Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n.

Etudes dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:

1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
2. La réciproque est-elle vraie?
3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?

Réponses:   Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

Mon billet récent sur la dimension maximale d'un sous-espace affine contenu dans l'ensemble des matrices non-inversibles m'a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat.

On note l'espace des matrices n x n à coefficients réels et le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que est un ouvert dans . En effet c'est l'image réciproque de l'ouvert par l'application continue déterminant

On peut même dire un peu plus : le déterminant étant polynômial en le complémentaire des matrices inversibles, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de déterminant nul,

est une hypersurface algébrique. Géométriquement parlé est un fermé de qui ressemble localement à un hyperplan (c'est-à-dire à un sous-espace affine de dimension n²-1). Enfin, cela est vrai en presque tous les points, ceux où la différentielle du déterminant ne s'annulle pas (points réguliers). En revanche, en les points où la différentielle du déterminant est nulle (points singuliers), l'hypersurface ne ressemble plus à un sous-espace affine. Il peut y avoir un croisement comme par exemple

ou un rétrécissement comme par exemple

(Pour plus d'images de surfaces algébriques visitez le la galerie de Herwig Hauser.)

Il est évident que la différentielle du déterminant est nulle à l'origine. Donc notre hypersurface possède une singularité à l'origine. Le résultat suivant dit qu'il s'agit d'une singularité de type rétrécissement, car l'hypersurface de dimension n²-1 y perd quelques dimensions — il y reste juste assez de place pour n²-n dimensions...

Proposition :

Le nombre n²-n est la plus grande dimension possible d'une sous-variété différentiable F de telle que

Démonstration :

• L'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un sous-espace vectoriel (et donc en particulier une sous-variété différentielle) de dimension n²-n. Evidemment il contient l'origine 0 et est contenu dans .


• Soit F une sous-variété de de dimension n²-n+1 et telle que . Nous allons prouver que F contient une matrice inversible.
  Au voisinage de l'origine la sous-variété F est décrite par un système de n-1 équations

  

  tel que les différentielles sont linéairement indépendantes à l'origine. On résoud ce système par le théorème des fonctions implicites, c'est-à-dire on peut isoler (théorétiquement) n-1 des coordonnées et les exprimer par les autres. On a ainsi, toujours au voisiange de l'origine, n²-n+1 coordonnées variables et n-1 coordonnées isolées (fonctions différentiables des coordonnées variables).
  Maintenant je peux poursuivre mon raisonnement de la preuve du cas affine : par des permutations de lignes et de colonnes je m'arrange à ce que les coordonnées isolées soient toutes au-dessus de la diagonale matricielle ; puis je prends les coordonnées sur la diagonale toutes égales à un nombre non-nul et proche de 0 et les autres coordonnées variables égales à 0. Ainsi j'obtiens une matrice inversible qui est dans F.

On demande à plusieurs scientifiques : "Combien vaut pi ?"
L'ingénieur répond : "C'est approximativement 3 et 1/7."
Le physicien dit : "C'est 3,14159"
Le mathématicien réfléchit un instant et répond : "C'est égal à pi".

Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kaluza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.
Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé. A la fin, le mathématicien et l'ingénieur, qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."

Un biologiste, un physicien et un mathématicien sont assis à la terrasse d'un café et regardent les passants. De l'autre côté de la rue, ils voient un homme et une femme entrer dans un immeuble. 10 minutes plus tard, ils ressortent avec une troisième personne.
 — Ils se sont multipliés, dit le biologiste.
 — Oh non, une erreur de mesure, s'écrie le physicien.
 — S'il rentre exactement une personne dans l'immeuble, il sera de nouveau vide, conclut le mathématicien.

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur voyagent à travers l'Ecosse et voient un mouton noir par la fenêtre du train.
"Aha," dit l'ingénieur, "je vois que les moutons écossais sont noirs."
"Hmm," dit le physicien, "tu veux dire que certains moutons écossais sont noirs."
"Non," dit le mathématicien, "tout ce qu'on sait est qu'il y a au moins un mouton en Ecosse, et qu'au moins un côté de ce mouton est noir !"

Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

L'espace des petits exercices en maths me semble de dimension infinie ;-)  Voici encore un nouvel élément :

Est-ce que tout nombre naturel non-nul possède un multiple qui fait intervenir tous les dix chiffres dans son écriture décimale ?

Même des questions connues et d'apparence très simple me surprennent encore. Par exemple, ce n'était que très récemment que j'ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite — jusqu'à ce qu'on m'a appris que c'est un problème ouvert depuis très longtemps...

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Après l'exercice sur la mouche et les araignées voici un exercice de physique sur une mouche et un pot :

Problème: on dispose d'un pot avec couvercle et d'une balance ultra précis. On tare le pot fermé puis on introduit une mouche qui reste en vol. Si on pèse à nouveau, pèse-t-on la mouche ?

C'est un lecteur du blog qui me l'a envoyé et souhaite connaître la réponse. Je pense que la solution n'est pas difficile.