Équation de droite

Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

Par Mathoman, samedi 25 octobre 2008 à 10:40 - Enseigner les maths - Tags

En complément de mon billet sur une génération dyslexique en maths voici quelques statistiques. Une analyse avec des idées sur ce qu'on peut encore sauver et sur les conséquences dans l'enseignement supérieur sera donné dans un billet ultérieur. En attendant j'invite mes lecteurs à lire l'article concernant la baisse de niveau sur le blog Mathéphysique.

L'échantillon est constitué des 54 élèves de deux classes de terminale ES d'un même lycée en 2007/2008. Les questions portent sur le calcul élémentaire et ont été posées dans un devoir sur table. L'utilisation de la calculatrice était permise.

Le taux de réussite au bac de ces deux classes était de 55% environ. Si on extrapole avec le taux de réussite au premier exercice ci-dessous, cela signifie qu'au moins 40% des 54 candidats ont obtenu le bac sans savoir interpréter correctement un prix tel qu'il est affiché dans un supermarché.

En publiant ces exemples anonymes, je ne veux pas me moquer des élèves. Nous avons tous fait des erreurs lorsque nous étions élèves, et continuons à en faire — nobody is perfect! Le problème réside dans la fréquence des erreurs (faire des erreurs doit rester l'exception et ne pas devenir la règle) et le type des erreurs (ce ne sont pas de simples erreurs de concentration).

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

Calculer un prix

Faux calcul de prix (erroné)

Calculer un prix (faux)

Calcul de prix (faux)

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

Calculer un pourcentage

Faux calcul de pourcentage

calculer un pourcentage (faux)

Calcul d'un pourcentage (faux)

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

déterminer l'équation d'une droite

trouver une équation de droite

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

Résoudre correctement une équation de premier degré

Résoudre une équation de premier degré (faux)

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

$Calculer avec une fraction double correctement$

$Comment ne pas calculer avec une fraction double$

$Calculer avec une fraction double (faux)$

Autres exemples

Remarque:
Les questions étaient regroupées comme premier exercice d'un DST. La barême était indiqué et assurait 1 point par question (sur 20 points dans le devoir complet). Dans "taux de réussite" on a compté les bonnes réponses; l'absence de réponse comptait comme une fausse réponse.

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Question de codimension en algèbre linéaire

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Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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Distance entière entre des points

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Voilà, après une plutôt longue pause (exactement un mois) je suis de retour sur le blog et je commence doucement avec un petit exercice de géométrie plane ;-)

Soit D une droite dans le plan euclidien et n un entier positif. Montrer qu'il existe un point P₀ en dehors de la droite D et des points P₁,...,P_n sur D tels que la distance entre tous deux de ces n+1 points est un entier strictement positif.

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Oeuf de pâques

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Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

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Sens de vissage inversé pour le pédalier gauche du vélo

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Chers lecteurs fidèles, ça fait un bon moment que je n'ai plus écrit de billet sur ce blog, faute de temps. Mais je vais pouvoir reprendre la cadence habituelle dans quelques mois, je l'espère. En attendant j'aimerais inverser les rôles et vous demander d'écrire quelques lignes sur une question précise que je n'arrive pas à comprendre.

Comme tout le monde le sait on serre une vis en la tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pour être plus précis il faut rajouter : lorsqu'on aperçoit la vis du côté du tourne-vis). Ce sens d'orientation, appelé filetage droit ou hélice droite, est devenu le standard international (parce que la majorité des humains sont des droitiers et ont plus de force dans leur main droite pour visser une vis à filetage droit qu'une vis gauche). Il y a quelques exceptions pourtant où l'on utilise une l'hélice inverse. La seule situation où j'en rencontre dans la vie de tous les jours est celle de la pédale gauche de mon vélo. Les constructeurs de vélo ont compris qu'il faut mettre un filetage gauche sur l'axe de la pédale gauche (et un filetage droit pour la pédale droite) afin d'empêcher que la pédale ne se desserre de la manivelle au fil du temps. Voici ma question :

Je ne comprends pas pourquoi ça fonctionne. Qui peut me l'expliquer ? En fait, si on bloque la pédale sur son axe et si on continue de pédaler, alors elle se défait ; en effet, le mouvement relatif de la pédale à la manivelle est contre le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale droite, et dans le sens des aiguilles d'une montre pour la pédale gauche. Donc, selon moi, les billes du roulement mécanique exercent une force de frottement qui desserre la pédale au lieu de la serrer.

Pas de vis droit et gauche sur les axes des pédales
de ma bicyclette... (cliquez pour aggrandir)

Un ami vient de me signaler une autre vis gauche, celle du raccordement à une bouteille de gaz. Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ainsi. Qui peut l'expliquer ?

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

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Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions

$\mathbb{B}^1$ est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord $\mathbb{S}^0=\{-1,1\}$ est constitué des deux extrémités. $\mathbb{B}^2$ est un disque et son bord $\mathbb{S}^1$ est un cercle. $\mathbb{B}^3$ est une ``vraie'' boule et son bord $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère.
$\;$

Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.

Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace . Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:
- Si n=1 alors on est dans le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ . Le demi-cercle supérieur $\mathbb{S}^1_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment $\mathbb{B}^1$ (en bleu).
  $\;$
- Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{S}^2$ est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord $\mathbb{S}^2_+$ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque $\mathbb{B}^2$ (en bleu).
  $\;$

Chaque droite $D\in\mathbb{P}^n$ coupe la sphère $\mathbb{S}^n$ en deux antipodes: $~\frac{x}{||x||}~$ et $~\frac{-x}{||x||}~$ où $x$ est arbitraire dans $D\backslash\{0\}$ .
Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

De cette observation on déduit que l'application $f\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,$

est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

$\forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />$

Par conséquence $\: \mathbb{P}^n\:$ est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de $\: \mathbb{S}^n_+\:$ par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que $\: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \:$ et l'équateur n'est rien d'autre que le bord $\: \mathbb{S}^{n-1}\:$ de $\: \mathbb{B}^n\:$ . Par conséquence $\: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\:$ .

$\,$
Le résultat précédent implique en particulier que $\:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:$ .
Or $\:\mathbb{B}^1$ =[-1,1] et par conséquence $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
Ainsi $\:\mathbb{B}^1/\!\sim\:$ est en bijection avec le cercle $\,\mathbb{S}^1\,$ . Nous obtenons $\mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1$ . Illustration:

D'autre part $SO(2)$ est le groupe des rotations du plan euclidien orienté $\mathbb{R}^2$ . Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans $[0,2\pi[$ il est évident que $SO(2)$ est en bijection avec le cercle $\mathbb{S}^1$ .
Conclusion: $SO(2)\simeq \mathbb{P}^1$ .
$\,$

Pour la suite voir le fichier pdf.

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Vision dans l'espace

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Dessin d'un cube transparent et deux interprétations possibles

Quand on dit que quelqu'un a une bonne vision dans l'espace, c'est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d'un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l'écran de votre ordinateur) la position d'un objet dans l'espace 3-dimensionnel.

Ce qui est facile pour certains peut être difficile pour d'autres. Cette vision dans l'espace n'est pas innée à tout le monde, c'est une capacité qu'on peut entraîner ; et dans certaines professions elle est indispensable, par exemple en architecture.

Quand on passe d'une configuration à 3 dimensions vers un dessin à 2 dimensions, forcément on perd certaines informations. Ainsi le dessin d'un cube transparent ci-haut admet deux "vues" possibles qu'on a representées avec deux cubes opaques.
Tandis que la première de ces deux possiblilités ne semble pas poser beaucoup de problèmes, la deuxième n'est pas évidente pour tous. C'est pourquoi ci-dessous je la reprends en ajoutant deux hommes, l'un portant le cube, l'autre se promenant dessus. Cela clarifie la perspective.

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Exercice
Vous pouvez maintenant faire un exercice : cachez les deux cubes à droite, fixez le cube à gauche et essayez de passer d'une perspective à l'autre ! C'est un bon entraînement...

Souvent on utilise aussi des traits en pointillets pour distinguer les bords invisibles des bords visibles:

Une cube transparent et deux interprétations possibles

Un autre exercice
Voici un autre exercice basé sur le même concept mais qui exige plus d'imagination.

Quelle jambe est levée, la gauche ou la droite ?

On peut voir de deux manières la silhouette de la danseuse ci-dessus:

La fille nous montre son dos. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa droite et c'est sa jambe droite qui est levée.
Nous voyons le visage de la fille. Alors sa tête est légèrement inclinée vers sa gauche et c'est sa jambe gauche qui est levée.

Essayez de passer d'une vue à l'autre ! C'est beaucoup plus dur qu'avec les cubes. Et ça devient encore plus difficile, si elle tourne.

Soit elle tourne sur sa jambe gauche. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner dans le sens des aiguilles d'une montre.
Soit elle tourne sur sa jambe droite. Un oiseau au-dessus d'elle la verrait alors tourner contre le sens des aiguilles d'une montre.

Fille qui tourne

Quant à moi, je vois spontanément la première possibilité. Mais quelques fois j'arrive à adopter la deuxième vue, et seulement si je fais un effort. Et j'y reste bloqué, c'est-à-dire immédiatement après je ne peux plus revoir la première vue.

Il est aussi intéressant de tenir compte de l'ombre de la jambe soulevée. Comme on ne voit qu'une silhouette de la danseuse on déduit que l'éclairage est placé derrière la fille ; donc quand l'ombre du pied soulevé appraît en bas de l'image cela signifie que ce pied est plus loin du spectateur que pendant la phase où l'ombre est hors du cadre. Le seul sens possible est alors le deuxième !

Paradoxes
Lorsqu'on essaie de coder un objet 3D dans un dessin 2D, on peut perdre de l'information, mais on peut aussi créer des informations contradictoires, c'est-à-dire on peut faire des représentations pour lesquels il n'existe pas d'objet dans l'espace à 3 dimensions l'ayant pour image — ce qu'a fait l'artiste Maurits Cornelis Escher avec son escalier impossible

Maurits Cornelis Escher : Escalier

ou le mathématicien Roger Penrose avec son fameux triangle impossible (aussi tripoutre ou tribarre).

triangle de Penrose, triangle impossible

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Les mots clé et les visiteurs de ce blog

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Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

comment trouver le centre d'un cercle
comment calculer un pourcentage
calculer une circonférence
algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

blog ennuyeux
comment etre elégante en classe
pourquoi pas de belle fille en math spé
faire des math ou pas
comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
comment faire un piege a oiseau qui marche
piege a oiseaux sans piege
thèse doctorat reggae
ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
comment resoudre une equation du premier degre sans pi
jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
apprendre beaucoup en peu de temps
bien gerer son bac avec humour
komen reusir le bac san travailé
avec quelle musique faire des maths ?
comment etre un bon eleve dans la classe
comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
je veux qu'on me calcule cet exercice
comment faire une opération de transformation un homme en une femme
peut on réapprendre les maths à quarante ans
qui fait les math à ma place
demontrer de fausses égalités mathématiques
elle est ferme
image filles sur canapé
colloque proust contrepeterie
les étudiants ne savent plus faire une équation
exercice pour avoir le prix nobel en maths
apres combien de temps un chien oublie son maitre
comment tracer une droites concourantes
apprendre la corégraphie de nobody's perfect
je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
comment trouver le mot je t'aime en math
comment être une fille amusante
comment aimer son mari
maths et masturbation
extrait x les petit nin avec femme
femme qui fait l'amour avec un chien
anssienne metode de multiplication
alain conne salaire
les 3 connes streaming
comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
franque du bosque
ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

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Revisitons la multiplication !

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Vous croyez déjà tout savoir sur la multiplication ? Vous allez être surpris ! Voici trois méthodes pour multiplier deux nombres entiers.

Multiplication posée du bon élève.

Multiplication posée de deux nombres, comment calculer le produit de deux nombres

Méthode du cancre.

Comment multiplier deux nombres, méthode des paresseux

Mode d'emploi :

Méthode de Karatsuba (publiée en 1962).

Algorithme pour la multiplication de Karatsuba

Trouver le produit de deux nombres entiers

Remarque
L'idée de tout ça c'est de se ramener à des opérations élémentaires (opérations entre deux nombres entre 0 et 9). Sur un ordinateur le choix d'un bon algorithme peut accélerer considérablement le temps de calcul — quelques jours pour des facteurs constitués de plusieurs milliards de chiffres ! Le calcul avec de très grands nombres n'est pas une question purement théorique mais a beaucoup d'applications, notamment en théorie de cryptage.

Questions

Pourquoi la méthode du cancre fonctionne-t-elle ? Les deux facteurs jouent des rôles différents; lequel choisir pour quel rôle ?
Utilisez la méthode de Karatsuba pour calculer 3116 x 1014. Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?
Avec la méthode classique (multiplication posée du bon élève), combien de multiplications élémentaires sont nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ?
En réitérant la méthode de Karatsuba on obtient un algorithme. Combien de multiplications élémentaires sont alors nécessaires pour calculer le produit de deux nombres à n chiffres ? Comparer avec l'algorithme classique.

Réponses
Cliquez pour afficher les solutions en format pdf.

Et pour finir une vidéo présentant une méthode qui produit une belle calligraphie — elle s'appelle donc la multiplication chinoise !

L'idée de base de la multiplications chinoise est le fait suivant : un ensemble de n droites parallèles coupe un autre ensemble de m droites parallèles en nxm points.

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A propos

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Le nom du blog
peut faire penser à Math Ol’ Man, à mythomane, à math zéro man, à Mannomann !

Le logo du site
illustre la fameuse formule $e^{i\times\pi}+1=0$ qui réunit huit symboles et nombres fondamentaux en mathématiques :

la relation d’égalité =
l’addition +
la multiplication $\times$
le nombre 0 (élément neutre de l’addition)
le nombre 1 (élément neutre de la multiplication)
le nombre transcendant $\pi$ (pour calculer l'aire d’un cercle)
le nombre transcendant e (pour la croissance exponentielle)
le nombre imaginaire i (solution de l’équation $x^2+1=0$ ).

L’auteur du blog
c'est moi, $\text{[math]}$ , alias MathOMan.
J'ai étudié les mathématiques en Allemagne (Munich et Bonn) et en France (Nice et Paris) pour terminer avec une thèse de doctorat (directeur de thèse : Frédéric Pham, rapporteur : Mikhaïl Zaidenberg, rapporteur et président du jury : Pierre Cartier). D'ailleurs à cette occasion j'ai formulé une conjecture à l'apparence simple et toujours ouverte actuellement... peut-être elle vous tente !

J'ai aussi passé l'agrégation (année 2002 r.83) et, après avoir enseigné dans divers établissements de l'Education Nationale, j'ai donné des cours, TD et heures d'interrogation dans des écoles d'ingénieurs et classes préparatoires parisiennes ; aujourd'hui je suis professeur agrégé à l'Université de Versailles.

Avec d'autres auteurs j'ai écrit le livre Mathématiques L1 (publié chez Pearson Education) destiné aux étudiants en première année d'université ou classe prépa. (Lisez ici un chapitre extrait de ce manuel.)

Septembre 2008 a vu la naissance de ce blog éclectique sur divers sujets liés aux maths qui me passent par la tête. Pour des questions ou suggestions je vous prie de me contacter via ce formulaire.

Adresse professionnelle
Université de Versailles Saint Quentin
Département de Mathématiques — Bureau G-212
45 avenue des États-Unis
F-78035 Versailles
Tél.: +33 139254620

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Peut-on relier deux points par un chemin injectif ?

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Les commentaires du billet un exercice de topologie sur le blog de PB soulevait quelques questions intéressantes. Une parmi elles possède la réponse suivante :

Dans une variété topologique connexe on peut relier tout couple de points distincts par un chemin injectif.

Remarquons que ce résultat ne vaut plus sur des espaces non-séparés comme la droite avec un point dédoublé (une variété topologique est séparée par définition).

Démonstration :

Rappellons d'abord que sur une variété topologique les notions connexe et connexe par arcs sont équivalentes.
Quelques notations : B(r) désigne la boule ouverte de rayon r et de centre 0 dans $\mathbb{R}^n$ pour la norme euclidienne. Pour noter la boule fermée, on mettra une barre dessus.

Soit M une variété topologique de dimension n et x un point de M. Notons E le sous-ensemble de M constitué de x et de tous les points qu'on peut relier injectivement à x. Notre but est de prouver que E=M. Vu que M est connexe et que E est non-vide, il suffit de montrer que E est ouvert et fermé.

Ouvert : Soit y un point arbitraire dans E. Dans l'atlas de la variété M il existe une carte .
- Si $x\in U$ alors $U\subset E$ car dans une boule on peut toujours relier injectivement deux points distincts par un segment.
- Dans l'autre cas où x n'est pas dans U nous posons r=1/2 et nous allons prouver que $\varphi^{-1}(B(r))\subset E.$ On sait déjà qu'il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ tel que $\lambda(0)=x$ et $\lambda(1)=y$ . L'ensemble $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est compact, et comme M est séparé, on déduit qu'il est fermé (voir aussi remarque 2 en bas).
  
  Par continuité l'image réciproque $\lambda^{-1}(\varphi^{-1}(\overline{B}(r)))$ est fermé dans [0,1] et possède donc un plus petit élément $t_0$ . On a l'inégalité $t_0>0$ car $\lambda(0)=x\not\in U.$
  
  Le point $\varphi(\lambda(t_0))$ ne peut pas être contenu dans la boule ouverte $B(r)$ , sinon $\varphi(\lambda(t_0-\epsilon))$ le serait également pour $\epsilon>0$ assez petit, contrairement à la définition de $t_0$ . Donc $\varphi(\lambda(t_0))$ est sur le bord de la boule $B(r)$ . Par construction on peut relier injectivement $\lambda(t_0)$ à tout point de $\varphi^{-1}(B(r))$ sans rencontrer $\lambda([0,t_0[)$ . En juxtaposant ces deux chemins, on relie donc injectivement x à n'importe quel point de $\varphi^{-1}(B(r)).$ Donc $\varphi^{-1}(B(r))$ est un voisinage ouvert de y contenu dans E.

Fermé : Nous devons prouver que le complémentaire de E est ouvert. Soit donc y un point arbitraire dans M\E, autrement dit y est un point qui ne peut pas être relié injectivement à x. On prend une carte . Alors on sait déjà que x ne peut pas être dans U. De deux choses l'une :
- Soit l'ouvert U est une partie de M\E — dans ce cas on a terminé.
- Soit U n'est pas inclu dans M\E — dans ce cas il existe un point z dans l'intersection $U\cap E$ . Pour $r=||\varphi(z)||$ on a $0<r<1$ . Il existe un chemin injectif $\lambda\::\:[0,1] \rightarrow M$ allant de x à z. L'ensemble
  $K=\lambda([0,1])\cap\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$
  est compact car c'est l'intersection d'un compact et d'un fermé. (Pour voir que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé on utilise, comme en haut, le fait que M est séparé.)
  Parmi tous les points du compact $\varphi(K)$ il existe un ayant norme minimale. Nous notons w ce point et $\lambda(t_0)$ son correspondant sur la variété (toujours via la carte $\varphi$ ). Clairement $\lambda(t_0)\neq y$ . D'une part on a la restriction de $\lambda$ à $[0,t_0]$ et d'autre part le chemin correspondant au segment [w,0] ; en juxtaposant ces deux chemins injectifs on obtient un chemin de x à y qui, par construction, est injectif. Contradiction, ce cas ne peut pas avoir lieu.

Remarque 1 :

L'idée de la preuve est de se ramener à l'intuition que nous avons de notre espace usuel. Quand une trajectoire passe de l'extérieur d'une boule à l'intérieur d'une boule, elle doit forcément traverser le bord de la boule, elle coule comme une rivière. Or cela n'est plus vrai dans les espaces non-séparés comme la droite à deux origines dédoublées, 0' et 0''. Quand je fais un chemin de 0' à 0'' alors je rentre directement dans l'intérieur de la boule [-1,1]'' sans passer par -1 ou par 1. Le chemin apparait miraculeusement de nul part, il jaillit comme une source...

Il est donc intéressant de voir où la preuve ne fonctionne plus dans cet exemple. Evidemment c'est au moment où on utilise le fait qu'un compact d'un espace séparé est toujours fermé. Sur la droite dédoublée l'ensemble [-1,1]'' est compact mais il n'est pas fermé, car son complémentaire $\:]-\infty,-1[\,\cup\,]1,+\infty[\,\cup\,\{0'\}\:$ n'est pas ouvert.

Remarque 2 :

On est tenté de dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue. Mais cela serait faux ! En effet, $\varphi$ est seulement définie sur U et pas sur toute la variété M. On peut donc dire que $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ est un fermé de l'espace U (pour la topologie induite par M), mais de là on ne peut pas conclûre directement qu'il s'agit d'un fermé de M. C'est pourquoi nous devons faire ce détour :

$\overline{B}(r)$ compact dans B(1),
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans U,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ compact dans M,
donc $\varphi^{-1}(\overline{B}(r))$ fermé dans M (séparé).

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Une statistique sur les acquis d'élèves en terminale

CALCUL D'UN PRIX — 8 élèves ont réussi, taux de réussite: 15%

CALCUL DE POURCENTAGE — 24 élèves ont réussi, taux de réussite: 44%

TROUVER UNE EQUATION DE DROITE — 11 élèves ont réussi, taux de réussite: 20%

EQUATION DE PREMIER DEGRE — 5 élèves ont réussi, taux de réussite: 9%

SIMPLIFIER UNE FRACTION — 2 élèves ont réussi, taux de réussite: négligeable

Autres exemples

Pourquoi ne pas lire aussi :

Question de codimension en algèbre linéaire

Distance entière entre des points

Oeuf de pâques

Sens de vissage inversé pour le pédalier gauche du vélo

Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

Vision dans l'espace

Les mots clé et les visiteurs de ce blog

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