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Exercice sur les groupes topologiques


Question sur les groupes topologiques

Par Mathoman, dimanche 20 décembre 2009 à 14:23 - Maths pour matheux - Tags

Un groupe topologique est un ensemble G munie d'une structure de groupe et d'une topologie telles que la loi interne

G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,
et la formation d'inverse
G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},
sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l'algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l'exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

  1. Soient G et H des parties denses de \mathbb{R} et f :\: G \rightarrow H une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

    On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient x_0\in G et \epsilon>0. Puisque H est dense dans \mathbb{R} on a H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset. Donc il existe

    y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.

    De même il existe y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,. A cause de la surjectivité de f on peut écrire y_k=f(x_k) avec x_k\in G, k=1,2. On pose \delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0). Alors pour tout x dans G

    \begin{align*}x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}

    ce qui montre que f est continue en x_0. La preuve de la continuité de la réciproque f^{-1} est la même.
     
  2. Soient G et H des parties denses et dénombrables de \mathbb{R}. Alors elles sont homéomorphes.

    D'abord nous écrivons

    \begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}

    Maintenant nous allons énumérer G et H d'une autre manière, G=\{x'_0,x'_1,x'_2,\ldots\} et H=\{y'_0,y'_1,y'_2,\ldots\}. Le but est de faire de sorte que G \to H, x'_k \mapsto y'_k, est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
     
    • k=0. On prend x'_0=x_0,\;y'_0=y_0
       
    • k=1. On prend x'_1=x_1. Pour le choix de y'_1 regardons l'ordre de x'_0 et de x_1'.
      Si x'_1<x'_0 alors on prend comme y'_1 un élément de H inférieur à y'_0.
      Si x'_1>x'_0 alors on prend comme y'_1 un élément de H supérieur à y'_0.
       
    • k=2. On prend comme y'_2 le premier élément de H\setminus\{y'_0,y'_1\} de la liste (**). Pour choisir x'_2 regardons l'ordre de y'_0,y'_1,y'_2.
      Si y'_2 est inférieur à y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G inférieur à x'_0 et x'_1.
      Si y'_2 est supérieur à y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G supérieur à x'_0 et x'_1.
      Si y'_2 est entre y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G entre x'_0 et x'_1.
       
    • k=3. On prend comme x'_3 le premier élément de G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\} de la liste (*). Pour le choix de y'_3 regardons l'ordre de x'_0,x'_1,x'_2,x'_3. Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
      Si x'_3<x'_0<x'_1<x'_2 on prend comme y'_3 un élément de H inférieur à y'_0,y'_1,y'_2.
      Si x'_2<x'_3<x'_0<x'_1 on prend comme y'_3 un élément de H entre y'_2 et y'_0.
      Et ainsi de suite.
       
  3. Les groupes topologiques G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2 et H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3 répondent au problème.

    D'après ce qu'on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes topologiques f :\, G \to H. Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité

    f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning

    impossible dans H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3.

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Pourquoi ne pas lire aussi :


Un exercice théorique sur les groupes

Par Mathoman - Tags

La théorie des groupes semble contenir une infinité de questions de colle qui ont l'apparence élémentaires mais qui sont en fait plutôt difficiles. En voici une que vient de m'envoyer un ami:

Soient G un groupe fini d’ordre n et f :G →G un automorphisme de G. On note

E := \{x \in G \;|\; f (x) = x^{-1}\}

et l’on suppose que le cardinal de E est minoré par n/2. Prouver que f est une involution.

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Petite question sur les groupes

Par Mathoman - Tags

Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?

Il y a une solution élégante, pas très longue...

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Carte d'anniversaire mathématique

Par Mathoman - Tags

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

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UVSQ - 2011/2012

Par Mathoman - Tags

Sur cette page des remarques et documents destinés aux étudiants qui suivent mes cours et TD à l'UVSQ en 2011/2012.

Probabilités — L2 éco

  • Polycopié — Cours, exercices & corrigés (mise à jour le 08/02/2012)
    Il est possible que vous devez ré-actualiser la page (touche F5).
     
  • Exos à préparer pour la séance TD du 15 février : 3.4, 3.6, 3.7, 3.10, 3.12
     
  • Contrôle continu 1 : 22 février 2012 dans votre groupe de TD (carte d'étudiant)
    Le programme inclut la séance TD du 15 février
     
  • Contrôle continu 2 : 28 mars 2012 de 18h30 à 20h dans l'amphi 1 (carte d'étudiant)
    Le programme inclut la séance TD du 21 mars
     
  • Toute absence non-justifiée par un certificat médical donne lieu à la note 0.
    Note globale = (moyenne des notes de CC + note de partiel) / 2
    La note globale doit être au moins 10 pour que la matière soit validée.
    En session 2, la moyenne des notes de CC intervient seulement si elle est supérieure à la note du partiel session 2.

Préparation Capes — exercices corrigés

Théorie des groupes — L2 chimie

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Se repérer dans le désert

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Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Exo de géométrie : Construire les autres poteaux

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

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Colles 2011/2012

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Feuilles de khôlles en classe préparatoire PCSI du Lycée Charlemagne à Paris pour des étudiants qui souhaitent s'entraîner.

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

  1. Nombres complexes
  2. Nombres complexes (deuxième tour)
  3. Fonctions usuelles
  4. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
  5. Géométrie en basses dimensions
  6. Géométrie en basses dimensions (deuxième tour)
  7. Courbes planes
  8. Coniques
  9. Programme mixte I
  10. Programme mixte II
  11. Nombres réels et limites
  12. Fonctions continues
  13. Fonctions continues et fonction dérivables
  14. Fonctions dérivables. Groupes
  15. Fonctions dérivables. Groupes
  16. Polynômes. Limites

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Un exercice bizarre à propos de la température sur terre

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Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

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La mouche dans le pot

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Après l'exercice sur la mouche et les araignées voici un exercice de physique sur une mouche et un pot :

Problème: on dispose d'un pot avec couvercle et d'une balance ultra précis. On tare le pot fermé puis on introduit une mouche qui reste en vol. Si on pèse à nouveau, pèse-t-on la mouche ?

C'est un lecteur du blog qui me l'a envoyé et souhaite connaître la réponse. Je pense que la solution n'est pas difficile.

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Matrices intercalées

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Deux exos sympas sur les matrices.

Exercice 1. Soient M_k, k=1,...,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que

AM_1AM_2A\:\cdots\: AM_nA\neq0\;\;?

Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que

(ABCD)^3=ABCD.

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Pendule : Longueur et période

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J'aimerais partager avec vous ces belles images (filmées par la Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations) de plusieurs pendules de longueurs différentes. Ils ont donc des périodes différentes ce qui crée un bel effet optique: mouvement parallèle, aléatoire, en onde, en pulsation, etc.

Après exactement une minute tout recommence. Autrement dit, le plus petit commun multiple des périodes est 60 secondes. On voit également qu'après 30 secondes les pendules se sont partagés en exactement deux groupes opposés. J'ai quand même l'impresssion que la normalisation de la période commune sur une minute n'est pas naturelle et vient d'un accéléré de la vidéo. Voici une autre prise avec un point de vue différent.

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