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Exercice sur la géométrie dans l'espace


Deux axes de symétrie radiale

Par Mathoman, jeudi 14 janvier 2010 à 10:51 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.

On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.

Question :

Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?

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Se repérer dans le désert

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Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Exo de géométrie : Construire les autres poteaux

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

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Thalès ou non Thalès?

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En France le théorème de Thalès désigne une version géométrique de la règle de trois ou règle de proportionnalité ; d'ailleurs en allemand on l'appelle Strahlensatz ce qui signifie théorème des rayons, et on réserve le nom Satz von Thales aux cercles de Thalès. Il y a déjà deux ans j'ai posé ici un petit problème de géométrie dont la solution utilise la géométrie projective (elle se trouve ici voir page 3).

Recemment un étudiant, spécialiste de Thalès, m'a donné la réponse suivante: Notons A le premier poteau, B le second et O le point sur la route qui se trouve à l'horizon. Alors le troisième poteau C est déterminé par l'équation OA/OB = OB/OC.
Voici une belle question de géométrie élémentaire : Cette réponse est-elle correcte?

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Points colorés dans l'espace

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La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps...

Tout point de l'espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu'il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.

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Trouver le contour du tore

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Hier soir j'étais chez mon ami artiste-développeur Eric Wenger. Il m'a présenté la nouvelle version de l'un des logiciels dont il est le créateur. Il s'agit d'ArtMatic Voyager avec lequel on peut créer des paysages infinis avec plantes, et beaucoup d'autres choses sans utiliser de bases de données préfabriquées...
Les projections des objets en trois dimensions sur un plan font donc partie du quotidien d'Eric. Voici un bel exercice de géométrie dans l'espace:

Décrire analytiquement le contour d'un tore de rayons r et R en fonction de l'angle \alpha entre le plan du tore et la droite entre le centre du tore et l'oeil.

Le contour possède une seule partie connexe lorsque \alpha est petit. Lorsque \alpha augmente une deuxième partie connexe apparaît à l'intérieur; elle est d'abord singulière, puis lisse. Mais qu'est-ce que ça donne analytiquement? Des ellipses?

état de la recherche
état de la recherche
Différentes positions d'un tore dans l'espace

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel \mathbb{P}^3. Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que \;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\; et \;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole \:\simeq\: signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude \mathbb{P}^n dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans \mathbb{R}^{n+1}. Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de \mathbb{R}^{n+1}\::
  • la boule \;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,
    \:
  • la sphère \;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,
    \:
  • l'hémisphère nord \;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.
    \:
Le bord de la boule \mathbb{B}^{n+1} est la sphère \mathbb{S}^n. Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' \mathbb{B}^{n+1} par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons \mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,. Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />


Questions
  1. Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule \mathbb{B}^n et son bord \mathbb{S}^{n-1} dans les cas n=1,2,3.
  2. Démontrer que \;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.
    \,
  3. Démontrer que \;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.
    \,
  4. Démontrer que \;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.
    \,
  5. Démontrer que \;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.
    \,
Cliquez pour lire la Solution.

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Question de codimension en algèbre linéaire

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Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :
Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?
Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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Exercice sur un pavage de rectangles

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Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:
  1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
  2. La réciproque est-elle vraie?
  3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?
Réponses:   Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

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Distance entière entre des points

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Voilà, après une plutôt longue pause (exactement un mois) je suis de retour sur le blog et je commence doucement avec un petit exercice de géométrie plane ;-)

Soit D une droite dans le plan euclidien et n un entier positif. Montrer qu'il existe un point P0 en dehors de la droite D et des points P1,...,Pn sur D tels que la distance entre tous deux de ces n+1 points est un entier strictement positif.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions


  1. \mathbb{B}^1 est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord \mathbb{S}^0=\{-1,1\} est constitué des deux extrémités.\mathbb{B}^2 est un disque et son bord \mathbb{S}^1 est un cercle.\mathbb{B}^3 est une ``vraie'' boule et son bord \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère.
    \;

  2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
    \;
    <br />\mathbb{B}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{S}^n_+\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_n<br />)\:\mapsto\:\big(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_n^2}\:\big)\,,

    \mathbb{S}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{B}^n\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_{n+1})\:\mapsto\:(x_1,\ldots,x_n)\,.<br />

    Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

    Projection de l'hémisphère

    Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace \mathbb{R}^{n}\:. Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:


    • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien \mathbb{R}^2. Le demi-cercle supérieur \mathbb{S}^1_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment \mathbb{B}^1 (en bleu).
      \;

    • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien \mathbb{R}^3 et \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord \mathbb{S}^2_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque \mathbb{B}^2 (en bleu).
      \;



  3. Chaque droite D\in\mathbb{P}^n coupe la sphère \mathbb{S}^n en deux antipodes: ~\frac{x}{||x||}~ et ~\frac{-x}{||x||}~ où x est arbitraire dans D\backslash\{0\}.
    Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

    La droite coupe la sphère en exactement deux points antipodes

    De cette observation on déduit que l'applicationf\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,

    est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

    \forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />

    Par conséquence \: \mathbb{P}^n\: est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de \: \mathbb{S}^n_+\: par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que \: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \: et l'équateur n'est rien d'autre que le bord \: \mathbb{S}^{n-1}\: de \: \mathbb{B}^n\: . Par conséquence \: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\: .

    \,
  4. Le résultat précédent implique en particulier que \:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:.
    Or \:\mathbb{B}^1=[-1,1] et par conséquence \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
    Ainsi \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est en bijection avec le cercle \,\mathbb{S}^1\,. Nous obtenons \mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1. Illustration:

    Recoller un segment en un cercle

    D'autre part SO(2) est le groupe des rotations du plan euclidien orienté \mathbb{R}^2. Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans [0,2\pi[ il est évident que SO(2) est en bijection avec le cercle \mathbb{S}^1.
    Conclusion: SO(2)\simeq \mathbb{P}^1.
    \,

  5. Pour la suite voir le fichier pdf.

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Vision dans l'espace

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Dessin d'un cube transparent et deux interprétations possibles

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

Quelle jambe est levée, la gauche ou la droite ?

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

  • La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
  • Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

  • Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
  • Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Fille qui tourne

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

Maurits Cornelis Escher : Escalier

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

triangle de Penrose, triangle impossible

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