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Formule pour calculer le périmètre d'une sphère


Facteurs multiplicateurs et énérgie des éoliennes

Par Mathoman, jeudi 10 décembre 2009 à 16:56 - Maths pour tous - Tags

Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut 2\pi r, sa superficie 4 \pi r^2 et son volume 4\pi r^3/3. Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à r^3.

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

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Pourquoi ne pas lire aussi :


Maths CM2

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Pourquoi le nombre \pi de la formule 2\pi R pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule \pi R^2 pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

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Comment estimer une circonférence... et gagner un pari

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Dans ma cuisine je trouve ce récipient de sel cylindrique. Qu'est-ce qui est plus long, sa hauteur ou sa circonférence ?

combien est la circonference d'un cercle?

Comparons ! La hauteur est bien inférieure à l'écart que je peux faire entre mon pouce et mes doigts ; en revanche, je n'arrive pas à joindre mes doigts autour du périmètre. Donc, à ma grande surpise, la circonférence de ce cylindre est bien plus grande que sa hauteur.

Nous avons tous appris à l'école que pour calculer la circonférérence d'un cercle on multiplie son diamètre par ce fameux nombre \pi qui vaut approximativement 22/7. Et comme 22/7 est bien plus grand que 3, la circonférérence est supérieure à trois fois le diamètre. Si l'on garde cela à l'esprit, alors notre mesure ci-dessus n'est plus si surprenante !

La plupart des personnes se trompent avec ce type d'estimation et diront que la hauteur est plus grande. Le soir au bar, vous pouvez parier une bière avec vos amis en posant la même question sur la hauteur et le périmètre d'un verre de bière. Puis vous utilisez par exemple une serviette pour comparer les deux longueurs comme ci-dessous. C'est sûr que vous allez gagner !

La hauteur est... ...inférieure à la circonférence. Mathoman gagne une bière !

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Forme générale d'une formule

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Tout étudiant apprend les formules

\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.

Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite k^p avec k\geq1 est un polynôme rationnel en n de degré p+1.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions


  1. \mathbb{B}^1 est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord \mathbb{S}^0=\{-1,1\} est constitué des deux extrémités.\mathbb{B}^2 est un disque et son bord \mathbb{S}^1 est un cercle.\mathbb{B}^3 est une ``vraie'' boule et son bord \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère.
    \;

  2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
    \;
    <br />\mathbb{B}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{S}^n_+\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_n<br />)\:\mapsto\:\big(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_n^2}\:\big)\,,

    \mathbb{S}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{B}^n\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_{n+1})\:\mapsto\:(x_1,\ldots,x_n)\,.<br />

    Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

    Projection de l'hémisphère

    Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace \mathbb{R}^{n}\:. Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:


    • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien \mathbb{R}^2. Le demi-cercle supérieur \mathbb{S}^1_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment \mathbb{B}^1 (en bleu).
      \;

    • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien \mathbb{R}^3 et \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord \mathbb{S}^2_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque \mathbb{B}^2 (en bleu).
      \;



  3. Chaque droite D\in\mathbb{P}^n coupe la sphère \mathbb{S}^n en deux antipodes: ~\frac{x}{||x||}~ et ~\frac{-x}{||x||}~ où x est arbitraire dans D\backslash\{0\}.
    Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

    La droite coupe la sphère en exactement deux points antipodes

    De cette observation on déduit que l'applicationf\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,

    est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

    \forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />

    Par conséquence \: \mathbb{P}^n\: est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de \: \mathbb{S}^n_+\: par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que \: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \: et l'équateur n'est rien d'autre que le bord \: \mathbb{S}^{n-1}\: de \: \mathbb{B}^n\: . Par conséquence \: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\: .

    \,
  4. Le résultat précédent implique en particulier que \:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:.
    Or \:\mathbb{B}^1=[-1,1] et par conséquence \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
    Ainsi \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est en bijection avec le cercle \,\mathbb{S}^1\,. Nous obtenons \mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1. Illustration:

    Recoller un segment en un cercle

    D'autre part SO(2) est le groupe des rotations du plan euclidien orienté \mathbb{R}^2. Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans [0,2\pi[ il est évident que SO(2) est en bijection avec le cercle \mathbb{S}^1.
    Conclusion: SO(2)\simeq \mathbb{P}^1.
    \,

  5. Pour la suite voir le fichier pdf.

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Encore un pari de bière pression

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Les photos de mon précédent billet sur l'estimation de la circonférence m'ont fait penser à un autre pari que vous pouvez très probablement gagner. Posez à vos amis la question suivante :

On dispose de deux verres, l'un contient de la bière et l'autre la même quantité de vin. On prend une culliérée de bière et on la met dans le vin ; puis on refait l'inverse, c'est-à-dire on prend une culliérée de ce mélange vin-bière et on le remet dans le verre contenant la bière. Maintenant la bière est polluée par un peu de vin et, dans l'autre verre, le vin est pollué par un peu de bière. Où est-ce que la pollution est plus forte, dans le verre à bière ou dans le verre à vin ?

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A propos

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Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule  e^{i\times\pi}+1=0  qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

  • la relation d’égalité =
  • l’addition +
  • la multiplication \times
  • le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
  • le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
  • le nombre transcendant \pi (pour calculer l'aire d’un cercle)
  • le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
  • le nombre imaginaire i (solution de l’équation x^2+1=0).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel \mathbb{P}^3. Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que \;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\; et \;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole \:\simeq\: signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude \mathbb{P}^n dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans \mathbb{R}^{n+1}. Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de \mathbb{R}^{n+1}\::
  • la boule \;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,
    \:
  • la sphère \;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,
    \:
  • l'hémisphère nord \;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.
    \:
Le bord de la boule \mathbb{B}^{n+1} est la sphère \mathbb{S}^n. Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' \mathbb{B}^{n+1} par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons \mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,. Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />


Questions
  1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule \mathbb{B}^n et son bord \mathbb{S}^{n-1} dans les cas n=1,2,3.
  2. Démontrer que \;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.
    \,
  3. Démontrer que \;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.
    \,
  4. Démontrer que \;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.
    \,
  5. Démontrer que \;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.
    \,
Cliquez pour lire la Solution.

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Approximation d'une intégrale

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Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog (c'est ici). L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin100(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe
Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

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Fibres d'une application complexe

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Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

A :=\left\{ (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3\;|\; \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}\right\}.

Question:
Déterminer les fibres de l'application f\: :\; A\: \to \: \mathbb{C}^3 définie par

f(\alpha,\beta,\gamma)=(\cot\beta\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\gamma,\,\cot\alpha\cot\beta).

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C3 d'équation u+v+w=1 et Dk, k=1,2,3, les droites

D_1=(1,0,0)+\mathbb{C}(0,1,-1), \;\;D_2=(0,1,0)+\mathbb{C}(1,0,-1), \;\;D_3=(0,0,1)+\mathbb{C}(1,-1,0).

Notons D'1=D1\{(1,0,0)}, D'2=D2\{(0,1,0)}, D'3=D3\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

f(A)=H\setminus(D'_1\cup D'_2\cup D'_3).
Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3) est discrète. Plus précisément, la restriction de f à f^{-1}(H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3)) est un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3).

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

\cot(\alpha+\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

peut s’écrire aussi comme \cot\beta\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot(-\alpha-\beta)+\cot\alpha\cot\beta=1. Cela signifie que pour tout (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^3 on a

\cot\beta\cot\gamma+\cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=1 \quad\Leftrightarrow\quad \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}.
Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant (\alpha,\beta,\gamma)\in A.
  • Premier cas: \alpha\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Alors \beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z} et par conséquence \cot\beta=\tan\gamma et on a f(\alpha,\beta,\gamma)=(1,0,0).
  • Second cas: \alpha\not\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}. Supposons par l'absurde que la première coordonnée de f(\alpha,\beta,\gamma) est égale à 1. Ainsi \cot\beta\cot\gamma=1 et \cot\alpha\cot\gamma+\cot\alpha\cot\beta=0. Alors \cot\beta=-\cot\gamma. Par conséquence (\cot\beta)^2=-1, c'est-à-dire \cot\beta=\pm i. C'est une contradiction, car la cotangente est une application de \mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z} sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}.
On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'1, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'2 ni D'3. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

f^{-1}(1,0,0)=\left(\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right)\times\left{(\beta,\,\gamma)\in(\mathbb{C}\setminus\pi\mathbb{Z})^2\,|\,\beta+\gamma\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}\right}.
De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur \mathbb{C}\setminus\{\pm i\}, primitive de s=-dz/(1+z2). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute -\pi (resp. \pi) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation f(\alpha,\beta,\gamma)=(u,v,w) on trouve:

(*)    (\alpha,\beta,\gamma)=\left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.
Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans H\setminus(D_1\cup D_2\cup D_3). Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a \rm{arccot}(-x)=\pi - \rm{arccot}(x) on obtient alors l'autre solution

(**)    \left(\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \pi-\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v,w>0.

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

  • Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (I)    \left(\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
  • La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
    (II)    \left(\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{vw}u}\right),\,\rm{arccot}\left(-\sqrt{\frac{uw}v}\right),\, \rm{arccot}\left(\sqrt{\frac{uv}w}\right)\right),\;\;\;u,v<0,\:w>0.
Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme k\pi alors la formule (II) donne un triplet de somme (3-k)\pi.

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Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

Par Mathoman - Tags

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite


EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

Résoudre une équation de premier degré (faux)


SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Calculer avec une fraction double correctement

Comment ne pas calculer avec une fraction double

Calculer avec une fraction double (faux)


Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

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