Les chercheurs en mathématiques appellent hand waving une manière d'expliquer une idée oralement et avec les mains, sans faire appel à un formalisme poussé. Dans certaines situations, cette démarche est justifiée et peut être très efficace.

Si on veut être méchant on pourrait dire que, pour expliquer sa nouvelle découverte un mathématicien a besoin de

• ses mains et 15 minutes s'il s'adresse à un collègue dans la cafétéria de son centre de recherche,
• cinq transparents et 60 minutes s'il l'expose dans un séminaire,
• vingt pages qui demandent trois jours de lecture, s'il la publie dans une revue scientifique.

Le problème est que les mathématiques demandent la précision totale, et celle-ci nécessite un formalisme exacte et sans ambiguïté. Oralement, en faisant des dessins avec les mains dans l'air ou sur un brouillon, on peut toujours guider son interlocuteur et l'empêcher de mal comprendre. Mais ce n'est pas le cas en communication écrite où l'auteur est obligé de traduire ses idées en un formalisme que le lecteur devra ensuite retraduire en idées!
Beaucoup d'énergie est perdue dans ces efforts de traduction et re-traduction. Pour minimiser ces efforts le lecteur doit s'entraîner à maîtriser le formalisme et l'auteur, de son côté, doit inventer un formalisme facile à lire et avec des notations intuitives --- et, si possible, ajouter des dessins à son texte!

Malheureusement, dans beaucoup de manuels universitaires, il n'y a pas assez de dessins. Peut-être c'est dû à la paresse des auteurs qui rédigent en LaTeX où il est beaucoup plus rapide d'écrire cinq lignes de formules que de faire un dessin avec PSTricks...

Moi, personnellement, lorsque j'étais étudiant j'adorais les livres de Klaus Jänich, parus dans la série Undergraduate Texts in Mathematics chez Springer, très bien écrits et agrementés de nombreux dessins; en particulier son livre sur la topologie et son livre sur les fonctions holomorphes m'ont beaucoup aidé.
C'est cette démarche, avec beaucoup d'illustrations, que nous avons adoptée pour la rédaction de notre livre Mathématiques L1 pour la première année en université ou en classe prépa.

Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

• Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
  
  
  • Si alors car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
  
  
  • Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que On sait déjà qu'il existe un chemin injectif tel que et . L'ensemble est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
    
    Par continuité l'image réciproque est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément . On a l'inégalité car
    
    Le point ne peut pas être contenu dans la boule ouverte , sinon le serait également pour assez petit, contrairement à la définition de . Donc est sur le bord de la boule . Par construction on peut relier injectivement à tout point de sans rencontrer . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de Donc est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

    



• Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
  
  
  • Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
  
  
  • Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection . Pour on a . Il existe un chemin injectif allant de x à z. L'ensemble

    

    est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
    Parmi tous les points du compact il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et son correspondant sur la variété (toujours via la carte ). Clairement . D'une part on a la restriction de à et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

    

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

compact dans B(1),
donc compact dans U,
donc compact dans M,
donc fermé dans M (séparé).

Le grand chercheur Alain Connes (géométrie non-commutative, médaille Fields) a donné un entretien très intéressant sur sa vie, la recherche et l'enseignement des mathématiques. Des extraits de cet entretien sont disponibles en streaming sur le site internet d'Arte.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)

Voici quelques sujets et corrigés de baccalauréat classés selon l’année et la série. Cette liste grandira avec le temps, donc n’hésitez pas à revenir pour la consulter. Sur la page “préparer son bac” vous trouverez quelques suggestions pour mieux réussir.

Annales bac mathématiques & corrections

Avril 2009 Pondichéry Série ES	Sujet du bac ES mathématiques	Corrigé
Juin 2008 France Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2008 Asie Série S	Sujet du bac S mathématiques	Corrigé
Juin 2006 France Série L	Sujet du bac L mathématiques-informatique	Corrigé

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Pour nous reveiller commençons la semaine par une petite révision de calcul! Il s'agit d'un cours amusant et pas trop difficile. Il ne faut pas avoir la bosse de maths pour le réussir, juste un peu d'imagination. Tout le monde peut y participer, car on peut le faire avec le programme de mathématiques que nous avons tous appris à l'école. Voici donc ce petit cours de maths agrémenté de quelques exercices:

Leçon et questions: Maths pour les génies (cliquez)

C'est un document powerpoint — après l'avoir ouvert utilisez les flèches de votre clavier pour avancer.

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.

J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer mes études avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier).

En 2002 j'ai passé l'agrégation (r.83). Après avoir enseigné pendant quelques années dans divers établissements de l'Education Nationale j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation en maths ou informatique dans des écoles d'ingénieurs (ESTACA, ESILV, ISEP) et classes prépa parisiennes. Actuellement j'enseigne à l'Université de Versailles Saint Quentin.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire ou de m'écrire à l'adresse suivante

Bureau 2309
Département de mathématiques, Bâtiment Fermat
45 avenue des États-Unis
78035 Versailles
Tél. 01 39 25 46 20

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :

Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?

Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, la taille l'aire maximale est minorée par . Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par

On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !

Quelques fois on me demande si je donne des cours particuliers. Je ne le fais pas, mais je peux recommander un ami et collègue d'études qui le fait. Le voici !

Titulaire d’un DEA de mathématiques de l’Université de Nice-Sophia Antipolis (mention Bien) et ancien enseignant de maths à l’Université de Rennes 2, donne des cours de soutien sur Paris aux étudiants de première et deuxième année de l’université ainsi qu’aux lycéens. — Contact : cbcheikhca@yahoo.fr