Espace vectoriel de dimension finie

Avis de recherche

Par Mathoman, vendredi 6 février 2009 à 12:38 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d'algèbre linéaire.

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n'est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Dimension du commutant d'une matrice

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Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices.

Soit A une matrice carrée d'ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n.

Etudes dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).

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Question de codimension en algèbre linéaire

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Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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Mieux comprendre la topologie des matrices singulières

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Mon billet récent sur la dimension maximale d'un sous-espace affine contenu dans l'ensemble des matrices non-inversibles m'a inspiré les réflexions suivantes, une sorte de version différentiable de ce résultat.

On note ${\mathcal M}_n(\mathbb{R})$ l'espace des matrices n x n à coefficients réels et $GL(n,\mathbb{R})$ le sous-ensemble des matrices inversibles. On sait que $GL(n,\mathbb{R})$ est un ouvert dans ${\mathcal M}_n(\mathbb{R})$ . En effet c'est l'image réciproque de l'ouvert $\mathbb{R}^*$ par l'application continue déterminant

$\det\;:\;\; {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) \;\rightarrow\;\mathbb{R}.$

On peut même dire un peu plus : le déterminant étant polynômial en $x_{11},x_{12},\dots,x_{nn}$ le complémentaire des matrices inversibles, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de déterminant nul,

$\mathcal{A}\; =\; {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) \:\backslash\:GL(n,\mathbb{R})$

est une hypersurface algébrique. Géométriquement parlé $\mathcal{A}$ est un fermé de ${\mathcal M}_n(\mathbb{R})$ qui ressemble localement à un hyperplan (c'est-à-dire à un sous-espace affine de dimension n²-1). Enfin, cela est vrai en presque tous les points, ceux où la différentielle du déterminant ne s'annulle pas (points réguliers). En revanche, en les points où la différentielle du déterminant est nulle (points singuliers), l'hypersurface $\mathcal{A}$ ne ressemble plus à un sous-espace affine. Il peut y avoir un croisement comme par exemple

ou un rétrécissement comme par exemple

(Pour plus d'images de surfaces algébriques visitez le la galerie de Herwig Hauser.)

Il est évident que la différentielle du déterminant est nulle à l'origine. Donc notre hypersurface ${\mathcal A}$ possède une singularité à l'origine. Le résultat suivant dit qu'il s'agit d'une singularité de type rétrécissement, car l'hypersurface de dimension n²-1 y perd quelques dimensions — il y reste juste assez de place pour n²-n dimensions...

Proposition :

Le nombre n²-n est la plus grande dimension possible d'une sous-variété différentiable F de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $0\in F\subset {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) \backslash GL(n,\mathbb{R})\,.$

Démonstration :

L'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un sous-espace vectoriel (et donc en particulier une sous-variété différentielle) de dimension n²-n. Evidemment il contient l'origine 0 et est contenu dans $\mathcal{A}$ .

Soit F une sous-variété de ${\mathcal M}_n(K)$ de dimension n²-n+1 et telle que $0\in F$ . Nous allons prouver que F contient une matrice inversible.
Au voisinage de l'origine la sous-variété F est décrite par un système de n-1 équations
$f_j(x_{11},x_{12},\ldots,x_{nn})=0\,,\;\;\;j=1,\,\ldots\,,n-1,$
tel que les différentielles $df_j$ sont linéairement indépendantes à l'origine. On résoud ce système par le théorème des fonctions implicites, c'est-à-dire on peut isoler (théorétiquement) n-1 des coordonnées et les exprimer par les autres. On a ainsi, toujours au voisiange de l'origine, n²-n+1 coordonnées variables et n-1 coordonnées isolées (fonctions différentiables des coordonnées variables).
Maintenant je peux poursuivre mon raisonnement de la preuve du cas affine : par des permutations de lignes et de colonnes je m'arrange à ce que les coordonnées isolées soient toutes au-dessus de la diagonale matricielle ; puis je prends les coordonnées sur la diagonale toutes égales à un nombre $\epsilon$ non-nul et proche de 0 et les autres coordonnées variables égales à 0. Ainsi j'obtiens une matrice inversible qui est dans F.

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Blagues ingénieur vs. physicien vs. mathématicien

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Aujourd'hui quelques lignes pour vous faire rire...

On demande à plusieurs scientifiques : "Combien vaut pi ?"
L'ingénieur répond : "C'est approximativement 3 et 1/7."
Le physicien dit : "C'est 3,14159"
Le mathématicien réfléchit un instant et répond : "C'est égal à pi".

Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kaluza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.
Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé. A la fin, le mathématicien et l'ingénieur, qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."

Un biologiste, un physicien et un mathématicien sont assis à la terrasse d'un café et regardent les passants. De l'autre côté de la rue, ils voient un homme et une femme entrer dans un immeuble. 10 minutes plus tard, ils ressortent avec une troisième personne.
— Ils se sont multipliés, dit le biologiste.
— Oh non, une erreur de mesure, s'écrie le physicien.
— S'il rentre exactement une personne dans l'immeuble, il sera de nouveau vide, conclut le mathématicien.

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur voyagent à travers l'Ecosse et voient un mouton noir par la fenêtre du train.
"Aha," dit l'ingénieur, "je vois que les moutons écossais sont noirs."
"Hmm," dit le physicien, "tu veux dire que certains moutons écossais sont noirs."
"Non," dit le mathématicien, "tout ce qu'on sait est qu'il y a au moins un mouton en Ecosse, et qu'au moins un côté de ce mouton est noir !"

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Torsion du bras - le groupe fondamental de SO(3)

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Dernièrement nous avons parlé de groupes cycliques et du groupe de rotation SO(3). Aujourd'hui nous allons revisiter ces deux notions pour explorer une jolie propriété en mathématiques.

Voici une petite vidéo où je tourne mon bol de café au lait. Plus précisément je lui fais deux tours complets. On remarquera qu'après le premier tour mon bras est tourdu, mais après le deuxième tour mon bras revient à sa comfortable position du début.

MathOMan tord son bras... et le remet à sa place!

Bizarre... La tasse de café retrouve sa position initiale après le premier tour. Ca semble évident car une rotation par 360° revient à faire une rotation de 0°. Mon bras, en revanche, a besoin de deux tours, c'est-à-dire 720°, pour retrouver sa position initiale.

Le secret de tout ça réside dans le groupe fondamental de SO(3). Le groupe fondamental est constitué des lacets (chemins fermés) — plus précisément des classes d'homotopie de lacets, deux lacets étant dit homotopes si on peut déformer l'un dans l'autre de manière continue.

Le problème est donc de savoir si l'on peut passer continûment d'un lacet dans l'espace des rotations à un autre. C'est une question de topologie non-triviale. Il se trouve que, contrairement a ce que nous dit notre intuition, une rotation de 360° n'est pas équivalente à pas de rotation! C'est profondement incompréhensible à premier abord. Il faut une rotation de 720°.

Explication (par handwaving en prose)

Pour ce qui suit il faut avoir compris que SO(3) peut être vu comme la boule d'unité (de l'espace ambiant à trois dimensions) après identification des antipodes sur la sphère — voir le billet sur le groupe de rotation SO(3) pour les détails.

Choisissons deux antipodes P et Q sur la sphère et notons g le chemin qui va de P à Q en ligne droite. Or g est un lacet dans SO(3) à cause de l'identification des antipodes. Plus précisément, il s'agit des rotations atour de l'axe fixe (PQ) commençant avec l'angle -180° et finissant avec l'angle 180°. Ce lacet g représente donc précisément un tour de la tasse de café.
Soit h un demi-cercle sur la sphère, allant de P à Q. Il est clair qu'on peut déformer g continûment en h. En termes d'homotopie on a alors g=h.
Considérons le demi-cercle h' allant de Q à P qui complète h en un cercle entier. Maintenant vient le point crucial: le cercle entier h+h' est homotope au lacet constant, car on peut le "rétrécir en un point''.
D'autre part il est clair que, par identification des antipodes, h et h' sont deux lacets identiques dans SO(3). Nous obtenons ainsi 2g=2h=h+h'=0 dans le groupe fondamentale de SO(3).

Ainsi nous avons montré que 2g=0, c'est-à-dire un tour de 720° du bol de café se déforme continûment au tour nul, ce qui permet à mon bras de se remettre en place.

Il reste à voir qu'on n'a pas déjà g=0, autrement dit qu'il est impossible d'avoir le bras en place déjà après le premier tour. Une manière simple de comprendre que g , ou encore h, n'est pas homotope au lacet constant est de voir h comme un lacet dans l'espace projectif de dimension 3. Il correspond alors à la rotation d'une droite dans l'espace de dimension 4, d'angle 180° autour d'un axe perpendiculaire. La droite revient sur elle-même, mais on ne peut pas rétrécir ce mouvement.

Voilà, si on formalise ces raisonnements un peu plus, on démontre que le groupe fondamental de SO(3) (ou plus généralement d'un espace projectif de dimension au moins 3) est le groupe cyclique à deux éléments Z/2Z.

Les physiciens adorent ce genre de propriétés mathématiques et invoquent même le groupe de Spin, revêtement universel de SO(3). Mais pour expliquer ces applications en physique théorique, il faudra un autre bloggeur — peut-être un PhysOMan?

On m'a recommandé à ce sujet le livre Spinors & Space-Time de Roger Penrose et Wolfgang Rindler mais mes maigres pré-recquis en physique m'ont découragé de l'acquérir ;-)

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Perelman surprend de nouveau la communauté scientifique

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Grande surprise : le mathématicien russe Grigori Perelman vient d'annoncer que sa preuve de la conjecture de Poincaré, publiée en novembre 2002 sur ArXiv (revue scientifique en ligne sans comité de lecture), est fausse. Apparemment Perelman le savait tout le temps et attendait que quelqu'un trouve l'erreur ! Maintenant il se moque de toute la communauté mathématique, qui pendant six ans était incapable de vérifier les subtilités de sa (fausse) démonstration. Aujourd'hui il va même plus loin et propose un contre-exemple à la conjecture de Poincaré ; en fait ce contre-exemple (à vérifier scrupuleusement...) est en dimension 22 et Perelman a des pistes pour la construction de contre-exemples en toute dimension supérieure.

Il semble que cette fois, pour son travail destructeur, le chercheur russe ne réfuse plus d'être récompensé :

"Mathematicians are so easily baffled — now I want the Fields medal and the money, even if I'm too old for it!"

Vous pouvez lire l'entretien complet avec cet homme d'exception ici.

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

$\mathbb{B}^1$ est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord $\mathbb{S}^0=\{-1,1\}$ est constitué des deux extrémités. $\mathbb{B}^2$ est un disque et son bord $\mathbb{S}^1$ est un cercle. $\mathbb{B}^3$ est une ``vraie'' boule et son bord $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère.
$\;$

Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.

Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
- Si n=1 alors on est dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ . Le demi-cercle supérieur $\mathbb{S}^1_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment $\mathbb{B}^1$ (en bleu).
  $\;$
- Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord $\mathbb{S}^2_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque $\mathbb{B}^2$ (en bleu).
  $\;$

Chaque droite $D\in\mathbb{P}^n$ coupe la sphère $\mathbb{S}^n$ en deux antipodes: $~\frac{x}{||x||}~$ et $~\frac{-x}{||x||}~$ où $x$ est arbitraire dans $D\backslash\{0\}$ .
Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

De cette observation on déduit que l'application $f\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,$

est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

$\forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />$

Par conséquence $\: \mathbb{P}^n\:$ est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de $\: \mathbb{S}^n_+\:$ par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que $\: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \:$ et l'équateur n'est rien d'autre que le bord $\: \mathbb{S}^{n-1}\:$ de $\: \mathbb{B}^n\:$ . Par conséquence $\: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\:$ .

$\,$
Le résultat précédent implique en particulier que $\:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:$ .
Or $\:\mathbb{B}^1$ =[-1,1] et par conséquence $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
Ainsi $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est en bijection avec le cercle $\,\mathbb{S}^1\,$ . Nous obtenons $\mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1$ . Illustration:

D'autre part $SO(2)$ est le groupe des rotations du plan euclidien orienté $\mathbb{R}^2$ . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans $[0,2\pi[$ il est évident que $SO(2)$ est en bijection avec le cercle $\mathbb{S}^1$ .
Conclusion: $SO(2)\simeq \mathbb{P}^1$ .
$\,$

Pour la suite voir le fichier pdf.

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3$ . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que $\;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\;$ et $\;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.$

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole $\:\simeq\:$ signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude $\mathbb{P}^n$ dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans $\mathbb{R}^{n+1}$ . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de $\mathbb{R}^{n+1}\:$ :

la boule $\;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,$
$\:$
la sphère $\;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,$
$\:$
l'hémisphère nord $\;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.$
$\:$

Le bord de la boule $\mathbb{B}^{n+1}$ est la sphère $\mathbb{S}^n$ . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' $\mathbb{B}^{n+1}$ par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons $\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,.$ Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

$\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />$

Questions

Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule $\mathbb{B}^n$ et son bord $\mathbb{S}^{n-1}$ dans les cas n=1,2,3.
Démontrer que $\;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.$
$\,$

Cliquez pour lire la Solution.

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Autre exercice d'arithmétique

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L'espace des petits exercices en maths me semble de dimension infinie ;-) Voici encore un nouvel élément :

Est-ce que tout nombre naturel non-nul possède un multiple qui fait intervenir tous les dix chiffres dans son écriture décimale ?

Même des questions connues et d'apparence très simple me surprennent encore. Par exemple, ce n'était que très récemment que j'ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite — jusqu'à ce qu'on m'a appris que c'est un problème ouvert depuis très longtemps...

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Exercice sur un pavage de rectangles

Par Mathoman - Tags

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:

Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
La réciproque est-elle vraie?
Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?

Réponses: Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

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