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Formule pour la circonférénce d'un cercle


Maths CM2

Par Mathoman, mercredi 21 janvier 2009 à 21:30 - Maths pour tous - Tags

Pourquoi le nombre \pi de la formule 2\pi R pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule \pi R^2 pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

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Pourquoi ne pas lire aussi :


Comment estimer une circonférence... et gagner un pari

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Dans ma cuisine je trouve ce récipient de sel cylindrique. Qu'est-ce qui est plus long, sa hauteur ou sa circonférence ?

combien est la circonference d'un cercle?

Comparons ! La hauteur est bien inférieure à l'écart que je peux faire entre mon pouce et mes doigts ; en revanche, je n'arrive pas à joindre mes doigts autour du périmètre. Donc, à ma grande surpise, la circonférence de ce cylindre est bien plus grande que sa hauteur.

Nous avons tous appris à l'école que pour calculer la circonférérence d'un cercle on multiplie son diamètre par ce fameux nombre \pi qui vaut approximativement 22/7. Et comme 22/7 est bien plus grand que 3, la circonférérence est supérieure à trois fois le diamètre. Si l'on garde cela à l'esprit, alors notre mesure ci-dessus n'est plus si surprenante !

La plupart des personnes se trompent avec ce type d'estimation et diront que la hauteur est plus grande. Le soir au bar, vous pouvez parier une bière avec vos amis en posant la même question sur la hauteur et le périmètre d'un verre de bière. Puis vous utilisez par exemple une serviette pour comparer les deux longueurs comme ci-dessous. C'est sûr que vous allez gagner !

La hauteur est... ...inférieure à la circonférence. Mathoman gagne une bière !

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Facteurs multiplicateurs et énérgie des éoliennes

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Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut 2\pi r, sa superficie 4 \pi r^2 et son volume 4\pi r^3/3. Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à r^3.

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

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Forme générale d'une formule

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Tout étudiant apprend les formules

\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.

Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite k^p avec k\geq1 est un polynôme rationnel en n de degré p+1.

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Exercice sur les cordes d'un cercle

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Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.

Soit \scr{C} un cercle, A,B deux points distincts sur \scr{C} et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].

cercle, cordes, milieu d'un segment, preuve difficile
Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] !

Remarque : Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths. On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.

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A propos

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Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule  e^{i\times\pi}+1=0  qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

  • la relation d’égalité =
  • l’addition +
  • la multiplication \times
  • le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
  • le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
  • le nombre transcendant \pi (pour calculer l'aire d’un cercle)
  • le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
  • le nombre imaginaire i (solution de l’équation x^2+1=0).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

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Devinettes amusantes de géométrie

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Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :

Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.

°             °             °



°             °             °



°             °             °



Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...


MathOMan relie 9 points avec 4 droites


Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :

Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).

Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.


Bin trace une cercle et son centre

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Compression et déformation d'un ballon

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Aujourd'hui c'est la finale de la coupe du monde de football et donc la dernière occasion pour vous poser la question suivante :

Lorsqu'un joueur reçoit un ballon et le joue avec sa tête, le ballon se déforme, il s'aplatit avant de rebondir. Donnez un ordre de grandeur de cette déformation (en cm) !

Voici les caractéristiques du ballon selon la FIFA : il est sphérique, en cuir ou dans une autre matière adéquate, a une circonférence de 70 cm au plus et de 68 cm au moins, a un poids de 450 g au plus et de 410 g au moins au début du match et a une pression se situant entre 1,6 et 2,1 atmosphère (1600 - 2100 g/cm²).

Donnez juste une estimation pour la compression du ballon... puis pour celle de la tête du jouer ;-)

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Fibres d'une application complexe

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Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

A :=\left\{ (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3\;|\; \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}\right\}.

Question:
Déterminer les fibres de l'application f\: :\; A\: \to \: \mathbb{C}^3 définie par

f(\alpha,\beta,\gamma)=(\cot\beta\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\beta).

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C3 d'équation u+v+w=1 et Dk, k=1,2,3, les droites

D_1=(1,0,0)+\mathbb{C}(0,1,-1), \;\;D_2=(0,1,0)+\mathbb{C}(1,0,-1), \;\;D_3=(0,0,1)+\mathbb{C}(1,-1,0).

Notons D'1=D1\{(1,0,0)}, D'2=D2\{(0,1,0)}, D'3=D3\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

f(A)=H\setminus(D'_1\cup D'_2\cup D'_3).
Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3) est discrète. Plus précisément, la restriction de f à f^{-1}(H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3)) est un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

\cot(\alpha+\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

peut s’écrire aussi comme \cot\beta\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot\beta=1. Cela signifie que pour tout (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3 on a

\cot\beta\cot\gamma+\cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=1 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}.
Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant (\alpha,\beta,\gamma)\in A.
  • Premier cas: \alpha\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Alors \beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z} et par conséquence \cot\beta=\tan\gamma et on a f(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0).
  • Second cas: \alpha\not\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Supposons par l'absurde que la première coordonnée de f(\alpha,\beta,\gamma) est égale à 1. Ainsi \cot\beta\cot\gamma=1 et \cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=0. Alors \cot\beta=-\cot\gamma. Par conséquence (\cot\beta)^2=-1, c'est-à-dire \cot\beta=\pm i. C'est une contradiction, car la cotangente est une application de \mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z} sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}.
On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'1, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'2 ni D'3. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

f^{-1}(1,0,0)=\left(\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right)\times\left{(\beta,\,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^2\,|\,\beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right}.
De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}, primitive de s=-dz/(1+z2). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute -\pi (resp. \pi) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation f(\alpha,\beta,\gamma)=(u,v,w) on trouve:

(*)    (\alpha,\beta,\gamma)=\left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.
Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a \rm{arccot}(-x)=\pi - \rm{arccot}(x) on obtient alors l'autre solution

(**)    \left(\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

  • Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (I)    \left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
  • La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (II)    \left(\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme k\pi alors la formule (II) donne un triplet de somme (3-k)\pi.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

Par Mathoman - Tags

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions


  1. \mathbb{B}^1 est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord \mathbb{S}^0=\{-1,1\} est constitué des deux extrémités.\mathbb{B}^2 est un disque et son bord \mathbb{S}^1 est un cercle.\mathbb{B}^3 est une ``vraie'' boule et son bord \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère.
    \;

  2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
    \;
    <br />\mathbb{B}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{S}^n_+\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_n<br />)\:\mapsto\:\big(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_n^2}\:\big)\,,

    \mathbb{S}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{B}^n\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_{n+1})\:\mapsto\:(x_1,\ldots,x_n)\,.<br />

    Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

    Projection de l'hémisphère

    Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace \mathbb{R}^{n}\:. Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:


    • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien \mathbb{R}^2. Le demi-cercle supérieur \mathbb{S}^1_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment \mathbb{B}^1 (en bleu).
      \;

    • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien \mathbb{R}^3 et \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord \mathbb{S}^2_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque \mathbb{B}^2 (en bleu).
      \;



  3. Chaque droite D\in\mathbb{P}^n coupe la sphère \mathbb{S}^n en deux antipodes: ~\frac{x}{||x||}~ et ~\frac{-x}{||x||}~ où x est arbitraire dans D\backslash\{0\}.
    Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

    La droite coupe la sphère en exactement deux points antipodes

    De cette observation on déduit que l'applicationf\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,

    est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

    \forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />

    Par conséquence \: \mathbb{P}^n\: est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de \: \mathbb{S}^n_+\: par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que \: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \: et l'équateur n'est rien d'autre que le bord \: \mathbb{S}^{n-1}\: de \: \mathbb{B}^n\: . Par conséquence \: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\: .

    \,
  4. Le résultat précédent implique en particulier que \:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:.
    Or \:\mathbb{B}^1=[-1,1] et par conséquence \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
    Ainsi \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est en bijection avec le cercle \,\mathbb{S}^1\,. Nous obtenons \mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1. Illustration:

    Recoller un segment en un cercle

    D'autre part SO(2) est le groupe des rotations du plan euclidien orienté \mathbb{R}^2. Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans [0,2\pi[ il est évident que SO(2) est en bijection avec le cercle \mathbb{S}^1.
    Conclusion: SO(2)\simeq \mathbb{P}^1.
    \,

  5. Pour la suite voir le fichier pdf.

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Encore un pari de bière pression

Par Mathoman - Tags

Les photos de mon précédent billet sur l'estimation de la circonférence m'ont fait penser à un autre pari que vous pouvez très probablement gagner. Posez à vos amis la question suivante :

On dispose de deux verres, l'un contient de la bière et l'autre la même quantité de vin. On prend une culliérée de bière et on la met dans le vin ; puis on refait l'inverse, c'est-à-dire on prend une culliérée de ce mélange vin-bière et on le remet dans le verre contenant la bière. Maintenant la bière est polluée par un peu de vin et, dans l'autre verre, le vin est pollué par un peu de bière. Où est-ce que la pollution est plus forte, dans le verre à bière ou dans le verre à vin ?

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