Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !

Comme l'espérance semble à la mode aujourd'hui, voici un autre problème de proba.

On dispose d'une infinité de bâtons de longueur un mètre. On prend le premier, on le casse en deux pièces, le point de cassure étant au hasard. On choisit au hasard l'une des deux pièces, on la garde et on jette l'autre. Puis on fait la même chose avec le deuxième bâton, puis le troisième, etc. En moyenne, combien de bâtons doit-on casser pour que les pièces gardées font une longueur cumulée d'au moins un mètre?

Notre ami bloggeur PB a raison de se plaindre sur le niveau d'orthographe des bacheliers qui sortent des lycées de nos jours. Je trouve très souvent dans leurs rédactions en colles des choses comme ce therme en x² est... Le traitement de l'h par les jeunes est vraiment stupéfiant !

L’Arithmétique, c’est comme l’amour : ça commence par un Bezout et ça finit par un Gauss...

Tout bon matheux aime changer les maths !

1. Quel célèbre personnage se cache derrière ln(3) ?
2. exp et log font un concours de peinture. Qui gagne ?
3. exp et ln vont au restaurant. Qui paye l’addition ?
4. Monsieur Dehun et Madame Egalzéro ont une fille, comment l’appellent-ils ?

Recemment notre ami bloggeur PB, à la recherche d'un logement pour lui est son serveur, a relevé la question sur les compétences des agences immobilières. Je pensais à lui lorsque je suis passé devant une agence immobilière située rue des Tournelles dans le 4e arrondissement de Paris. Ca doit être bien difficile de manipuler autant de zéros toute la journée ! On savait bien que le prix du mètre carré est très élévé à Paris, mais à ce point ?

Affiche chez une agence immobilière rue des Tournelles — Peut-être ciblent-ils des riches investisseurs étrangers... ;-)

Hier j'ai reçu deux choses amusantes (un exercice et un document powerpoint) que je vais partager avec vous ainsi qu'un outil pratique :

Exercice :  Trouver toutes le fonctions injectives f de l'ensemble des nombres naturels dans lui-même telles que f(f(n)) est inférieur ou égal à (n+f(n))/2 pour tout naturel n.

Powerpoint :  Le français est choisi comme langue européenne (document pps).
Bonne lecture, votre bloggeur Perna !

Outil pratique pour le prof :  Pour nos cours nous, mathématiciens, préférons la craie au powerpoint, pour des raisons didactiques. Et nous préférons la craie aux feutres sur tableaux blancs, pour des raisons de développement durable. Mais le problème avec la craie c'est qu'après il faut se nettoyer les mains, comme le fait sur la photo ci-dessous mon ami J.P. Marco avant de recevoir les handshakes de certains auditeurs de son brillant exposé :

CQFD — et Jean-Pierre Marco se frotte les mains

Depuis hier j'utilise un porte-craie. Il évite de se salir les mains et en plus, grâce à un mécanisme qui tient la craie, on peut utiliser les bouts de craie jusqu'à leur fin ce qui fera, à long terme, des économies de consommation de craie. On en trouve deux modèles, pour des craies de diamètre 12mm et pour des craies de diamètre 10mm.

La langue des français ne finit pas par me surprendre. Ils ne faut pas toujours prendre à la lettre ce qu'ils disent. Par exemple il a quarante balais ne signifie pas qu'il s'agit d'un collectionneur d'outils de nettoyage, non mais quel manque d'imagination de la part de l'étranger que je suis, évidemment il fallait comprendre qu'on compte ici les années...

Mais encore plus bizarres sont les deux expressions suivantes qui inversent le sens. Contrairement à ce qu'on devrait croire t'inquiète ne signifie pas inquiète-toi mais ne t'inquiète pas ! Et fais gaffe ne veut pas dire fais une gaffe mais ne fais pas de gaffe !

J'avoue qu'en ma patrie, la Bavière, aussi il y a des illogismes. Par exemple, on peut entendre des bavarois dire i hob koa Mo net gsehn. Traduction en allemand correct : ich habe keinen Mann nicht gesehen. La double-négation kein/nicht en allemand fait une affirmation, mais pas chez les bavarois car ils aiment faire chose à part du reste de l'Allemagne.

En général, une négation en mathématiques et en langue est ce qu'on appelle une involution, c'est-à-dire une opération qui appliquée deux fois nous ramène au point de départ. Comme la multiplication avec -1. Si je multiplie deux fois par -1 je retrouve le nombre initial car -(-x)=x. Un autre exemple d'involution est une réflexion, par exemple par rapport à un plan : l'image miroir d'un image miroir est l'image initial.

Blague : A Krka lors de la conférence mondiale bi-annuelle des linguistes un chercheur fait un exposé détaillé sur les principes de la double-négation. Il explique alors qu'une double-négation est équivalente à une affirmation, mais qu'une double-affirmation ne peut jamais, mais vraiment jamais produire une négation. Après une heure son exposé compliqué en MindMaps et PowerPoint, avec des matrices, des équations comme et se termine, les scientifiques s'apprêtent à applaudir quand soudainement vient du dernier rang de l'amphi un Oui, oui...

Exercice : Un condamné est dans une pièce avec deux portes, chacune gardée par un gardien. Il sait que l'une des portes amène à la liberté et l'autre à la prison et que l'un des gardiens dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours. Il a le droit de poser à un gardien au choix une seule question à réponse oui/non, puis il a le droit de sortir par la porte qu'il veut. Quelle question posera-t-il et quelle porte prendra-t-il ensuite ?

Remarque : Il existe une solution bien connue. Mais il existe aussi une autre qui ne suppose même pas que chaque gardien soit au courant qu'il existe une autre porte avec un autre gardien.

Dans un post récent mon collègue bloggeur PB a constaté qu'une trop grande partie de ses élèves en prépa ne savent pas conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé et qu'ils écrivent souvent « on a montrer que… » dans leurs copies.

Je pense que la compréhension de la structure grammaticale d'une langue est fondamentale pour l'apprentissage des mathématiques. Je la situerais au même niveau que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une structure fondamentale à connaître pour ne pas écrire de bêtises. Malheureusement l'enseignement scolaire actuel ne transmet plus cette hygiène de base, de sorte que de telles lacunes se prolongent jusqu'aux classes préparatoires...

Voici donc une «recette» permettant d'éviter l'erreur la plus fréquente : la confusion entre les terminaisons -er, -é, -ez. On peut l'appliquer sans vraiment comprendre ce que c'est un infinitif, un participe composé et une deuxième personne au pluriel (de toutes manières ceux qui comprennent ces notions ne font probablement pas d'erreurs).

L'idée est simple : remplacer le verbe du premier groupe par un autre verbe, puis se fier à la prononciation. Par exemple on a les correspondances suivantes.

montrer/apprendre/voir,    montrez/apprenez/voyez,    montré/appris/vu.

Il suffit alors de procéder par analogie. Au lieu du verbe montrer utilisez l'autre verbe (apprendre, voir, etc.), puis testez laquelle est la bonne conjuguaison en lisant à haute voix.

Quelques règles de grammaire pour les nuls

FAUX	CORRECT	DONC PAR ANALOGIE
on a apprendre que...	on a appris que...	on a montrer montré que...
vous devez apprenez...	vous devez apprendre...	vous devez montrez montrer...
je viens de vu que...	je viens de voir que...	je viens de montré montrer que...
le lemme qu'on a voir	le lemme qu'on a vu	le lemme qu'on a montrer montré
ce qu'il devait compris	ce qu'il devait comprendre	ce qu'il devait montré montrer
Quel lemme voir-vous ?	Quel lemme voyez-vous ?	Quelle femme aimer aimez-vous ?

C'est bizarre, je ne suis pas français mais je crois que je fais moins d'erreurs de conjuguaison que la moyenne des bacheliers français. Je fais des fautes sur les prépositions (par exemple je ne sais pas si on dit j'aide un élève à faire ses devoirs j'aide un élève de faire ses devois ou j'aide un élève faire ses devois) et parfois je n'utilise pas le passé correct (dans ma langue maternelle, l'allemand, on utilise de manière indifférente l'imparfait et le passé composé), mais jamais ça ne me viendrait à l'esprit d'écrire « on a montrer que… »

Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit un cercle, A,B deux points distincts sur et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

Dans les commentaires à la question sur un pavage de rectangles notre cher bloggeur PB disait d'avoir entendu de l'existence d'une solution qui utilise le produit tensoriel, mais malheureusement il ne la connaissait pas. D'abord ça m'intrigait — car où est le produit tensoriel dans tout ça? Or finalement un lien entre nos rectangles et cette structure algébrique est assez plausible; en effet, la loi de distributivité des tenseurs
 

devrait correspondre à la fusion de deux rectangles ayant le côté en commun.

Donc hier j'ai pris le temps d'y réfléchir pour retrouver cette fameuse solution! En fait elle est très simple, sans astuce, elle ne fait qu'utiliser la propriété de distributivité ci-dessus.

Notons (resp.) la largeur (resp. hauteur) du grand rectangle , et de même (resp. ) pour les petits rectangles , qui partitionnent . Alors on a

Pour prouver cette égalité il suffit de prolonger les côtés des petits rectangles comme indiqué sur la figure pour avoir une subdivision à laquelle on peut appliquer la propriété de distributivité:
 

 
Maintenant on regarde l'égalité (*) dans le produit tensoriel

c'est-à-dire on prend les longueurs modulo . D'après hypothèse on a donc et par conséquence ou . En autres mots, la largeur ou hauteur du grand rectangle est entière.

Update : Malheureusement cette preuve est erronée. Cherchez l'erreur... ou lisez mon commentaire no.13 ci-dessous.

A l'occasion de la solution d'un joli exercice de type colle sur les matrices (voir le blog de Pierre Lecomte), je suis naturellement amené à poser la question suivante.

Soit A une matrice inversible à coefficient dans un corps. Alors par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en la matrice unité. En fait c'est la méthode du pivot de Gauss qui permet cela. On en déduit que A est un produit de matrices correspondantes aux trois types d’opérations élémentaires (permutation de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout d’une ligne à une autre).
Cette écriture en produit est pratique car elle permet de prouver plein de choses. Par exemple, pour montrer que le déterminant conserve les produits il suffit de le vérifier pour la multiplication entre une matrice de ce type et une matrice quelconque — et c'est tout facile.

Or comment ça se passe-t-il sur un anneau ? Plus précisément :

Soit R un anneau commutatif et A une matrice carrée avec coefficients dans R telle que det(A) est une unité de R. On sait que A est une matrice inversible (c’est du classique, voir par exemple ici pour la formule qui donne l'inverse en fonction de (det A)^-1 et de la comatrice).
Question : Peut-on ramener A à la matrice unité par des opérations élémentaires ?

Peut-être avez-vous déjà réfléchi là-dessus et connaissez la réponse...