Qu'est-ce un groupe cyclique?

Voici une idée pour une activité en mathématiques, accéssible à des élèves en collège. Elle m'est venue en lisant le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk.

Les heures de la journée — un groupe cyclique d'ordre 24

Calculer dans un groupe cyclique, n'a rien d'abtrait. C'est même une pratique quotidienne de nous tous — littéralement! En effet, pour dire qu'il est minuit certains disent qu'il est 24h et d'autres disent qu'il est 0h. En autres mots, après avoir compté les heures de 0 à 23, donc vingt-quatre fois, on recommence au début en identifiant 24=0. Par conséquence 25=1, 26=2, 27=3, etc.

On dit alors qu'on calcule dans un groupe cyclique d'ordre 24. Il n'y a alors que 24 nombres: 0, 1, 2, ... , 23. Il faut bien comprendre que lorsqu'on écrit 25=1 ce n'est pas un égalité entre nombres naturels (elle serait fausse) mais une égalité dans le groupe cyclique d'ordre 24. Le 25 et le 1 sont deux écritures différentes d'un même élément dans ce groupe; et le 49 en est une troisième car 49=24+24+1=1.

Question: Il est 13h. Quelle heure sera-t-il dans 80 heures?

Réponse: On sait que 80h = 3x24h + 8h, donc dans 80 heures il sera 13h+8h=21h.

Nous remarquons dans cet exemple que 8h est le reste de la division de 100h par 24. C'est seulement ce reste qui compte, car les 3x24h correspondent à trois jours et changer de jour ne change pas l'heure.

En général, calculer dans un groupe cyclique d'ordre n revient à identifier n et 0 et par conséquence on identifie également tout nombre avec son reste après division par n.

Voici un autre exemple de notre vie quotidienne. Cette fois pas avec n=24 mais avec n=7.

Les jours de la semaine — un groupe cyclique d'ordre 7

Comptons les sept jours de la semaine: 0 pour lundi, 1 pour mardi, ... , 6 pour dimanche. Après le dimanche on retombe sur lundi, c'est-à-dire 7=0. Les jours de la semaine se comptent donc dans un groupe cyclique d'ordre 7. (Dans ce contexte le titre du livre Si 7 = 0 : Quelles mathématiques pour l'école ? de Stella Baruk n'a rien de provocateur!)



Question: Aujourd'hui c'est jeudi le 30/10/2008. Sur quel jour tombe le 30/11/2008? Et le 30/10/2009?

Réponse:

• Entre le 30 octobre et le 30 novembre il y a 31 jours. Or 31=4x7+3, donc le 30/11/2008 tombe trois jours après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire sur un dimanche.
• L'année 2009 n'étant pas bissextile l'expression "dans une année" signifie 365 jours plus tard. Or 365=350+14+1=50x7+2x7+1=52x7+1. Donc le 30/10/2009 sera un jour après le jour de départ (jeudi), c'est-à-dire un vendredi.

Etymologie : d'où vient le nom "groupe cyclique"?

L'illustration en haut par le cercle explique bien le nom: il y a un cycle car, en avançant, on revient sur son point de départ.
C'est donc le contraire de la situation d'une droite où, en avançant, on ne revient jamais sur son point de départ:

Les deux illustrations, les points indiqués sur le cercle ou sur la droite, ont quand-même une chose importante en commun: il existe un élément qui "donne naissance" à tous les autres. C'est ce que les mathématiciens appellent un groupe monogène. Les groupes cycliques sont donc précisément les groupes monogènes finis.
Mais quel est donc cet élément qui donne naissance à tous les autres? Reprenons l'exemple des heures dans la journée, c'est-à-dire du groupe cyclique d'ordre 24. Evidemment l'élément 1 donne naissance à tous les autres car on a 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... , 23+1=0.

Cet élément générateur est-il unique ? L'élement 2, par exemple, donne-t-il aussi naissance à tous les autres? Evidemment non, car en faisant 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8, ... , 22+2=0, on ne pourra jamais obtenir un nombre impair.
De la même manière le 3 et le 4 ne donneront pas naissance à tous les autres (testez!). Par contre le 5 fonctionne. En effet, en ajoutant toujours 5 j'obtiens tous les 24 nombres:
5, 10, 15, 20, 25=1, 6, 11, 16, 21, 26=2, 7, 12, 17, 22, 27=3, 8, 13, 18, 23, 28=4, 9, 14, 19, 24=0.

Vous pouvez maintenant refléchir pourquoi ça marche avec le 5 mais pas avec le 2, 3 ou 4. Quelle est la condition pour qu'un élément est générateur du groupe cyclique d'ordre 24?

La théorie des groupes semble contenir une infinité de questions de colle qui ont l'apparence élémentaires mais qui sont en fait plutôt difficiles. En voici une que vient de m'envoyer un ami:

Soient G un groupe fini d’ordre n et f :G →G un automorphisme de G. On note

et l’on suppose que le cardinal de E est minoré par n/2. Prouver que f est une involution.

J'aimerais partager avec vous ces belles images (filmées par la Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations) de plusieurs pendules de longueurs différentes. Ils ont donc des périodes différentes ce qui crée un bel effet optique: mouvement parallèle, aléatoire, en onde, en pulsation, etc.

Après exactement une minute tout recommence. Autrement dit, le plus petit commun multiple des périodes est 60 secondes. On voit également qu'après 30 secondes les pendules se sont partagés en exactement deux groupes opposés. J'ai quand même l'impresssion que la normalisation de la période commune sur une minute n'est pas naturelle et vient d'un accéléré de la vidéo. Voici une autre prise avec un point de vue différent.

Le mathématicien Steven Wolfram, l'inventeur et créateur du logiciel Mathematica, vient de lancer son nouveau moteur de recherche WolframAlpha. Cet outil en ligne pratique et amusant pour nous mathématiciens (et autres) est bien plus qu'une simple calculatrice.

Par exemple, on peut tracer en ligne des courbes comme celle de

On peut entrer des combinaisons de mots et d'expressions mathématiques, comme par exemple

integral log(sin(x))

ce qui donne une primitive de la fonction ainsi que des graphiques à variable complexe, etc. On peut également faire une recherche avec des mots seuls comme

Weierstrass function

En somme, un nouveau site que je viens déjà de mettre dans mes favoris et que je ne tarderai pas à explorer !

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :

a(1+ky)x² + by² = 1

Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

• D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
   
• Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
   
• D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci

  ax²/(1+ky)+ by² = 1.

  Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
   
• Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
   
  
• Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

Le fait que

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose

X = 0,99999...

Alors on a l'égalité

10X = 9,99999...

dont on soustrait la première,

9X = 9,00000...

D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on part de

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1.   CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.

Hier Pierre Lecomte a posé dans son blog un exercice sur des angles et la cotangente qui m'a inspiré la généralisation complexe suivante.

Notons

Question:
Déterminer les fibres de l'application définie par

Réponse:
Soit H est l'hyperplan de C³ d'équation u+v+w=1 et D_k, k=1,2,3, les droites

Notons D'₁=D₁\{(1,0,0)}, D'₂=D₂\{(0,1,0)}, D'₃=D₃\{(0,0,1)} les droites épointées. Alors l'image de f est

Les fibres de f en les points (1,0,0),(0,1,0) et (0,0,1) sont une union dénombrable de plans complexes (desquels on a enlevé des points isolés), tandis que la fibre en tout point de est discrète. Plus précisément, la restriction de f à est un revêtement au-dessus .

Preuve:
D'abord nous remarquons que la formule d'addition

peut s’écrire aussi comme Cela signifie que pour tout on a

Par conséquence l'image de f est contenue dans l'hyperplan H.
Soit maintenant .

• Premier cas: Alors et par conséquence et on a .
• Second cas: Supposons par l'absurde que la première coordonnée de est égale à 1. Ainsi et . Alors Par conséquence , c'est-à-dire . C'est une contradiction, car la cotangente est une application de sur

On vient de prouver que l'image de f ne contient pas la droite épointée D'₁, et par permutation des coordonnées elle ne contient ni D'₂ ni D'₃. Les seuls points de l'image de f ayant une coordonnée 0 ou 1 sont les trois points (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). On vient aussi de voir que la fibre en (1,0,0) est

De même on obtient les fibres en (0,1,0) et (0,0,1) par permutation des coordonnées.

Montrons maintenant que la restriction de f réalise un revêtement au-dessus Notons arccot la fonction réciproque de la cotangente. C'est une fonction analytique multivaluée sur , primitive de s=-dz/(1+z²). On remarque que le résidu de s en i (resp. -i) vaut i/2 (resp. -i/2). Donc un petit tour dans le sens positif autour de +i (resp. -i) ajoute (resp. ) à la détermination de arccot.
Soit (u,v,w) dans H tels que u>0, v>0 et w>0. En résolvant l'équation on trouve:

Cette formule (*) se prolonge analytiquement sur tout Pour voir cela il suffit de vérifier que les valeurs des racines évitent les points ±i où arccot n'est pas défini. Supposons par l'absurde que (vw/u)^½=±i. Alors vw/u=-1. Avec l'égalité u+v+w=1 cela implique v=1 ou w=1. Donc (u,v,w)=(0,1,0) ou (0,0,1), points qui ne sont pas dans Le prolongement analytique est donc possible, on obtient bien un revêtement, ce qui termine la preuve.

Si u fait un petit tour autour de 0 alors la détermination de la racine change de + en -. Vu que pour tout réel x on a on obtient alors l'autre solution

Regardons le cas particulier où on prolonge (*) d'un point (u,v,w) dans H avec u>0, v>0, w>0 vers un point (u',v',w') dans H avec u'<0, v'<0, w'>0. Essentiellement il y a à choisir entre deux types de chemins:

• Dans le plan de la variable u on fait un petit demi-tour (sens positif) autour de l'origine et dans le plan des v on fait la même chose. (Le point w reste proche de 1.) Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (I)    
• La variable u fait un petit demi-tour autour de l'origine et v fait la même chose mais dans le sens opposé. Le prolongement de (*) le long de ce chemin aboutit à
  (II)    

Evidemment ces deux formules n'ont pas besoin de prolongement analytique pour être démontrées. Si la formule (I) donne un triplet de somme alors la formule (II) donne un triplet de somme

Dans ce qui suit tous les nombres sont des nombres naturels :  0, 1, 2, 3, 4, ...

Définition.  Les multiples d'un nombre n sont les nombres 0, n, 2n, 3n, 4n, ...

Exemples :

• Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, ...
• Les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, ...
• Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, ...

On appelle les multiples de 2 aussi nombres pairs. Les non-multiples de 2 sont 1, 3, 5, 7, ... et sont appelés nombres impairs.

Notre définition donne les multiples en forme d'une liste. Mais qu'est-ce qui signifient vraiment les trois petits points dans la liste 0, n, 2n, 3n, 4n, ... ? En fait, on peut écrire les trois points car tout le monde comprend comment on doit continuer la liste : après 4n, il y a 5n, puis 6n, et de suite. Autrement dit, on a la règle suivante.

Règle 1.  Un nombre m est un multiple de n si et seulement s'il existe un k tel que m = kn.

Par exemple, le nombre m=24 est multiple du nombre n=4 car 24=k×4 avec k=6.

Il est important que ce k soit aussi un nombre naturel, comme m et n. En effet, on n'a pas le droit de dire la phrase suivante : Le nombre 3 est multiple 4 car 3=k×4 avec k=¾.

Règle 2.  Zéro est multiple de tout nombre. Tout nombre est multiple de soi-même.

Preuve : Soit n un nombre choisi. Le nombre 0 est le premier élément de la liste de multiples de n — on l'obtient en prenant k=0. Et n est le deuxième élément dans cette liste — on l'obtient en prenant k=1.

Cas particuliers :

• Les multiples de 1 sont 0, 1, 2, 3, 4, ..., c'est-à-dire, tout nombre est multiple de 1.
• Les multiples de 0 sont 0, 0, 0, 0, 0, ..., c'est-à-dire, zéro n'a que lui-même comme multiple.

Dans les exemples on voit que la liste des multiples de 4, à savoir 0, 4, 8, 12, ..., est contenue dans la liste des multiples de 2. Si on y réfléchit un peu ce n'est pas très étonnant et nous allons le formuler comme une règle général :

Règle 3.  Si m est multiple de n et si n est multiple de p alors m est aussi multiple de p.

Preuve :  Si m est multiple de n on peut l'écrire comme m = kn ;  et si n est multiple de p on peut l'écrire comme n = k'p. Alors on a m = kn = kk'p ce qui prouve que m est multiple de p.

Exemples :

• 6 est multiple de 3, donc tout multiple de 6 est aussi multiple de 3.
  La réciproque n'est pas vraie, par exemple, 9 est multiple de 3 mais pas de 6.
• Tout multiple de 12 est aussi un multiple de 3 et de 4 et de 2.
  C'est vrai car 12 est multiple de 3 et de 4 et de 2.

Beaucoup d'affirmations que nous disons dans notre langage de tous les jours, dépendent de notre point de vu. Par exemple, les deux phrases

Zoé est la fille d'Alexandre  et  Alexandre est le père de Zoé

signifient la même chose, mais de points de vue différents. C'est cette diversité qui donne de la richesse à notre langue ! En mathématiques aussi il y a des manières différentes pour exprimer une même chose ; c'est utile, pas pour une question de style, mais car en maths le changement du point de vue est souvent un outil très puissant (voir un exemple dans cet article).

Définition.  Si m est un multiple de n on dit aussi que m est divisible par n ou que n divise m ou que n est un diviseur de m.

Autrement dit, n divise m si et seulement s'il existe k entier tel que m = kn.
L'équation m = kn équivaut à k = m/n. Ainsi n divise m si et seulement si la fraction m/n est un entier (si n est non-nul).

Notation.  Pour dire n divise m on écrit souvent n | m.

Exemples

• 5 | 15.
  On dit 5 divise 15 ou 5 est un diviseur de 15 ou 15 est divisible par 5 ou 15 est un multiple de 5.
• 3 | 15.

Les affirmations suivantes se déduisent directement de ce que nous avons déjà compris sur les multiples.

• Tout nombre divise 0 car 0 est multiple de tout nombre.
  En écriture mathématique, n|0 car 0 = 0 × n.
• Tout nombre divise soi-même car tout nombre est multiple de soi-même.
  Ou encore, n|n car n = 1 × n.
• 1 divise tout nombre car tout nombre est multiple de 1.
  Ou encore, 1|n car n = n × 1.

Règle 4.  Si p|n et si n|m alors p|m. Par exemple, 15|30 et 30|3000 donc 15|3000.

Preuve :  C'est une traduction directe de la règle 3.

Question :  Qu'est-ce qui est plus grand, multiple ou diviseur ?

Réponse :  Mise à part le multiple 0, les multiples d'un nombre sont plus grands que ses diviseurs.
Par exemple, les multiples non-nuls de 12 sont 12, 24, 36, .... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Question :  Qui sont plus nombreux, les multiples d'un nombre donné ou ses diviseurs ?

Réponse :  Un nombre non-nul possède une infinité des multiples mais seulement un nombre fini de diviseurs.
En effet, pour n non-nul, la liste des multiples de n est 0, n, 2n, 3n, ... C'est une liste infinie avec des nombres de plus en plus grands. En revanche, le plus grand diviseur de n est n lui-même, donc n possède un nombre fini de diviseurs qui se trouvent parmi les nombres 1, 2, 3, ..., n.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre donnée n'est pas facile si ce nombre est grand. Donc il est pratique de disposer de quelques critères de divisibiltés. Ca sera l'objet du prochain billet. Finissons ce billet avec un énoncé simple et sa preuve. Ca sera l'occasion de voir le formalisme des multiples en action.

Théorème.  Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair.

Preuve du théorème.  Fixons un nombre entier n au hasard et prouvons le théorème pour ce nombre. (Le mathématicien dit pour cela soit n un entier.) Alors il y a deux cas possibles : soit n est pair, soit n est impair.
Supposons d'abord que n est pair. Alors il existe un entier k tel que n=2k. Ainsi n²=4k² ce qui prouve que n² est un multiple de 4, et donc en particulier un nombre pair. On vient de prouver que si un nombre est pair alors son carré aussi.
Supposons maintenant que n est impair. Alors il existe un entier k tel que n=2k+1. Donc n²=(2k+1)²=4k²+4k+1, et comme les deux premiers termes de cette somme sont pairs on en déduit que n² est impair. On vient de prouver que si un nombre est impair alors son carré aussi.
Or un nombre entier est soit pair soit impair ; donc en fait on a prouvé lé théorème.

Remarque.  Le théorème peut aussi s'énoncer comme suit : un entier est impair si et seulement si son carré est impair.

Exercices.  Les quatre exercices suivants sont faciles. Il faut simplement imiter la démonstration du théorème.

1. Montrer qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son carré l'est.
2. Montrer qu'un entier est pair si et seulement si son cube l'est.
3. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 4 si et seulement si son carré l'est ?
4. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son cube l'est ?

Pour me rendre à vélo depuis le 11e arrondissement de Paris (et oui, cette chanson existe même dans ma langue !) jusqu'à la fac de Versailles j'essaye beaucoup de parcours différents. Autrement dit je pratique une sorte de calcul de variations pour trouver le chemin optimal. Ce n'était pas évident de faire un bon compromis entre plusieurs minimisations simultanées : le chemin le plus court, le chemin avec le moins de voitures et le chemin avec le moins de dénivelé...

L'un des parcours que j'ai testés passe devant un bâtiment abandonné à Meudon. Il est délabré, ses fenêtres sont pleines de graffiti et il y a déjà un panneau permis de démolir planté devant. Je me suis arrêté pour en prendre quelques photos. Pour savoir de quel immeuble il s'agit cliquez sur la deuxième image !

Meudon — immeuble prêt à casser... (cliquez sur la deuxième image)

C'est l'occasion pour féliciter mon ami Achim à Grenoble qui vient de soutenir son habilitation, probablement dans le but de quitter cette institution au futur incertain pour devenir professeur universitaire ;-)

Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?