Les chercheurs en mathématiques appellent hand waving une manière d'expliquer une idée oralement et avec les mains, sans faire appel à un formalisme poussé. Dans certaines situations, cette démarche est justifiée et peut être très efficace.

Si on veut être méchant on pourrait dire que, pour expliquer sa nouvelle découverte un mathématicien a besoin de

• ses mains et 15 minutes s'il s'adresse à un collègue dans la cafétéria de son centre de recherche,
• cinq transparents et 60 minutes s'il l'expose dans un séminaire,
• vingt pages qui demandent trois jours de lecture, s'il la publie dans une revue scientifique.

Le problème est que les mathématiques demandent la précision totale, et celle-ci nécessite un formalisme exacte et sans ambiguïté. Oralement, en faisant des dessins avec les mains dans l'air ou sur un brouillon, on peut toujours guider son interlocuteur et l'empêcher de mal comprendre. Mais ce n'est pas le cas en communication écrite où l'auteur est obligé de traduire ses idées en un formalisme que le lecteur devra ensuite retraduire en idées!
Beaucoup d'énergie est perdue dans ces efforts de traduction et re-traduction. Pour minimiser ces efforts le lecteur doit s'entraîner à maîtriser le formalisme et l'auteur, de son côté, doit inventer un formalisme facile à lire et avec des notations intuitives --- et, si possible, ajouter des dessins à son texte!

Malheureusement, dans beaucoup de manuels universitaires, il n'y a pas assez de dessins. Peut-être c'est dû à la paresse des auteurs qui rédigent en LaTeX où il est beaucoup plus rapide d'écrire cinq lignes de formules que de faire un dessin avec PSTricks...

Moi, personnellement, lorsque j'étais étudiant j'adorais les livres de Klaus Jänich, parus dans la série Undergraduate Texts in Mathematics chez Springer, très bien écrits et agrementés de nombreux dessins; en particulier son livre sur la topologie et son livre sur les fonctions holomorphes m'ont beaucoup aidé.
C'est cette démarche, avec beaucoup d'illustrations, que nous avons adoptée pour la rédaction de notre livre Mathématiques L1 pour la première année en université ou en classe prépa.

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

Dans la Quinzaine universitaire no.1336 page 11 (11 juin 2011) publiée par le SNALC (Syndicat national des lycées et collèges), on peut lire un article sur l'évolution du salaire et du pouvoir achat des professeurs. Dans les calculs qui sont présentés on trouve à peu près toutes les erreurs qu'il faut éviter quand on fait des calculs de pourcentage. En gros, l'auteur écrit ceci:

En 1981 je gagnais 158% du salaire le plus bas (SMIC) et en 2009 je gagnais 193% du SMIC. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat a augmenté de 35%, soit 1,25% par an.

N'étant pas économiste je ne suis pas certain qu'il est légitime de calculer le pouvoir d'achat en prenant le SMIC comme référence (ça semble faux, voir par exemple ici ou là) — mais cela n'est pas mon reproche ici. Mathématiquement les calculs sont complètement faux!

• Première erreur: Une augmentation de 35% en 28 ans ne correspond pas à une augmentation annuelle de 1,25% mais à une augmentation annuelle de environ 1,08%.
  Il est vrai que 35% divisé par 28 vaut 1,25%; or augmenter une quantité 28 fois par 1,25% revient à la multiplier par 1,0125²⁸, ce qui vaut environ 1,42 et correspond donc à une augmentation totale de 42% et pas de 35%. En revanche 1,0108²⁸ = 1,35 (arrondi).

En général, il ne faut jamais prendre la somme de pourcentages de variation mais le produit de leurs coefficients multiplicateurs. Pour donner un exemple plus simple: deux augmentations successives de 50% font une augmentation globale de 125% (et pas de 100%) car 1,5×1,5=2,25.

• Deuxième erreur: Pour passer de 158% à 193% on ne fait pas une augmentation de 35% mais de 22%. En effet 193/158 vaut 1,22 environ. (Cela fait 0,72% par an.)

En résumé, l'auteur est passé à côté d'une belle occasion pour souligner son propos car en réalité les chiffres concernant la faible progression de son pouvoir d'achat en 28 ans sont encore pire! La bonne version serait:

En 1981 je gagnais 158% du SMIC et en 2009 c'était 193%. Donc dans ces 28 ans mon pouvoir d'achat (référencé à celui d'un Smicard) a augmenté de 22%, soit 0,72% par an.

Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Nombres complexes
2. Nombres complexes (deuxième tour)
3. Fonctions usuelles
4. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
5. Géométrie en basses dimensions
6. Géométrie en basses dimensions (deuxième tour)
7. Courbes planes
8. Coniques
9. Programme mixte I
10. Programme mixte II
11. Nombres réels et limites
12. Fonctions continues
13. Fonctions continues et fonction dérivables
14. Fonctions dérivables. Groupes
15. Fonctions dérivables. Groupes
16. Polynômes. Limites

Lorsque j'ai travaillé avec Gérald Calderon sur le film Origine Océan nous avons consacré une petite scène à un être unicellulaire nommé LUCA (Last Universal Common Ancestor), notre dernier ancêtre commun universel dont sont issues l'ensemble des espèces.

On peut se poser la question amusante s'il existe un LUMA (Last Universal Math Ancestor) — et pour répondre à cette question on peut s'aider d'une base de données de l'université américaine NDSU.

Il s'agit d'un arbre généalogique qui permet d'associer à chaque docteur en mathématiques du monde entier son directeur de thèse. Ainsi j'ai découvert que si je remonte six générations, je trouve parmi mes aïeux l'illustre Hermann von Helmholtz. Mais mon cousin Detlev qui a soutenu sa thèse en 2001 fait encore mieux : il est un descendant scientifique de Hilbert et donc du prince des maths Carl Friedrich Gauß !

Récemment Mister V m'a envoyé deux vidéos de type comique réalisées par lui-même avec les moyens du bord (webcam). Ce sont des podcast traitant avec humour des différentes péripéties de chaque élève devant ses devoirs de maths au soir.

En particulier il se moque des exercices de mathématiques qui prétendent résoudre des problèmes de la vraie vie de tous les jours. Et il a raison. Je pense qu'un grand nombre de ce type de questions dans les manuel scolaires sont très artificielles. A mon avis, pour faire la propagande des maths vaut mieux poser des questions stimulantes par leur beauté abstraite et rigoureuse que faire semblant d'apporter des réponses à nos problèmes quotidiens.

Je souhaite du succès à ce jeune comédien plein de talent !

D'après un classement récent du Wall Street Journal, être mathématicien est le meilleur métier !

Je ne sais pas comment ce sondage a été fait mais je peux confirmer que quand j'interroge mes anciens collègues d'études de mathématiques aucun n'est mécontent de son choix d'études. Et ils travaillent aujourd'hui dans des domaines très différents, autant dans le public que dans le privé, dans des banques, des ministères, des centres de recherche, des universités, des entreprises bio-médicaux, dans le consulting, dans l'informatique... L'un parmi eux l'a résumé ainsi : En choisissant les maths je ne me suis pas fixé, car ça laissait toutes les portes ouvertes.

Quant à moi, mon choix d'études n'était pas aussi pragmatique, je me suis laissé guider par ma passion. Après avoir hésité entre les études de musique ou de biologie marine, c'étaient finalement les maths qui ont emporté. La principale raison était que je voulais comprendre et ne pas apprendre.
Le premier déclic venait lors d'un séjour à Grenoble où j'étais en classe de Seconde au Lycée Stendhal. Notre professeur était un certain Mr Fluchaire et le programme de l'époque était encore passionnant car conceptuel (ce qu'on ne peut pas dire des programmes d'aujourd'hui — lire par exemple ces lamentations). Je me rappelle en particulier du cours sur les barycentres qui m'ont fasciné.
En même temps j'étais obligé de suivre le programme en Allemagne en lisant un manuel scolaire, à savoir Anschauliche Analysis. D'ailleurs je ne connais pas de livre scolaire utilisé dans les lycées d'aujourd'hui qui est d'une même qualité (voir par exemple ces extraits 1, 2, 3 et 4).

Le deuxième déclic venait d'un ami au même lycée Stendhal ; il était plus grand (déjà en première !) et était une sorte d'exemple pour moi. Il ma racontait des choses intéressantes sur les cardinaux des ensembles, je n'y comprenais pas grande chose mais ça m'intrigait...

Enfin, le troisième déclic venait au moment quand je suis rentré en Allemagne où on nous enseignait la définition de la continuité d'une fonction avec epsilon-delta. Bien qu'on ne nous demandait pas de preuves avec des majorations compliquées c'était le concept même de cette définition qui a éveillé mon intérêt pour les maths et la logique. J'ai beaucoup aimé l'idée que la fonction définie par 1/x était continue car le quantificateur ne s'applique pas au point zéro qui n'est pas dans l'ensemble de définition... J'ai compris à cette occasion qu'on pouvait tout affirmer sur les éléments de l'ensemble vide. C'était de la pure logique !

Appel aux témoignages : Quel déclic vous a fait étudier les maths ? Racontez vos souvenirs !

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Pour bien réussir un concours le mieux c'est de le préparer avec des annales. C'est aussi vrai pour le premier concours que vous passerez dans votre vie : le baccalauréat.

Le style de sujets de bac de mathématiques ne change pas soudainement d'une année à l'autre. Mais il peut être différent des exercices que vous trouvez dans votre manuel scolaire ou que votre professeur vous pose en classe. Si vous maîtrisez bien les sujets des cinq dernières années, je crois le jour du bac vous n'aurez pas de mauvaises surprises. C'est pourquoi je vous conseille de vous préparer avec des sujets corrigés de bac en mathématiques.

Il est important aussi d'apprendre à gérer son temps. Si par exemple votre épreuve de bac dure trois heures, trouvez un créneau libre de trois heures non-interrompu pour vous enfermer dans votre chambre en éteignant le téléphone, l'ordinateur, la télé et concentrez vous sur le sujet. Prenez ensuite une bonne pause afin de comparer vos solutions avec le corrigé. Après une semaine refaites le même sujet pour contrôler si vous avez retenu les méthodes du corrigé...

En général, je vous conseille une règle valable pour tous les apprentissages (musique, sport, etc.) : travaillez d'abord la justesse, puis la rapidité, et pas dans le sens inverse ! Au départ votre but n'est pas de répondre à toutes les questions mais de donner des réponses complètes et justes aux exercices que vous maîtrisez ; plus tard la rapidité viendra de façon automatique. Un correcteur préfère une copie qui traite seulement la moitié des questions mais de manière correcte à une copie qui traite toutes les questions avec la moitié des réponses fausses !

Un dernier conseil: les sujets de bac nécessitent jamais de très longs calculs. Si vous avez besoin d'une page de calcul pour prouver une question, votre solution est peut-être juste mais elle est certainement trop longue. Donc même si vous savez faire un exercice, prenez quand même le temps de survoler le corrigé afin de vous impregner d'une rédaction concise qui dégage les points importants. Cela tient en particulier pour les candidats qui aspirent à la mention au bac!

Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

°             °             °



°             °             °



°             °             °

Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...

MathOMan relie 9 points avec 4 droites

Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.

Bin trace une cercle et son centre

Pour me rendre à vélo depuis le 11e arrondissement de Paris (et oui, cette chanson existe même dans ma langue !) jusqu'à la fac de Versailles j'essaye beaucoup de parcours différents. Autrement dit je pratique une sorte de calcul de variations pour trouver le chemin optimal. Ce n'était pas évident de faire un bon compromis entre plusieurs minimisations simultanées : le chemin le plus court, le chemin avec le moins de voitures et le chemin avec le moins de dénivelé...

L'un des parcours que j'ai testés passe devant un bâtiment abandonné à Meudon. Il est délabré, ses fenêtres sont pleines de graffiti et il y a déjà un panneau permis de démolir planté devant. Je me suis arrêté pour en prendre quelques photos. Pour savoir de quel immeuble il s'agit cliquez sur la deuxième image !

Meudon — immeuble prêt à casser... (cliquez sur la deuxième image)

C'est l'occasion pour féliciter mon ami Achim à Grenoble qui vient de soutenir son habilitation, probablement dans le but de quitter cette institution au futur incertain pour devenir professeur universitaire ;-)