Une preuve à prendre avec précaution
Par Mathoman, dimanche 8 novembre 2009 à 23:17 - Maths pour tous - Tags
Le fait que
est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration
de cette égalité.
On poseX = 0,99999...Alors on a l'égalité10X = 9,99999...dont on soustrait la première,9X = 9,00000...D'où X = 1.
Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve
mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 fois 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.
Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :
Une bien meilleure méthode
On pose X = 0,99999... et on admet (!) que
0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X
donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.
En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.
Autrement dit,Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD
Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.
Brenoms
D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.
Pourquoi ne pas lire aussi :
La notation binaire
Par Mathoman - Tags
Ceux qui ont vu le film Matrix se rapellent des suites constituées des chiffres 0 et 1 qui défilent sur l'écran presque interminablement, comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela un "nombre binaire", mais cette appellation est mal choisie, mieux est de l'appeler "écriture binaire d'un nombre naturel". Pour mieux comprendre cette écriture bizarre faisons un petit détour.
Les nombres naturels
Les nombres naturels sont le premiers que nous avons appris à l'école : zéro, un, deux, trois, quatre,... Il y en a une infinité, car à chaque nombre on peut ajouter 1 :
zéro = 0 , un = 1 , deux = 1+1 , trois = 1+1+1, quatre = 1+1+1+1 , etc.
Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que l'écriture primitive par bâtons qu'on trouve sur les murs des prisons : par exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place pour des grands nombres. Pour éviter cela on utilise une ruse, que j'illustre d'abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :Le système décimal
Il fonctionne comme suit.
- Nous convenons que les dix premiers nombres (zéro, un, deux, trois, ..., huit, neuf) soient représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
- Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9+1 ou encore le dix, est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
- Puis on donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples:
et
.
signifierait le nombre sept et
signifierait
(c'est-à-dire
dans notre système décimal habituel).Dans toutes les langues que je connais il y a les noms particuliers "onze" et "douze" ; on dit "vingt-deux", mais on ne dit pas "dix-deux", on dit "douze". Cela montre qu'il fût un temps où nous ne comptions pas dans en dizaines mais en douzaines.
Le système binaire
Maintenant au lieu de prendre dix chiffres nous nous contentons du minimum syndical, des deux chiffres 0 et 1. C'est vraiment le minimum car avec un seul chiffre nous ne pourrions pas aller très loin, nous serions restreints à la notation primitive par bâtons |||| .
La juxtaposition
signifie alors le nombre deux et
signifie
, c'est-à-dire
, donc cinq dans notre système décimal habituel.Ecrivons quelques nombres naturels dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal :
0 est 0, 1 est 1, 10 est 2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est 6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.
est
,
est
,
est
(un méga)Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C'est simplement parce que les ordinateurs utilisent le système binaire pour compter. En effet, la manière la plus simple pour communiquer avec une machine c'est de lui donner seulement deux signaux (et pas trois ou plus), comme oui/non, comme on/off, comme gauche/droite (dans les leviers de la machine en bois) ou comme haut/bas, etc.
Exemples de passage d'un système à l'autre
Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :
- Soit
un naturel écrit dans le système binaire. Alors dans le système décimal c'est le nombre 
- Soit
un naturel écrit dans le système décimal (!). Pour le transformer en écriture binaire nous devons d'abord trouver la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans
. Nous savons que
et que
. Donc
est la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans
et ainsi l'écriture binaire de
nécessitera onze chiffres le premier étant 1. Nous avons
La plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans
est
On est passé de la dixième puissance directement à la sixième ; les trois puissances "sautées" (neuvième, huitième, septième) sont représentées par des zéros. Donc l'écriture binaire de notre nombre commence par les cinq chiffres
On poursuit de la même manière :
; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans
est
Puis
; la plus grande puissance de 2 qui "rentre" dans
est
. Le dernier reste est
Ainsi nous obtenons
(notation binaire). - Pour nous rassurer de notre dernier résultat faisons le test et re-transformons l'écriture binaire en écriture décimale. Le nombre
en binaire devient en décimal
donc
(notation décimale).
Racines des polynômes unitaires
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Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires.
Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans
[X].
- Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si P et Q sont de même degré, peut-on en déduire que P=Q ?
- Si l'ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est identique à celui où Q prend la valeur a et si on a la propriété similaire pour b, peut-on en déduire que P=Q ?
Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard
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A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:
Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe etun recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert
soit
une fonction holomorphe injective telle que
sur toutes les intersections
. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.
Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...
En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.
Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.
Exemple typique pour le théorème de Picard
La fonction définie par
est holomorphe sur
et possède une singularité essentielle en
. L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme
pour tout
, cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe
et pour tout
il existe une infinité de nombres complexes
tels que
et
.Calcul direct avec cet exemple
Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul
et un
Il existe alors deux réels
et
tels que
Pour tout
posons
et
Alors
.Ainsi on a on a

Par conséquence, en prenant
assez grand, on voit que
possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé
.Un exemple moins évident
Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par
.On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul direct...
Rationnel vs. irrationnel
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tels que
est irrationnel ?Existe-t-il des nombres irrationnels
tels que
est rationnel ?Revisitons la multiplication !
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- Multiplication posée du bon élève.
- Méthode du cancre.
- Méthode de Karatsuba (publiée en 1962). On sépare chaque facteur en deux parties





L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.
Questions
- Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
- Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
- Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
- En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.
Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie elle s'appelle donc la multiplication chinoise !
L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.
Conseils aux étudiants pour une bonne rédaction
Par Mathoman - Tags
Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.
Syntaxe d'une assertion
Une assertion (ou proposition) mathématique est une phrase contenant un verbe. Les verbes mathématiques sont par exemple
7 + 1 = 8
est une assertion (qui est vraie), et1 < 0
est une assertion (qui est fausse). Mais7+1
n'est pas une assertion car elle ne contient pas de verbe, donc on ne peut pas se demander si elle est vraie ou fausse. Entre deux assertions équivalentes on n'écrit pas = mais le symbole
. Ce symbole étant lui-même un verbe c'est donc un emboîtement d'assertions (pensez aux poupées russes).Ecrire
![1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; [1,5]](http://www.mathoman.com/CACHE/tex_ea5e6cd3d5b098d4e1c60d1e170e7817.png)
![1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in [1,5].](http://www.mathoman.com/CACHE/tex_44cb09ca058418b7d7ddb38ebd5c0441.png)
Il ne suffit pas de mettre un verbe pour avoir une assertion, il faut aussi que la syntaxe soit correcte. Par exemple écrire
et
n'ont pas de sens. Mais
et
sont des assertions (qui sont vraies d'ailleurs).Le langage mathématique suit les mêmes règles que notre langage habituel (phrase principale, phrase relative, conjonctions,...). Si quelqu'un vous disait
pouvez-vous dire qu'il dit la vérité ou non ? Non, vous ne pouvez pas ! Or c'est précisément ce que certains étudiants (de plus en plus nombreux) écrivent trop souvent sur leurs copies de mathématiques : des juxtapositions de symboles qui ne donnent aucun sens. Et donc nous, les correcteurs, ne pouvons pas donner de point pour ce charabia.Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec
Les symboles ne sont que des raccourcis d'écriture. Vous devriez être capables de rédiger sans eux. Si la traduction en langage français de ce que vous écrivez à l'aide de symboles n'a pas de sens, alors il y a un problème.
Introduire les objets avant leur utilisation
Ne faites jamais apparaître un objet sans l'introduire. Par exemple n'écrivez pas
.
Notant S l'ensemble de solutions de l'équation x²-6x+5=0 on obtient...Mais cela est bien lourd. Ecrivez donc plus simplement
.Exemples de bonne syntaxe
Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.
Théorème 1. Soit. Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur
si et seulement si a > 0.
Théorème 2. Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sursi et seulement si a > 0.
Théorème 3. Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur.
Exemples de mauvaise syntaxe
Les théorèmes 4 et 5 ci-dessous ne sont pas des assertions (syntaxe incorrecte) donc impossible de dire s'ils sont vrais ou faux.
Le théorème 6 est une assertion très mal formulée. (Elle est vraie, réfléchissez-y !)
Théorème 4.. Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur
si et seulement si a > 0.
Théorème 5. Pour tout réel x la fonction f définie par f(x)=ax est strictement croissante sursi et seulement si a > 0.
Théorème 6. Il existeLa preuve du théorème 2 devrait commencer comme suit.tel que la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur
si et seulement si a > 0.
Preuve du théorème 2. Soit a un réel. Blabla...En revanche, écrire
soit a un réeldans la preuve du théorème 1 serait très confus car le réel a est déjà donné par l'énoncé du théorème 1.
Mauvaise rédaction de la preuve
Preuve du théorème 2 (version débutant). Soit a un réel.Trois erreurs :
Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.
On voit sur l'inégalité ax < ay ...
. Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écriresoit x et y...
.- La fin du raisonnement
devrait être...
n'est pas clair. - Le débutant écrit
il faut montrer que...
puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire du résultat voulu alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer que...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire :Soit a > 0. Pour montrer que la fonction la fonction de l'énoncé est strictement croissante je vais prouver que sa dérivée est strictement positive
.
Bonne rédaction
Preuve du théorème 2. Soit a un réel.
Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.
Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité 0 = f(0) < f(1) = a.
Structure d'une preuve
Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :
Enoncé. Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a (H) alors f est injective.Autrement dit, vous introduisez deux éléments x et y qui vérifient l'égalité f(x) = f(y), puis vous gardez en tête (mais surtout sans l'écrire) que vous voulez arriver à l'égalité x = y. Sur le chemin du raisonnement vous devez, très probablement, utiliser la propriété (H).
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.
Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.
Autre conseil
Mon collègue et ami Laurent Kaczmarek a écrit des conseils de rédaction utiles concernant la notation des fonctions en analyse.Utiliser un grand canon pour un moineau
Par Mathoman - Tags
Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :
Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.
La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?
Explication pour les non-matheux
Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant
.
Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir
.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.
Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.
Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :
- D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
- L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
- L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
- Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
- Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.
Groupes cycliques (vulgarisation)
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Qu'est-ce un groupe cyclique?
Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.
Les heures de la journée un groupe cyclique d'ordre 24
Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.
Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?
Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.
Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.
En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.
Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.
Les jours de la semaine un groupe cyclique d'ordre 7
Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)
Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?
Réponse:
- Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
- L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.
Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?
L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.
Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.
Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?
Colles MPSI 2009/2010
Par Mathoman - Tags
Ci-dessous les questions avec corrigés pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie à Paris. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !
Khôlles prépa math sup avec corrigés :
- Logique. Exponentielle et logarithme
- Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
- Equations différentielles linéaires
- Géométrie dans le plan et l'espace
- Courbes planes. Fichier perdu
- Coniques
- Applications. Théorie des ensembles
- Relations, applications, ensembles
- Ensembles. Dénombrements
- Groupes
- Groupes, anneaux, corps
- Arithmétique
- Suites
- Suites réels et complexes
- Espaces vectoriels
- Polynômes
Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :
- Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
- Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
- Lire mes conseils de rédaction.
- Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
- Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.
Mieux comprendre la topologie des matrices singulières
Par Mathoman - Tags
Mon billet récent sur la dimension maximale d'un sous-espace affine contenu dans l'ensemble des matrices non-inversibles m'a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat.
On note
l'espace des matrices n x n à coefficients réels et
le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que
est un ouvert dans
. En effet c'est l'image réciproque de l'ouvert
par l'application continue déterminant
On peut même dire un peu plus : le déterminant étant polynômial en
le complémentaire des matrices inversibles, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de déterminant nul,
est une hypersurface algébrique. Géométriquement parlé
est un fermé de
qui ressemble localement à un hyperplan (c'est-à-dire à un sous-espace affine de dimension n²-1). Enfin, cela est vrai en presque tous les points, ceux où la différentielle du déterminant ne s'annulle pas (points réguliers
). En revanche, en les points où la différentielle du déterminant est nulle (points singuliers
), l'hypersurface
ne ressemble plus à un sous-espace affine. Il peut y avoir un croisement comme par exemple
(Pour plus d'images de surfaces algébriques visitez le la galerie de Herwig Hauser.)
Il est évident que la différentielle du déterminant est nulle à l'origine. Donc notre hypersurface
possède une singularité à l'origine.
Le résultat suivant dit qu'il s'agit d'une singularité de type rétrécissement, car l'hypersurface de dimension n²-1 y perd quelques dimensions il y reste juste assez de place pour n²-n dimensions...
Proposition :
Le nombre n²-n est la plus grande dimension possible d'une sous-variété différentiable F deDémonstration :telle que
![]()
- L'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un sous-espace vectoriel (et donc en particulier une sous-variété différentielle) de dimension n²-n. Evidemment il contient l'origine 0 et est contenu dans
. - Soit F une sous-variété de
de dimension n²-n+1 et telle que
.
Nous allons prouver que F contient une matrice inversible.
Au voisinage de l'origine la sous-variété F est décrite par un système de n-1 équations
tel que les différentielles
sont linéairement indépendantes à l'origine.
On résoud ce système par le théorème des fonctions implicites, c'est-à-dire on peut isoler (théorétiquement) n-1 des coordonnées et les exprimer par les autres. On a ainsi, toujours au voisiange de l'origine,
n²-n+1 coordonnées variables et n-1 coordonnées isolées (fonctions différentiables des coordonnées variables).
Maintenant je peux poursuivre mon raisonnement de la preuve du cas affine : par des permutations de lignes et de colonnes je m'arrange à ce que les coordonnées isolées soient toutes au-dessus de la diagonale matricielle ; puis je prends les coordonnées sur la diagonale toutes égales à un nombre
non-nul et proche de 0 et les autres coordonnées variables égales à 0. Ainsi j'obtiens une matrice inversible qui est dans F.

un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert
soit
une fonction holomorphe injective telle que
sur toutes les intersections
. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.
. Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur
si et seulement si a > 0.

telle que