années, demandent un tel effort pour comprendre ce nouveau langage qu'il est difficilement imaginable que quelqu'un le fasse juste pour obtenir un diplôme. (Diplôme qui, en France, peine à être valorisé en dehors des institutions universitaires ou de recherche. Dans d'autres pays comme l'Allemagne c'est bien différent.) En plus, le métier d'un mathématicien peut être difficilement expliqué à des non-mathématiciens ce qui fait que pour un bachelier ça reste plutôt mystérieux...
Mais les temps évoluent, les mathématiques se diversifient et envahissent de plus en plus d'autres branches de sciences et technologies. Par conséquence le monde de l'industrie s'ouvre de plus en plus aux diplômés en mathématiques et c'est pour cette raison que la SMAI organise 1er Forum Emploi Mathématiques qui se tiendra jeudi 26 janvier 2012 à Paris. Conseil à tous les étudiants en maths: inscrivez-vous!

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Vladimir Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, dans l'hôpital Saint-Antoine à Paris.

Mise-à-jour : JLT n'a pas chômé pendant le mois de juillet et a résolu la plupart des exercices !

Restent encore à faire: les no. 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74.

Les solutions des exercices se trouvent dans les commentaires (pour déplier cliquer ci-dessous) mais ne sont pas dans l'ordre. Pour s'y retrouver utilisez la fonction find (Ctrl+F) de votre browser et recherchez le numéro de l'exercice par exemple sous la forme "no.54" ou "no.04".