Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

• calcul de prix
• calcul de prix
• calcul de prix
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction
• simplification d'une fraction

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :

a(1+ky)x² + by² = 1

Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

• D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
   
• Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
   
• D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci

  ax²/(1+ky)+ by² = 1.

  Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
   
• Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
   
  
• Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

Après le dessin "drôle" des courbes dans mon billet précédent, voici un petit dessin qui concerne pas mal de personnes je crois.

En fait, il y a tout un site web avec des bonnes blagues, aussi sur les maths, un peu à la Charlie Brown. Le site web s'appelle XKCD et est probablement tenu par un étudiant en sciences. Voici deux joyaux qui sont à mon goût.

Le suivant me rappelle mes propres expériences comme enseignant.

Et celui-ci fera rire notre bloggeur phycicien-cosmologue FB. Et celle-ci est fausse dans sa manière (avec la convention d'orientation habituelle du plan il faudrait écrire -90°).

Voir aussi ça ou ça ou ça ou ça.

Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

• comment trouver le centre d'un cercle
• comment calculer un pourcentage
• calculer une circonférence
• algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

1. blog ennuyeux
2. comment etre elégante en classe
3. pourquoi pas de belle fille en math spé
4. faire des math ou pas
5. comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
6. comment faire un piege a oiseau qui marche
7. piege a oiseaux sans piege
8. thèse doctorat reggae
9. ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
10. combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
11. comment resoudre une equation du premier degre sans pi
12. jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
13. apprendre beaucoup en peu de temps
14. bien gerer son bac avec humour
15. komen reusir le bac san travailé
16. avec quelle musique faire des maths ?
17. comment etre un bon eleve dans la classe
18. comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
19. insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
20. je veux qu'on me calcule cet exercice
21. comment faire une opération de transformation un homme en une femme
22. peut on réapprendre les maths à quarante ans
23. qui fait les math à ma place
24. demontrer de fausses égalités mathématiques
25. elle est ferme
26. image filles sur canapé
27. colloque proust contrepeterie
28. les étudiants ne savent plus faire une équation
29. exercice pour avoir le prix nobel en maths
30. apres combien de temps un chien oublie son maitre
31. comment tracer une droites concourantes
32. apprendre la corégraphie de nobody's perfect
33. je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
34. combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
35. comment trouver le mot je t'aime en math
36. comment être une fille amusante
37. comment aimer son mari
38. maths et masturbation
39. extrait x les petit nin avec femme
40. femme qui fait l'amour avec un chien
41. anssienne metode de multiplication
42. alain conne salaire
43. les 3 connes streaming
44. comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
45. franque du bosque
46. ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule    qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

• la relation d’égalité =
• l’addition +
• la multiplication
• le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
• le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
• le nombre transcendant (pour calculer l'aire d’un cercle)
• le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
• le nombre imaginaire i (solution de l’équation ).

L’auteur du blog
c'est moi, , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

D'après un classement récent du Wall Street Journal, être mathématicien est le meilleur métier !

Je ne sais pas comment ce sondage a été fait mais je peux confirmer que quand j'interroge mes anciens collègues d'études de mathématiques aucun n'est mécontent de son choix d'études. Et ils travaillent aujourd'hui dans des domaines très différents, autant dans le public que dans le privé, dans des banques, des ministères, des centres de recherche, des universités, des entreprises bio-médicaux, dans le consulting, dans l'informatique... L'un parmi eux l'a résumé ainsi : En choisissant les maths je ne me suis pas fixé, car ça laissait toutes les portes ouvertes.

Quant à moi, mon choix d'études n'était pas aussi pragmatique, je me suis laissé guider par ma passion. Après avoir hésité entre les études de musique ou de biologie marine, c'étaient finalement les maths qui ont emporté. La principale raison était que je voulais comprendre et ne pas apprendre.
Le premier déclic venait lors d'un séjour à Grenoble où j'étais en classe de Seconde au Lycée Stendhal. Notre professeur était un certain Mr Fluchaire et le programme de l'époque était encore passionnant car conceptuel (ce qu'on ne peut pas dire des programmes d'aujourd'hui — lire par exemple ces lamentations). Je me rappelle en particulier du cours sur les barycentres qui m'ont fasciné.
En même temps j'étais obligé de suivre le programme en Allemagne en lisant un manuel scolaire, à savoir Anschauliche Analysis. D'ailleurs je ne connais pas de livre scolaire utilisé dans les lycées d'aujourd'hui qui est d'une même qualité (voir par exemple ces extraits 1, 2, 3 et 4).

Le deuxième déclic venait d'un ami au même lycée Stendhal ; il était plus grand (déjà en première !) et était une sorte d'exemple pour moi. Il ma racontait des choses intéressantes sur les cardinaux des ensembles, je n'y comprenais pas grande chose mais ça m'intrigait...

Enfin, le troisième déclic venait au moment quand je suis rentré en Allemagne où on nous enseignait la définition de la continuité d'une fonction avec epsilon-delta. Bien qu'on ne nous demandait pas de preuves avec des majorations compliquées c'était le concept même de cette définition qui a éveillé mon intérêt pour les maths et la logique. J'ai beaucoup aimé l'idée que la fonction définie par 1/x était continue car le quantificateur ne s'applique pas au point zéro qui n'est pas dans l'ensemble de définition... J'ai compris à cette occasion qu'on pouvait tout affirmer sur les éléments de l'ensemble vide. C'était de la pure logique !

Appel aux témoignages : Quel déclic vous a fait étudier les maths ? Racontez vos souvenirs !

Après quelques billets de maths, il est temps de polémiser un peu ;-) Voici un texte écrit par un collègue que j'ai rencontré recemment, Bertrand Rungaldier, professeur en PCSI au Lycée Janson-de-Sailly à Paris. On pourra le lire comme complément à l'article sur la désaffection des jeunes pour les filières scientifiques de Fabien Besnard.

Les Etats généraux des Mathématiques. Le constat est alarmant. Alors que le besoin de mathématiciens n’a jamais été aussi important, la France manque de mathématiciens ; pourquoi donc les jeunes scientifiques délaissent-ils les sciences dures et notamment les Mathématiques ? Ah, voilà une question qu’elle est bonne !!
Pour ce qui est de se poser la question, gageons qu’on va se la poser, mais pour ce qui est d’apporter un semblant de réponse…
Car les doctes qui se réunissent vont prendre soin de se mettre un bandeau noir sur les yeux, de se boucher les oreilles avec de la cire et de chausser des lunettes équipées de prismes pour ne surtout pas voir la réalité en face.

Car bien avant que de se poser la question « Pourquoi les jeunes scientifiques français rechignent-ils à devenir mathématicien ? » il conviendrait de se poser à soi même la simple question « Pourquoi moi-même, j’ai choisi de faire des Mathématiques ? »
Je fais ici le pari qu’on ne posera jamais cette question car si la question fâche, la réponse tue ! S’imagine-t-on vraiment que la réponse pourrait être « parce que les mathématiques c’est utile à la vie ! » ? Peuvent-ils vraiment croire une seule seconde qu’on choisit de se lancer dans une discipline de l’extrême, et les mathématiques pures en sont une à leur façon, parce que « ça sert » ? Ou parce qu’en tant que lycéen démocrate j’ai choisi de faire des Mathématiques citoyennes et de lutter contre les inégalités de convexité ou des accroissements finis !

NON ! On se lance dans de pareilles études aussi difficiles et sélectives parce qu’on a été ébloui, émerveillé par un cours, un professeur ou un devoir en classe ou à la maison. Parce qu’à cette occasion on a vu un feu d’artifice intellectuel de concepts et de raisonnements et qu’on a été frappé par la grâce comme Saül ou par une flèche de Cupidon mais en tous cas parce qu’on a trouvé ça beau.
Alors posons maintenant la question qui tue : Croyez vous vraiment messieurs les doctes que les programmes actuels aient de quoi toucher, émerveiller et éveiller des vocations ? Cela fait vingt ans que les programmes de lycée et de collège sont vidés de leur contenus pour, disent les Inspecteurs Généraux, inciter les élèves à « faire des études scientifiques ». Et depuis vingt ans que c’est le contraire qui se produit. Plus les programmes se vident et moins il y a d’élèves voulant devenir scientifique.

Tandis que nous abaissons, que dis-je, que nous aplatissons le niveau d’exigence l’Inde ou la Chine elles augmentent le leur. Et plus elles l’augmentent et plus il y a de candidats. Etonnant non ?
Dans les années 1970-80 il y avait à peine 25000 bacheliers C par an dont presque 10.000 se lançait dans les sciences dures. Aujourd’hui ce ne sont pas moins de 125.000 à 130.000 bacheliers déclarés « scientifiques » qui quittent le lycée, et alors… les amphithéâtres de Mathématiques se vident peu à peu. Voilà la réalité.
Tant qu’à faire, pourquoi ne pas organiser une grande « tombola scientifique » : « Devenez scientifique en participant à notre jeux concours ! » On pourrait ainsi décréter 200.000 jeunes gens scientifiques chaque année. Et en moins de 10 ans il n’y aurait plus du tout d’étudiants en sciences et cela permettrait de faire des économies.

On ne devient pas alpiniste en contemplant les steppes d’Asie centrales. On devient alpiniste en regardant des sommets couronnés de blanc avec le ciel bleu sombre au dessus et le soleil et qu’on se dit « Je veux monter la haut ! ». On ne devient pas pilote de catamarans de course au large en faisant du pédalo sur un étang « parce que c’est ludique », mais en regardant la mer, déchaînée, et qu’on est aspiré par l’immensité des forces de la nature.
On ne devient pas virtuose parce qu’on a téléchargé « Au clair de la lune » joué au tam-tam sur son portable, mais parce qu’on a écouté Czyfra jouer les Etudes d’Execution Transcendantes de Liszt ou Evgeni Kissin jouer l’Appassionata ou Glenn Gould jouer des partitas de Bach. Voilà qui motive et qui peut éveiller des vocations.

Alors quand on ouvre un livre de TS de mathématiques avec ses 450 pages de « Pour prendre un bon départ », « Un peu d’histoire », « Ce qu’il faut retenir », « L’Essentiel du cours », « Travaux Dirigés », « C’est nouveau au BAC », « A quoi ça sert ? », « Exercice corrigés », « Comment utiliser le cours », « Problèmes corrigés », « Réfléchissons », « Approfondir », et pourquoi pas « Mickey et les intégrales » ou « relie les points et devine où est caché Pluto » ; où l’on découvre par hasard trois pages d’un pseudo cours avec de vagues recettes sans la moindre démonstration rigoureuse (ça ne sert à rien or « Les Maths c’est utile ! »), sans définitions précises (parce que c’est trop abstrait), sans concept (parce que c’est « élitiste »), tout cela dans un déluge de bleu, de vert, de rouge, de jaune de photos et de dessins et bientôt sans doute des pages qui clignoteront et qui feront « pin-pon » quand on les ouvre ou bien qui téléchargeront un tube sur internet parce que « c’est plus motivant pour les élèves »… alors, si l’on a réussi à se retenir de pleurer on se dit qu’à moins d’avoir des parents eux-mêmes mathématiciens, un adolescent aujourd’hui n’a aucune chance d’être un jour un tant soit peu émerveillé par les Mathématiques.

450 pages de livre et misérablement 50 pages de cours quand j’avais 1200 pages de livre et 600 pages de cours le tout avec seulement 3 heures de mathématiques en plus. 50% d’horaire en plus mais dix fois plus de connaissance. Il y avait de quoi être motivé. Et quand on me rétorque « toi, oui mais moi je n’aimais pas vraiment les maths » je réponds « alors que faisais-tu en TC ? » et là silence !

Pourquoi moi, ai-je voulu faire des mathématiques ? Parce que j’ai été ébloui par un devoir sur le groupe des fonctions arithmétiques, parce qu’en fin de premier trimestre de Maths Sup j’ai pu m’acheter le livre Théorie algébrique des nombres de Pierre Samuel. Et Pourquoi ? Croyez-vous que j’avais l’âme d’un matheux ? Peut-être… mais à coup sûr parce que j’avais des connaissances qui me permettaient de mettre le nez dedans et de trouver ça beau : extension de corps, anneau, quotient, idéal premier, maximal, anneau quotient, factorisation canonique j’en passe et des meilleurs. Toutes ces connaissances qui m’ont motivé qui m’ont ébloui (moi et sans nulle doute bien d’autres) un élève de prépa rentre aujourd’hui rue d’Ulm sans en avoir la moindre trace !

Comment s’étonner qu’il n’y ait plus d’étudiant en géométrie algébrique, LA spécialité française, alors qu’un étudiant arrive en L3 sans jamais avoir vu autre chose comme espace topologique que des « parties d’un evn » tandis que de mon coté, après deux mois de Maths Sup, j’avais déjà vu des points ouverts et le fait qu’un espace était séparé si et seulement si sa diagonale est fermée.
Croit-on que l’on va inciter des étudiants à faire de la cohomologie avec un programme d’algèbre linéaire qui stipule « l’accent devra être mis sur le calcul matriciel », chose utile mais tellement « bovine » qu’elle est justement utilisée dans les ordinateurs. Doit-on rappeler aux zigés qu’un cerveau n’est pas fait en silicium et que ce qui sert à l’un est très précisément ce qui démotive l’autre ?

La vacuité des programmes de Mathématiques de lycée n’a d’égale que celle du grand vide de la constellation d’Eridan. Les sinistres crétins de l’Inspection Générale ont été jusqu’à vouloir supprimer toute la géométrie dans les nouveaux programmes de seconde. Il a fallu un tollé de la part des professeurs pour que le reste d’un embryon de géométrie soit maintenu.
« Les cons, ça osent tout, c’est même à ça qu’on les reconnaît » dit le film, et bien on a osé inscrire au programme de PCSI l’algorithme d’Euclide des polynômes (qui est une horreur) alors que les notions de PGCD et de polynôme premiers entre eux (à quoi sert précisément cet algorithme) sont hors programme ! Bref, il y a à l’heure actuelle au programme un algorithme compliqué dont le résultat est hors programme. Bref, un algorithme qui officiellement ne sert à rien !

Les programmes sont aujourd’hui tellement stupides, tellement vides, tellement insipides que Laurent Lafforgue s’il les avait eu serait sans doute entré à Solesmes pour pouvoir fréquenter un peu l’infini qu’il a pu trouver dans les EGA et dans Grothendieck.
Il faut parler un minimum l’allemand si l’on veut apprécier celui de Goethe. On pourra faire tous les films et toutes les animations sur le sage de Weimar ce n’est pas comme cela qu’on motivera réellement des étudiants. Oh certes ils diront « c’était très intéressant » mais c’en restera là. Ce n’est pas ainsi qu’on les motivera pour étudier le Faust. C’est plutôt en leur donnant un minimum de vraies connaissances.

Tous ces efforts de vulgarisations sont certes louables mais force est de constater qu’il ne fonctionnent pas et cela parce que le niveau de connaissance est tellement loin du minimum que cela fait le même effet à un élève que si on lui récitait le Mahabaratha en sanscrit. On pourrait tout aussi bien lancer une campagne de promotion avec des pom-pom girl parcourant les TS de France en scandant « Vive les maths, vive les maths, Oui, oui, oui ! » ou encore « On est foot des Maths » avec Zinedine Zidane. Cela n’y changera rien. On donne le goût de quelque chose en la faisant goûter...
A vouloir à n’importe quel prix et par pure démagogie, faire des « scientifiques » qui n’en sont pas, on a écœuré tous ceux qui étaient susceptibles de le devenir. Oh certes il restera bien quelques fils et filles de mathématiciens qui seront brillantissimes. Ce seront les arbres qui cachent le désert. La France aura peut-être encore quelques médailles Fields car celles-ci récompensent des gens d’exception, hasards de la génétiques. Mais derrière ces arbres il n’y aura plus que des dunes de sable très mou.

Lorsque parfois l’on s’exclame « mais pourquoi supprimer tel ou tel pan de programme susceptible de motiver des élèves » la réponse est toujours : « ça ne sert à rien et ceux qui aiment les mathématiques pourront apprendre cela plus tard ». Et bien non ! Ils ne l’apprennent pas ni plus tard ni jamais parce qu’ils n’éprouvent aucune envie d’étudier des choses aussi ennuyeuses et qu’ils ignorent même qu’il puisse exister des choses passionnantes.
Le cas des Mathématiques est à ce titre particulier car la matière ne peut pas se vulgariser sans se livrer à une dénaturation telle qu’il ne reste rien de la chose même. Or l’absence de connaissance n’est pas une motivation pour en acquérir. Pour motiver des adolescents à se lancer dans les Mathématioques il faudrait des programme de Lycée difficile, abstrait sélectif. Précisément ce que font Chinois, Indiens, Russes qui oh miracle ! ont des étudiants à ne savoir où les mettre.

Ci gît l’Ecole Mathématiques Française, trahie et exterminée par un Ministère qui aurait dû la défendre.

(Auteur : Bertrand Rungaldier, professeur de prépa au Lycée Janson-de-Sailly)

Aujourd'hui est paru dans le journal le Monde un article sur la suppression de l'enseignement obligatoire d'Histoire-Géographie en terminale S. Les commentaires se chauffent beaucoup :

Jeunes amis de S & futurs incultes bonjour! Si vous avez la malchance d'être bons en maths, vous n'aurez plus le droit d'accéder à la culture. Etc., etc....

Je ne comprends pas cette excitation. Je suis tout à fait d'accord avec cette réforme. Je pense qu'à partir d'un certain point il faut commencer à se spécialiser et si c'est en terminale, donc juste deux ans après le moule unique du collège unique, ce n'est vraiment pas trop tôt (*). Cela ne signifie pas qu'on devient ignorant en histoire. Lorsque je passais mon bac de maths (en Allemagne) le système me permettait de ne plus prendre de cours d'histoire-géo ni de français pendant la première et la terminale — et pourtant aujourd'hui je parle le français et je ne crois pas d'être inculte. A partir d'un certain âge il faut laisser les personnes choisir leurs priorités et leur faire confiance que, le moment venu, ils vont chercher à se cultiver dans d'autres domaines à leur propre initiative.

J'irai même plus loin : il faudrait supprimer les cours de langue obligatoires en classes préparatoires scientifiques ou à l'université pour leur laisser le temps de bien assimiler leurs cours en sciences. Evidemment un scientifique d'aujourd'hui doit maîtriser au moins l'anglais et une autre langue etrangère, mais encore une fois : je pense qu'il aurait dû l'apprendre avant le bac pour ensuite compléter ses connaissances, à son propre gré, par un vocabulaire scientifique. (**) Le fait qu'il y a encore des cours d'anglais en CPGE scientifiques ou à la fac n'est, pour moi, qu'une preuve que le système d'enseignement des langues au collège et au lycée a échoué et n'a pas réussi à donner des bases suffisantes pour que l'étudiant puisse se perfectionner de manière autonome.

De manière générale, je suis contre le zapping qu'on fait dans l'enseignement actuel : trop de matières et trop de zapping à l'intérieur du programme d'une matière. L'idée de vouloir faire un peu de tout, et tout en même temps, est très déstabilisant pour les élèves — et en fin du compte peu est acquis. A mon avis le mieux est ce qu'on appelle un T-shaped knowledge, c'est-à-dire on commence avec une base solide, puis on rentre à fond dans une matière. Cela permet à l'élève de gagner de la confiance en soi, et ensuite il peut transposer les méthodes acquises dans un deuxième domaine pour construire son

(*) Il faut aussi rappeler le fait qu'aujourd'hui un trop grand nombre de bacheliers S arrivent en études supérieures sans savoir manipuler correctement une équation avec des fractions ou des racines carrées (programme du collège). On peut en voir des exemples ici. J'enseigne aujourd'hui dans le supérieur et il est flagrant de voir combien d'étudiants en première année ont des lacunes graves en raisonnement et en calcul simple. Je ne peux que saluer une réforme du lycée qui leur laisse plus de temps pour réviser ces notions qu'ils ont zappées dans un système de collège unique qui attend sa réforme à lui.

(**) Il serait souhaitable en CPGE qu'on fasse de temps en temps cours ou TD de maths en anglais. Quant à moi, j'essaie au moins de leur donner des exercices posés et corrigés en anglais ou allemand, comme par exemple ici.

Aujourd'hui je propose à mes lecteurs un entretien avec Martin Andler, président de l'association Animath.

MathOMan : Qu’est-ce qu'Animath ?

Martin Andler : Animath est une association créée en 1998. Son objectif est de promouvoir les activités mathématiques « périscolaires», c’est-à-dire les activités proposées aux élèves de collège et de lycée sur la base du volontariat en dehors du temps scolaire. Animath a une vocation nationale. Nous sommes soutenus par la SMF, la SMAI, la SFDS, Femme et math, l’APMEP et l’Inspection générale de mathématiques et regroupons l’ensemble des acteurs associatifs et institutionnels de l’animation mathématique en France (les IREM, Maths en Jeans, Le CIJM, la FFJM, l’association Kangourou, Science ouverte…).

MOM : En quoi consistent les actions ?

MA : Animath organise des actions elle-même mais c’est aussi la maison commune, et nous soutenons les actions qui sont menées par nos membres. On pourrait classifier ces activités comme suit. Premièrement, les activités ponctuelles :

• Participation à un concours en temps limité : Kangourou, les rallyes mathématiques, les olympiades académiques de mathématiques, etc.
• Assister à une conférence donnée par un chercheur : les promenades mathématiques, les conférences « un texte un mathématicien » à la BNF, les interventions « les maths ça sert », visite d’une exposition mathématique dans un musée ou centre de culture scientifique.
• Participation à une journée comme « Filles et mathématiques : une équation lumineuse ».

Deuxièmement, les activités régulières :

• Participation à un club mathématique ou atelier scientifique.
• Préparation d’un projet scientifique dans le cadre de Maths en Jeans ou d’un concours de projet scientifique.

Et finalement les stages qui peuvent durer entre trois et dix jours pendant les vacances scolaires.

MOM : Mais ces activités s’adressent uniquement à des petits génies ?

MA : Non ! La seule condition est de s’intéresser aux maths. Evidemment lorsqu’il s’agit de sélectionner les types de six élèves qui représenteront la France aux Olympiades Internationales de Mathématiques (OIM) les élèves concernés sont extrêmement talentueux. Mais nous avons besoin de former chaque année des centaines de docteurs en mathématiques et des dizaines de milliers de personnes qui vont exercer des métiers à base scientifique ; et nous avons besoin aussi de penser à l’ensemble d’une classe d’âge.

MOM : Justement concernant les OIM, ça m’a toujours étonné que la France, pays de haut niveau en maths, figure en position moyenne depuis plus de vingt ans. Les dernières années les premiers rangs sont occupés par la Chine, le Vietnam, l’Iran, les Etats-Unis et la Russie.

MA : Rappelons que la participation aux OIM est réservée à des élèves de lycée. Leur moyenne d’âge est autour de 17 ans. Pendant un certain temps la France recrutait son équipe aussi parmi des élèves de maths sup. Mais il est apparu que le recrutement post-bac était non-conforme au règlement et depuis lors les résultats des français se sont nettement détériorés.

Cela dit, le règlement s’applique de la même manière à tous les pays et si nous obtenons des résultats aussi faibles (au-delà de la 30e place au classement par pays parmi une centaine de pays participants) c’est peut-être pour trois raisons : Premièrement, la scolarité en France retarde la spécialisation des élèves. La France est le seul pays où les élèves doivent étudier autant de matières (environ dix) jusqu’à la fin du lycée. Deuxièmement, nous n’avons pas actuellement un système efficace de détection des élèves talentueux en mathématiques. Et troisièmement, nous commençons seulement mettre en place une véritable préparation aux OIM.

Par contraste, beaucoup d’autres pays y compris des pays très comparables (Allemagne, Italie, Royaume Uni, Espagne) ont mis en place depuis des années un système de détection et de préparation avec des stages, des cours et des concours blancs. Dans tous ces pays les universités sont fortement impliquées dans ce processus et profitent de ces stages pour donner aux jeunes un premier contact avec des mathématiques plus avancées.

La structure qui prend en charge la participation française à l'OIM est l'Olympiade française de mathématiques (OFM), animée par Claude Deschamps. Notre rôle, ainsi que celui de certains clubs de mathématiques comme le club de mathématiques discrètes à Lyon se situe en amont de l'OFM. Nous organisons des stages de préparation olympiques destinés à des élèves qui se sont distingués dans les différents concours. Nous recevons une subvention du Ministère de l'Education Natioanle pour permettre à tous les élèves sélectionnés de participer, indépendamment de leurs ressources familiales. Le club de Lyon recrute des élèves de la région lyonnaise, mais attire également quelques élèves de la France entière pour des séances tous les quinze jours. L'OFM prend en charge chaque année en début d'année scolaire un groupe d'élèves susceptibles de faire partie de l'équipe l'été suivant.

Animath espère que l’on va progressivement se rapprocher du type d’organisation des autres pays.

Je voudrais insister sur deux points : Les résultats aux OIM ne sont pas un but en soi ; ce qui est intéressant c’est de permettre à des élèves doués de découvrir les mathématiques plus difficiles et avancées que celles qu’ils font au lycée. Puis, il ne faut pas se limiter à agir que pour quelques dizaines ou même quelques centaines de jeunes chaque année. Les besoins de formation scientifique sont bien plus globaux. Par exemple, à Hambourg il existe depuis des années un réseau de clubs mathématiques et tous les professeurs de mathématiques de moins de 50 ans ont participé à ces clubs lorsqu’ils étaient élèves eux-mêmes.

MOM : Pourquoi les mathématiques ne sont-elles pas appréciées par un grand nombre d’élèves ?

MA : Une difficulté à laquelle nous sommes tous confrontés est que l’apprentissage des math exige la maîtrise d’un certain nombre d’outils qui finissent par occuper tout l’espace-temps disponible dans l’enseignement. Du coup, les professeurs ne peuvent pas rendre compte du caractère vivant de la discipline, tant sur le plan de la recherche que sur le plan des très nombreuses applications des mathématiques. Les élèves ont l’impression que les mathématiques sont une discipline qui est morte depuis longtemps et qui n’a aucune pertinence dans les activités humaines. Nous devons changer cette perception et montrer qu’il y a une activité de recherche en math, même à ceux qui ne seront pas eux-mêmes chercheurs, et nous devons montrer que les maths ont des liens très forts avec les autres domaines des sciences, y compris les sciences sociales, et que beaucoup d’activités importantes dans la société se basent sur une vraie culture mathématique.

MOM : Pour moi personnellement ce point de vu « utilitaire » est très réducteur. J’ai choisi les études maths car je trouvais ça beau et par défi intellectuel, et beaucoup de mes camarades d’études à la fac l’ont fait pour ces mêmes raisons, tout en sachant qu’ils n’auraient pas de mal de trouver un emploi dans l’industrie une fois obtenu le diplôme.

MA : On peut dire qu’il y a deux catégories de gens. Ceux qui acceptent de jouer le jeu des mathématiques a priori : ils trouvent que les math sont belles et intéressantes en elles-mêmes. Mais il y a tous les autres qui n’accepteront de s’intéresser à une question de math que dans la mesure où cela leur permet de résoudre d’autres problème qui sont au cœur de leurs préoccupations. Même s’il est vrai que les math sont présentes un peu partout, on ne peut pas faire de leur apprentissage un préalable. A Animath, nous avons deux programmes qui cherchent à combler ce déficit dont j’ai parlé. Avec la SMF et avec le soutien du CNRS et de l’INRIA nous avons mis en place les « Promenades mathématiques ». Ce sont des conférences données par des chercheurs dans un établissement scolaire ou dans un lieu culturel au autre. La structure des promenades permet à un enseignant de collège ou de lycée de trouver assez facilement un chercheur susceptible à venir dans son établissement.
Cela est surtout intéressant pour les collèges et lycées éloignés des universités. J’encourage tous les chercheurs à proposer des conférences pour notre catalogue de promenades mathématiques, et évidemment les professeurs de lycée et de collège de nous en demander. La deuxième initiative est celle qui s’appelle « les math ça sert! ». Nos partenaires sont la SMAI et la SFDS et nous sommes soutenus par la fondation « C’Génial ». Là, il s’agit de faire venir dans les classes des ingénieurs, techniciens, gestionnaires, banquiers, architectes... qui, partant de ce qui est fait en classe à l’instant t, montrent comment cette notion de base est pertinente pour leur travail. Ce programme vient de démarrer ce printemps 2011.

MOM : Y a-t-il un concours de projets scientifique pour les lycéens en France ?

MA : Il faut bien reconnaître que la France est très en retard sur ce point. Aux Etats-Unis il existe le concours ISEF (International Science and Engineering Fair), sponsorisé par INTEL. Ce concours a été créé en 1950. En Allemagne il y a le concours « Jugend forscht » (La jeunesse fait de la recherche) qui a été créé en 1966. Ces deux concours sont portés par des fondations indépendantes qui trouvent leurs financements. Aux Etats-Unis les récompenses sont des bourses d’études très importantes. Il existe aussi un concours européen depuis un peu plus de 20 ans qui s’appelle « European Union contest for young scientists ». Tous ces concours s’adressent à des lycéens. Il s’agit pour eux d'effectuer un travail individuel ou en petits groupes (jusqu’à trois ou quatre), à longue haleine (six mois, un an ou plus) sur une question scientifique. En général le travail est suivi par un professeur de lycée, mais souvent se fait également au contact d’un chercheur. J’étais il y a deux semaines invité à Kiel pour assister à la remise des prix du concours « Jugend forscht 2011 ». Pour montrer l’importance que l’Allemagne y accorde, la cérémonie était présidée par Christian Wulff, le président de la RFA. Il y a sept catégories disciplinaires (biologie, chimie, physique, mathématiques-informatique, sciences de l’univers, sciences de l’ingénieur, enseignement professionnel). Au départ il y a environ 6000 projets qui participent aux compétition locales ; ce sont les jeunes eux-mêmes qui déterminent leur sujet, comme de vrais chercheurs, en toute liberté. Puis on en sélectionne une centaine et enfin la moitié entre eux obtient un prix. Quelques exemples de sujets de cette année : en physique, le travail du premier prix, Benjamin Walter (16 ans), portait sur l'interaction entre le coronène et une couche superficielle de germanium. Il s'est demandé s'il serait possible de produire du graphène à partir de ce matériau. En utilisant la microscopie à effet tunnel, il a pu répondre négativement à cette question, mais il a obtenu des informations très intéressantes sur les aspects géométriques et énergétiques de l'interaction coronène/germanium. En chimie, Nico Fleck (15 ans) a travaillé sur la « réaction de Finkelstein », où des molécules organiques se lient avec l'iode; il a étudié l'influence de divers catalyseurs et solutions. Il a déterminé que l'éther couronne accélère la production de canaux iodés.

Les deux projets qui on reçu les premiers prix en mathématiques : l’un était sur la généralisation du problème de coloriage de plan. Il s’agit d’une question posée par Ed Nelson : combien faut-il de couleurs pour colorier le plan en sorte qu’il n’existe pas de points à distance 1 ayant la même couleur. Cette question est encore ouverte aujourd'hui. Ils ont travaillé sur des généralisations et des variantes de ce problème. L’autre projet concernait des question de pavage du plan. La découverte du polygone de Voderberg en 1936 conduit à des formes étonnantes que ce groupe de jeunes chercheurs a explorés, en créant des modifications de la construction de Voderberg. Ils ont également étudié le problème dit de « Heesch » sur la taille des pavages.

Pour la première fois cette année deux équipes françaises ont été invitées au concours ISEF à Los Angeles début mai. Un des deux projets était en physique et avait participé aux « Olympiades la physique en France » et l’autre était un projet en mathématiques qui avait participé au concours « C’génial ». Les deux groupes ont obtenu un quatrième prix ce qui est tout à fait remarquable. Je connais bien le professeur responsable du projet de math, Francis Lauret ; il enseigne dans un collège à Miramas. Cela fait plusieurs années qu’il y anime l’atelier « Euclide » et qu’il fait travailler ses élèves dans le cadre de cet atelier. Le groupe qui a présenté le projet à Los Angeles consistait de deux élèves de 3e du collège, Marine Auriol, Clément Martinez, et d'Arnaud Vespa, un ancien élève qui est maintenant en 1ère. Le titre de leur projet était « Du record du tour du monde à la voile aux trous noirs : d’étranges géométries. Des applications concrètes des théories modernes en mathématiques. » Au départ ils avaient participé au « Vendée Globe » virtuel sur internet, où il fallait trouver la meilleur stratégie pour un skipper. Cela les a amenés d’abord à comprendre la géométrie sphérique, la physique d’un bateau à voile et la météo, mais aussi à concevoir un pilote automatique A partir de là ils se sont intéressés à des géométries non-euclidiennes plus générales, y compris la géométrie tropicale et à ses applications.

En France il existe maintenant plusieurs concours de projets scientifiques mais qui sont à bien plus petite échelle que les concours analogues dans la plupart des autres pays. Il y a le concours « Faites de la science » organisé par les UFR scientifiques. Il y a « C’Génial » organisé par Sciences à l’école. Ces deux concours concernent toutes les disciplines. Il y a aussi les « Olympiades la physique » qui contrairement aux « Olympiades de mathématiques » ne sont pas un concours en temps limité mais un concours de projet.

Il faut mentionner aussi « Maths en jeans », qui est un véritable succès depuis 22 ans ; l’idée est la même, à savoir faire travailler les élèves sur un projet mathématiques à longue haleine mais avec deux différences : premièrement le groupe peut comporter jusqu’à une trentaine d’élèves, deuxièmement il n’y a aucune notion compétitive, la récompense consiste à pouvoir présenter ses résultats au congrès « Maths en jeans ».

Concours de projets et concours en temps limité, avec ou sans compétition, sont complémentaires ; parfois des élèves participent aux deux, mais parfois les concours de projets scientifiques permettent à des élèves qui ne sont pas forcément très bons scolairement d’exprimer tout leur talent. Les concours de projet scientifique français concernent très peu d’élèves, beaucoup moins que par exemple en Allemagne. On peut se demander pourquoi. La première raison est qu’ils sont bien plus récents et qu’ils disposent d’appuis institutionnel et matériel beaucoup moins forts. Mais il y a une raison plus fondamentale : le talent qui peut s’exprimer dans un travail personnel qui dure un an ou parfois plus ne donne aucune indication sur la capacité à réussir dans les épreuves en temps limité qui sont la colonne vertébrale de la tradition française de sélection. Je trouve ça décourageant ! Dans une certaine mesure les sciences expérimentales et les sciences de l’ingénieur sont plus affectées que les mathématiques. En effet, la capacité de réussir des épreuves en temps limité en maths se rapproche plus d’une activité mathématique authentique que ça ne l’est le cas pour les sciences de l’ingénieur ou de laboratoire.

Il reste beaucoup à faire pour que nos concours de projets scientifiques atteignent le niveau de leurs homologues dans d’autres pays. Les exemples que j’ai donnés montrent que ces concours ont un sens en mathématiques. On peut à cet égard mentionner le Concours Shing Tung Yau en Chine qui est un concours de projets mathématiques qui existe depuis 2008. J’aimerais bien qu’on créé un concours de ce type là pour les mathématiques au niveau européen.

MOM : Merci pour cet entretien ! Un mot pour la fin ?

MA : Nous avons évoqué ensemble un certain nombre d'activités périscolaires mathématiques. Il y en a d'autres, comme les stages de mathématiques pendant les vacances, les initiatives spécifiques pour les filles, ou d'autres. Dans ces cas-là, on peut travailler spécifiquement en direction des jeunes des zones défavorisées, qui ont le plus besoin d'être appuyés dans leur parcours scolaire, ou en direction des filles qui ont tendance, on le sait bien, à se détourner des études scientifiques à forte intensité mathématique. Nous aurons peut-être l'occasion d'en reparler.