Constat : Lacunes dans le post-bac

Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :

A éviter : dénominateur inutilement grand

Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est car c'est le plus petit nombre qui contient les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...

Les nombres premiers ont disparu du collège

Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.

Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.

Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :

• On apprend à décomposer un grand problème en petits problèmes, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes — ou les briques d'un jeu de légo.
• On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
• Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot ou.
• Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot et. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités.
• On apprend sa table de multiplication...

On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Son seul avantage est qu'il marche bien avec les très grands nombres — autrement dit, il n'a aucun intérêt pédagogique... Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élevés, nombres qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers était donc une grave erreur et qui plus tard devient source de lacunes ; en plus c'était une occasion manquée de réviser les tables de multiplication.

Plus de vraies constructions géométriques au collège ?

Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :

Bissection d'un angle.  On ne fait plus appel à la symétrie !

Bissectrice — méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique

Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :

Bissectrice — la vraie construction intéressante

Parallèle à une droite.  En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :

Parallèle passant par un point — méthode avec peu d'intérêt

Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires.

Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans [X].

• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si P et Q sont de même degré, peut-on en déduire que P=Q ?
• Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si on a la propriété similaire pour b, peut-on en déduire que P=Q ?

Recemment notre ami bloggeur PB, à la recherche d'un logement pour lui est son serveur, a relevé la question sur les compétences des agences immobilières. Je pensais à lui lorsque je suis passé devant une agence immobilière située rue des Tournelles dans le 4e arrondissement de Paris. Ca doit être bien difficile de manipuler autant de zéros toute la journée ! On savait bien que le prix du mètre carré est très élévé à Paris, mais à ce point ?

Affiche chez une agence immobilière rue des Tournelles — Peut-être ciblent-ils des riches investisseurs étrangers... ;-)

Existe-t-il des nombres rationnels tels que est irrationnel ?
Existe-t-il des nombres irrationnels tels que est rationnel ?

Il bien connu (voir par exemple mon billet ou celui de Fabien sur les connaissances de élèves en terminale ou encore l'article de Michel Delord sur la maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième) que les exigences pour passer d'une classe à l'autre du cursus scolaire ont baissé. Les lacunes ainsi accumulées deviennent presque insurmontables, de manière qu'à la fin on est obligé de donner le bac assez facilement (voir par exemple cet excellent article sur la baisse de niveau du bac de physique ou ces réflexions sur la différence de niveau du bac entre la métroploe et la Réunion).

Quelles sont les conséquences pour les études supérieures que, selon les projets politiques, devraient entamer et réussir 50% des jeunes ? Voici un constat pratique. Recemment j'étais à la cafétéria d'une université parisienne. Sur le comptoir on avait posé cette affiche :

Vu à la fac : tableau de prix pour les nuls

D'abord je me suis dit que le CROUS de Paris propose un tarif dégressif pour des commandes groupées — mais non, il s'agit simplement d'un tableau nécessaire aux nombreux étudiants qui ne savent pas calculer quatre fois six... Le socle commun pour entrer en fac, finalement à quel niveau est-il ? Faut-il introduire les nombres négatifs pour le mesurer ?

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

• Multiplication posée du bon élève.




 

• Méthode du cancre.
 




Mode d'emploi : A gauche on prend toujours la moitié en arrondissant, s'il le faut, vers le bas ; à droite on prend toujours le double. Puis on supprime les lignes (en noir) dont le nombre gauche est pair et à droite on additionne les lignes restantes (en rouge).
 
 

• Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).
On sépare chaque facteur en deux parties

puis on effectue les multiplications suivantes :



Le résultat est ensuite

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
 
Questions

1. Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
2. Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
3. Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
4. En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Des élèves qui ne viennent pas le jour du contrôle, c'est l'horreur de tout prof qui doit alors concocter un deuxième sujet pour le rattrapage. On comprend donc que très souvent ce deuxième sujet sera un peu plus difficile... Voici une belle petite histoire que des collègues m'ont écrite :

Ce sont quatre taupins qui ont un DS de math le lundi à passer. Ils vont faire la fête toute la nuit du dimanche à l’occasion de l’anniversaire de l’un d’entre eux. Seulement, ils ne se réveillent pas le fameux lundi matin et vont voir mardi le professeur pour s’excuser. Ils lui demandent alors de rattraper le lendemain en argumentant qu’ils ont crevé une roue sur le chemin en guise d’excuse. Le professeur accepte finalement.
Les étudiants bossent toute la nuit et arrivent le matin confiants à l’examen. Le professeur les met dans des salles différentes et leur donne le sujet d’examen qui comporte deux questions.
La première est sur 1 point. Chacun la lit dans son coin et trouve cela très facile. En effet, la question est : « Quelle est la raison qui vous a empêché de passer le DS prévu lundi ? ». Après, ils tournent la page et la seconde question, sur 19 points, est : « Quelle roue a été crevée ? »

Question (niveau probabilités classe de première)

Quelle est la note moyenne (valeur d'expectation) des quatre élèves à laquelle il faut s'attendre ?

Incitation à la réflexion

Pourra-t-on intégrer la question précédente comme troisième question au contrôle sans provoquer une boucle logique ?

Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

1. Nombres complexes
2. Nombres complexes (deuxième tour)
3. Fonctions usuelles
4. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
5. Géométrie en basses dimensions
6. Géométrie en basses dimensions (deuxième tour)
7. Courbes planes
8. Coniques
9. Programme mixte I
10. Programme mixte II
11. Nombres réels et limites
12. Fonctions continues
13. Fonctions continues et fonction dérivables
14. Fonctions dérivables. Groupes
15. Fonctions dérivables. Groupes
16. Polynômes. Limites