Écrire sans fautes

Règle pour apprendre à conjuguer

Par Mathoman, lundi 22 février 2010 à 13:13 - Sujets hors sujet - Tags

Dans un post récent mon collègue bloggeur PB a constaté qu'une trop grande partie de ses élèves en prépa ne savent pas conjuguer correctement les verbes du premier groupe au passé composé et qu'ils écrivent souvent « on a montrer que… » dans leurs copies.

Je pense que la compréhension de la structure grammaticale d'une langue est fondamentale pour l'apprentissage des mathématiques. Je la situerais au même niveau que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une structure fondamentale à connaître pour ne pas écrire de bêtises. Malheureusement l'enseignement scolaire actuel ne transmet plus cette hygiène de base, de sorte que de telles lacunes se prolongent jusqu'aux classes préparatoires...

Voici donc une «recette» permettant d'éviter l'erreur la plus fréquente : la confusion entre les terminaisons -er, -é, -ez. On peut l'appliquer sans vraiment comprendre ce que c'est un infinitif, un participe composé et une deuxième personne au pluriel (de toutes manières ceux qui comprennent ces notions ne font probablement pas d'erreurs).

L'idée est simple : remplacer le verbe du premier groupe par un autre verbe, puis se fier à la prononciation. Par exemple on a les correspondances suivantes.

montrer/apprendre/voir, montrez/apprenez/voyez, montré/appris/vu.

Il suffit alors de procéder par analogie. Au lieu du verbe montrer utilisez l'autre verbe (apprendre, voir, etc.), puis testez laquelle est la bonne conjuguaison en lisant à haute voix.

Quelques règles de grammaire pour les nuls

FAUX	CORRECT	DONC PAR ANALOGIE
on a apprendre que...	on a appris que...	on a ~~montrer~~ montré que...
vous devez apprenez...	vous devez apprendre...	vous devez ~~montrez~~ montrer...
je viens de vu que...	je viens de voir que...	je viens de ~~montré~~ montrer que...
le lemme qu'on a voir	le lemme qu'on a vu	le lemme qu'on a ~~montrer~~ montré
ce qu'il devait compris	ce qu'il devait comprendre	ce qu'il devait ~~montré~~ montrer
Quel lemme voir-vous ?	Quel lemme voyez-vous ?	Quelle femme ~~aimer~~ aimez-vous ?

C'est bizarre, je ne suis pas français mais je crois que je fais moins d'erreurs de conjuguaison que la moyenne des bacheliers français. Je fais des fautes sur les prépositions (par exemple je ne sais pas si on dit j'aide un élève à faire ses devoirs j'aide un élève de faire ses devois ou j'aide un élève faire ses devois) et parfois je n'utilise pas le passé correct (dans ma langue maternelle, l'allemand, on utilise de manière indifférente l'imparfait et le passé composé), mais jamais ça ne me viendrait à l'esprit d'écrire « on a montrer que… »

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Pourquoi ne pas lire aussi :

Colloque sur le collège de demain

Par Mathoman - Tags

Demain se déroulera le colloque de l'association Lire-Ecrire (précédemment Famille-Ecole-Education), sous la présidence des mathématiciens Laurent Lafforgue (membre de l'Académie des sciences, médaille Fields 2002) et André Warusfel (ancien professeur de mathématiques spéciales à Henri IV et Louis-le-Grand, Inspecteur Général honoraire).
Le titre du colloque est Vers un renouveau du collège unique ? Le but est de faire un état des lieux de la situation et de proposer des pistes d'amélioration. Cette journée finira par une table ronde. Les inscriptions sont par ici.

Voir la vidéo de l'intervention de Michel Ségal, professeur de mathématiques dans un collège de la banlieue parisienne.

Une autre association qui poursuit un peu les mêmes butes est Transmettre savoirs et methodes, opposée au constructivisme qui domine à l'Education Nationale, surtout dans la formation des maîtres du primaire.

Evidemment la France n'est pas le seul pays qui souffre du pédagogisme, comme le montre cet article concernant l'enseignement supérieur en Grande-Bretagne.

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Conseils aux étudiants pour une bonne rédaction

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Souvent les étudiants en première année ont une idée intuitive pour une preuve mais lorsqu'ils l'écrivent avec les termes de la logique mathématique leur rédaction est très maladroite, voire fausse ou illisible. Ces lignes leur sont destinées. Je vais montrer sur des exemples très simples ce qu'il faut faire et ce qu'il faut éviter.

Syntaxe d'une assertion

Une assertion (ou proposition) mathématique est une phrase contenant un verbe. Les verbes mathématiques sont par exemple

$=\;\;\;<\;\;\;>\;\;\;\leq\;\;\;\geq\;\;\;\subset\;\;\;\supset\;\;\;\in\;\;\;\ni\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\Leftarrow\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\perp\;\;\;\parallel$

et leurs négations. Par exemple

7 + 1 = 8

est une assertion (qui est vraie), et

1 < 0

est une assertion (qui est fausse). Mais

7+1

n'est pas une assertion car elle ne contient pas de verbe, donc on ne peut pas se demander si elle est vraie ou fausse. Entre deux assertions équivalentes on n'écrit pas = mais le symbole $\Leftrightarrow$ . Ce symbole étant lui-même un verbe c'est donc un emboîtement d'assertions (pensez aux poupées russes).
Ecrire

$1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; [1,5]$

n'a aucun sens car [1,5] n'est pas une assertion (c'est un intervalle). En revanche, on peut écrire

$1 \leq x \leq 5\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in [1,5].$

Il ne suffit pas de mettre un verbe pour avoir une assertion, il faut aussi que la syntaxe soit correcte. Par exemple écrire $\{7\}\in\mathbb{N}$ et $7\subset\mathbb{N}$ n'ont pas de sens. Mais $\{7\}\subset\mathbb{N}$ et $7\in\mathbb{N}$ sont des assertions (qui sont vraies d'ailleurs).
Le langage mathématique suit les mêmes règles que notre langage habituel (phrase principale, phrase relative, conjonctions,...). Si quelqu'un vous disait

Nous ¤ camping # faisez ((à pluie sec

pouvez-vous dire qu'il dit la vérité ou non ? Non, vous ne pouvez pas ! Or c'est précisément ce que certains étudiants écrivent sur leurs copies de mathématiques : des juxtapositions de symboles qui ne donnent aucun sens. Et donc nous, les correcteurs, ne pouvons pas donner de point pour ce charabia.
Les symboles ne sont que des raccourcis d'écriture. Vous devriez être capables de rédiger sans eux. Si la traduction en langage français de ce que vous écrivez à l'aide de symboles n'a pas de sens, alors il y a un problème.

Introduire les objets avant leur utilisation

Ne faites jamais apparaître un objet sans l'introduire. Par exemple n'écrivez pas

$x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; S=\{1,5\}$ .

Peut-être votre enseignant au lycée vous a donné cette mauvaise habitude, mais la lettre S n'est pas universellement reconnue pour désigner l'ensemble de solutions d'une équation. Il faut donc faire précéder par une petite phrase comme : Notant S l'ensemble de solutions de l'équation x²-6x+5=0 on obtient... Mais cela est bien lourd. Ecrivez donc plus simplement

$x^2-6x+5=0\;\;\Leftrightarrow\;\; x\in\{1,5\}$ .

Exemples de bonne syntaxe

Les théorèmes 1, 2 et 3 ci-dessous sont des assertions. Les deux premiers sont équivalents ; et chacun d'entre eux implique le troisième.

Théorème 1. Soit $a\in \mathbb{R}$ . Alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si a > 0.

Théorème 2. Pour tout réel a la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si a > 0.

Théorème 3. Si a > 0 est un réel alors la fonction f définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

La preuve du théorème 2 devrait commencer comme suit.

Preuve du théorème 2. Soit a un réel. Blabla...

Evidemment on aurait pu écrire soit b un réel et continuer à travailler avec ce b. Ca serait tout à fait correct car dans le théorème 2 le réel a est une variable locale car précédé par le quantificateur $\forall$ . Ecrire soit a un réel ou soit b un réel revient à fixer ce réel ce qui en fait une variable globale pour la suite du raisonnement.
C'est le moment de mentionner une subtilité. Le théorème 1 commence par soit a un réel. De ce fait a est déjà fixé (une variable globale) dans le théorème 1 et ça serait inutile et même faux de commencer la preuve par dire soit a un réel. Il est déjà donnée et nous devons travailler avec lui et pas avec un autre a ni un autre b.

Mauvaise rédaction de la preuve

Preuve du théorème 2 (version débutant).
Soit a un réel. Supposons a > 0. Il faut montrer que pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). Or x < y et a > 0 entraînent ax < ay ou encore f(x) < f(y). Donc f est strictement croissante.
Réciproquement supposons que f est strictement croissante, c'est-à-dire pour tous réels x, y tels que x < y on a f(x) < f(y). On voit sur l'inégalité ax < ay que a doit être forcément positif, sinon l'inégalité devrait être dans l'autre sens.

Trois erreurs :

On voit sur l'inégalité ax < ay .... Or les symboles x et y n'ont pas été introduits précédemment. Il fallait écrire soit x et y....
La fin du raisonnement devrait être... n'est pas clair.
Le débutant écrit il faut montrer que... puis il donne la définition d'une fonction strictement croissante. Or redonner une définition tellement basique c'est presqu'un insulte vis-à-vis du correcteur ! Evitez de redonner des définitions que tout le monde connaît et n'écrivez pas ce que vous voulez démontrer si c'est déjà écrit clairement dans l'énoncé.
En revanche, si ce que vous allez démontrer est une reformulation équivalente ou seulement une condition nécessaire pour la proposition que vous cherchez à prouver alors il est souhaitable que vous écrivez "je vais démontrer ceci...". Par exemple c'est une bonne idée d'écrire : Soit a > 0. Pour montrer que la fonction définie par f(x)=ax pour tout réel x est strictement croissante sur R je vais prouver que sa dérivée est strictement positive.

Bonne rédaction

Preuve du théorème 2 (version de l'étudiant expérimenté).
Soit a un réel.
Supposons a > 0. Soient x, y deux réels tels que x < y. Alors on a
f(x) = ax < ay = f(y). Cela prouve que f est strictement croissante.

Réciproquement supposons f strictement croissante. Alors l'inégalité 0 < 1 entraîne l'inégalité f(0) < f(1). Cela prouve que a = f(1) > f(0) = 0.

Structure d'une preuve

Exemple de structure d'une preuve bien rédigée :

Enoncé. Soient A et B des ensembles et f une application de A dans B. Montrer que si on a l'hypothèse (H) ... alors f est injective.
Preuve.
Supposons (H). Soient x et y deux éléments de A tels que f(x) = f(y) ......
...... (je raisonne) ...... j'utilise la propriété (H) ...... (je raisonne) ...... j'obtiens x = y.
Cela prouve l'injectivité de f.

Autrement dit, vous introduisez deux éléments x et y qui vérifient l'égalité f(x) = f(y), puis vous gardez en tête que vous voulez arriver à l'égalité x = y. Si vous voulez vous pouvez l'écrire x = y en bas de votre page pour savoir où vous voulez arriver. Mais surtout ne l'écrivez pas plus tôt car c'est votre but et non votre point de départ ! Sur le chemin du raisonnement vous devez, très probablement, utiliser la propriété (H).

Preuve alternative (par contraposition).
Supposons (H). Soient x et y deux éléments distincts de A ......... (je raisonne) ........
........ j'utilise la propriété (H) ........ (je raisonne) ........ je trouve que f(x) est différent de f(y). Cela prouve l'injectivité de f.

Autre conseil

Mon collègue et ami Laurent Kaczmarek a écrit des conseils de rédaction utiles concernant la notation des fonctions en analyse.

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Les mots clé et les visiteurs de ce blog

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Récemment j'ai regardé, comme tout bloggeur qui se respecte, les statistiques de ce blog MathOMan. J'étais curieux de savoir de quels pays viennent mes visiteurs et via quelles pages web intermédiaires ou grâce à quels mots clé ils arrivent sur mon site.

Pour les non-initiés : un mot-clé (en anglais keyword) est un mot ou une combinaison de mots que vous rentrez dans un moteur de recherche.

La majorité des visiteurs de ce blog viennent de la France, du Canada et des pays francophones d'Afrique. En regardant de plus près dans Network Location j'ai pu constater que le Ministère de l'éducation nationale rend visite à MathOMan presque tous les jours ouvrés de la semaine. Je suppose qu'il s'agit là d'une procédure standard visée à vérifier que les enseignants n'écrivent pas trop de bêtises sur leurs blogs.

Les mots clés les plus fréquemment cherchés par les internautes arrivés sur MathOMan concernent les mathématiques élémentaires, comme par exemple :

comment trouver le centre d'un cercle
comment calculer un pourcentage
calculer une circonférence
algebre pour les nuls

Pour que ces gens ne restent plus sur leur faim ici, je vais ouvrir prochainement une nouvelle catégorie de billets intitulée Les Maths pour les Nuls !

Evidemment il y a actuellement beaucoup de recherches du mot clé "sujet de bac mathématiques". D'autres mots clé sont très amusants, pour diverses raisons, soit par leur combinaisons insolites, soit par le côté existentiel (comme le no.4 ci-dessous), soit par l'impossibilité de trouver une réponse à cette question (comme le no.5) :

blog ennuyeux
comment etre elégante en classe
pourquoi pas de belle fille en math spé
faire des math ou pas
comment trouver le centre d'un cercle juste avec un compas
comment faire un piege a oiseau qui marche
piege a oiseaux sans piege
thèse doctorat reggae
ils ne comprennent rien il n'apprennent jamais
combien en fraction le nombre de gens qui parlent existent ?
comment resoudre une equation du premier degre sans pi
jean dieudonné: quelle distance a-t-il parcouru ?
apprendre beaucoup en peu de temps
bien gerer son bac avec humour
komen reusir le bac san travailé
avec quelle musique faire des maths ?
comment etre un bon eleve dans la classe
comment calculer comment sa nous prend pour passer avec un pourcentage
insecte laid qui ressemble a une fourmi transparent
je veux qu'on me calcule cet exercice
comment faire une opération de transformation un homme en une femme
peut on réapprendre les maths à quarante ans
qui fait les math à ma place
demontrer de fausses égalités mathématiques
elle est ferme
image filles sur canapé
colloque proust contrepeterie
les étudiants ne savent plus faire une équation
exercice pour avoir le prix nobel en maths
apres combien de temps un chien oublie son maitre
comment tracer une droites concourantes
apprendre la corégraphie de nobody's perfect
je suis aller au collège cette année, un jour, malheureusement, nous avons un problème dans le français le plus de mes leçons que nous ne comprenons pas ce que je dois faire des contrôles
combien de temp deux chien son coller après avoir fait l'amour
comment trouver le mot je t'aime en math
comment être une fille amusante
comment aimer son mari
maths et masturbation
extrait x les petit nin avec femme
femme qui fait l'amour avec un chien
anssienne metode de multiplication
alain conne salaire
les 3 connes streaming
comment écrire (a+b)² sous la forme d'un produit de deux facteurs
franque du bosque
ou faire virifier c'est fiche de paye

Je lance un défi aux lecteurs de ce blog : trouvez les réponses les plus insolite à ces questions !

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Pause d'humour

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Après le dessin "drôle" des courbes dans mon billet précédent, voici un petit dessin qui concerne pas mal de personnes je crois.

En fait, il y a tout un site web avec des bonnes blagues, aussi sur les maths, un peu à la Charlie Brown. Le site web s'appelle XKCD et est probablement tenu par un étudiant en sciences. Voici deux joyaux qui sont à mon goût.

Le suivant me rappelle mes propres expériences comme enseignant.

Et celui-ci fera rire notre bloggeur phycicien-cosmologue FB. Et celle-ci est fausse dans sa manière (avec la convention d'orientation habituelle du plan il faudrait écrire -90°).

Voir aussi ça ou ça ou ça ou ça.

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Les mathématiques passives n'existent pas

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Le grand chercheur Alain Connes (géométrie non-commutative, médaille Fields) a donné un entretien très intéressant sur sa vie, la recherche et l'enseignement des mathématiques. Des extraits de cet entretien sont disponibles en streaming sur le site internet d'Arte.

Pour les visionner cliquez ici.

Une phrase m'a particulièrement marqué :

On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.

Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)

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SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions

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Quelques fois on garde un souvenir très complet d'une démonstration mathématique, et ce souvenir inclût également des accessoires absurdes et inutiles comme par exemple le numéro de la page du livre où on l'a apprise ou la couleur de la chemise du professeur qui l'a expliquée...

Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3$ . Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!

Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que $\;SO(2)\:\simeq\: \mathbb{P}^1\;\;$ et $\;\;SO(3)\:\simeq\:\mathbb{P}^3\,.$

Notations
Dans un premier temps — dont nous nous contentons ici — le symbole $\:\simeq\:$ signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.
Comme d'habitude $\mathbb{P}^n$ dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans $\mathbb{R}^{n+1}$ . Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de $\mathbb{R}^{n+1}\:$ :

la boule $\;\mathbb{B}^{n+1}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2\leq1\}\,,$
$\:$
la sphère $\;\mathbb{S}^{n}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1} \:|\: x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}\,,$
$\:$
l'hémisphère nord $\;\mathbb{S}^{n}_+=\{x\in\mathbb{S}^{n} \:|\: x_{n+1}^2\geq0\}\,.$
$\:$

Le bord de la boule $\mathbb{B}^{n+1}$ est la sphère $\mathbb{S}^n$ . Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point —x.
Si on ``recolle'' $\mathbb{B}^{n+1}$ par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons $\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim\,.$ Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire

$\;\;\;\;\;\mathbb{B}^{n+1}/\!\sim~\;\,=\;\,\left(\mathbb{B}^{n+1}\backslash\mathbb{S}^n\right)\:\dot{\bigcup}\:<br />\big\{\{x,-x\}\,|\,x\in\mathbb{S}^n\big\}\,.<br />$

Questions

Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule $\mathbb{B}^n$ et son bord $\mathbb{S}^{n-1}$ dans les cas n=1,2,3.
Démontrer que $\;\mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;\mathbb{B}^n/\!\sim~\;\simeq\:\mathbb{P}^n\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(2)~\simeq~\mathbb{P}^1\,.$
$\,$
Démontrer que $\;SO(3)~\simeq~\mathbb{P}^3\,.$
$\,$

Cliquez pour lire la Solution.

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Concevoir la notion d'application

Par Mathoman - Tags

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

$f\;:\; X \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; x \; \longrightarrow\;f(x)\,.$

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

Point de vue y en fonction de x.
C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
Le schéma mental est le suivant.
L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe $\Gamma \subset X\times Y$ constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
Point de vue collection d'éléments de Y.
On peut aussi écrire l'application f en forme de famille $(f(x))_{x\in X}$ . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
En général, une famille $(y_j)_{j\in J}$ dans Y n'est rien d'autre qu'une application

$y\;:\; J \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; j \; \longrightarrow\;y_j\,,$

où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si $(b_j)_{j\in J}$ est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire
$v=\sum_{j\in J} \lambda_j\, b_j\:,$
où $(\lambda_j)_{j\in J}$ est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application $\lambda\;:\; J \;\longrightarrow \;K\,$ est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement
$v=\sum_{b\in B} \lambda_b\, b\:.$
Point de vue les fibres en fonction de y.
Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté

$f_y\;=\;f^{-1}(\{y\:\})\:=\:\{\:x\in X\; :\; f(x)=y\:\} \,.$

Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.

L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

$\tilde{Y} = f(X)\:\subset\:Y$

et l'espace des fibres

$\tilde{X} = \{\,f^{-1}(\{y\})\:|\: y\in \tilde{Y}\,\}\:\subset\:{\scr P}(X).$

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence ~ qui est définie par x ~ x' si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que $\tilde{X}$ et $\tilde{Y}$ sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection $\pi$ , une bijection $\tilde{f}$ et une injection $j$ tel que le diagramme suivant commute.

Factorisation canonique d'une fonction, comment comprendre les applications

En effet, il suffit de prendre pour $\pi$ la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour $\tilde{f}$ l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

$f= j\circ \tilde{f}\circ \pi$ .

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

$f\;:\; \mathbb{R}^3 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y,z) \; \longrightarrow\;ax+by+cz\,,$

où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace $\mathbb{R}^3$ par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

$g\;:\; \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

$g\;:\; \mathbb{C}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{C}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

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MacBook. Première impression : plus chic que pratique

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Depuis quelques jours je possède un MacBook Pro. C'est le troisième système d'exploitation que je rencontre dans ma vie. Mon premier était Unix à l'université ; je l'utilisais principalement pour envoyer des emails avec Eudora, pour éditer du code LaTeX dans Emacs et pour programmer un peu en Html.

C'est seulement plus tard, lorsque je me suis acheté un PC, que j'ai fait la connaissance du système d'exploitation du plus riche homme de la planète. Mais je ne l'utilisais pas exclusivement ; en fait mon PC avait une double-fonction pour moi : je le bootais soit sous Linux pour faire du LaTeX comme avant, soit sous Windows pour lancer d'autres applications qui n'existent pas en Linux (principalement des logiciels de MAO, comme Cubase). Plus tard, j'ai découvert MiKTeX de Christian Schenk, une version Windows de LaTeX qui marche très bien avec TeXnicCenter ; cela sonnait alors le glas à mon utilisation de Linux car je pouvais enfin faire fonctionner LaTeX et mes applications audio favoris sous un même système d'exploitation, à savoir Windows.

Alors, dans ce monde si parfait, qu'est-ce qui m'a poussé à acheter un MacBook Pro ? Il y avait principalement deux raisons. D'abord la qualité hardware des PC portables m'a deçu — les touches, le boîtier, tout commencait à se dégrader après un ou deux ans, même avec des bonnes marques comme HP. Beaucoup de mes amis me conseillaient alors les ordinateurs à la pomme. Et il est vrai, mon nouveau MacBook Pro est vraiment agréable à toucher et semble fait pour durer. L'autre raison était que certains logiciels de musique comme le fameux Metasynth de mon ami Eric Wenger ne fonctionnent que sur Mac.

Grâce à BootCamp mon Mac démarre maintenant avec WinXP. Cela me permet de travailler comme toujours avec MiKTeX. Contrairement à ce que je craignais, WinXP fonctionne parfaitement sur le Mac — donc pas de problème au niveau software.

Mais voilà ma grande déception, elle vient plutôt de la hardware : le clavier du Mac. Le clavier du MacBook est conçu pour être chic sans être pratique ! L'élégance a emporté sur la fonctionnalité. Les touches indispensables pour coder en LaTeX n'y existent pas :

~ { } [ ] | \

Plus précisément, elles existent et sont accéssibles en combinaison avec la touche alt mais il faut connaître leurs emplacements par cœur. C'est assez désagréable. Je ne comprends vraiment pas comment on a pu laisser de côté ces touches si importantes pour tout programmeur.

Sur un Mac on cherchera aussi en vain d'autres touches qu'on connaît d'un PC :

Del Home End PgUp PgDown

Dans l'édition LaTeX ou Html ces touches sont très pratiques si on veut, par exemple, sélectionner rapidement toute une ligne pour la copier-coller une page plus bas. Leur absence sur le Mac (sous Windows) implique qu'on doit utiliser plus souvent la souris pour sélectionner ou pour descendre et cela signifie une perte de temps ainsi qu'un manque de comfort.

En résumé : Je déconseille le MacBook à tous ceux qui doivent écrire des longs fichiers en un langage de programmation. Le Mac est certainement bon pour un usage multimédia. Pour ceux qui souhaitent, comme moi, faire les deux sur une même machine, ma recommandation est d'acheter plutôt un PC.

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Une preuve à prendre avec précaution

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Le fait que

0,999999... = 1

est une des premières choses qu'un étudiant apprend lorsqu'il étudie les nombres réels. Voici une démonstration de cette égalité.

On pose
X = 0,99999...
Alors on a l'égalité
10X = 9,99999...
dont on soustrait la première,
9X = 9,00000...
D'où X = 1.

Convaincant, n'est-ce pas ? Pour beaucoup de gens il s'agit d'une preuve — mais en réalité ça reste une tricherie car on ômet de réfléchir sur un certain nombre détails (comme par exemple à la signification rigoureuse de 0,99999... ou du produit 10 × 0,99999.... C'est un peu comme en topologie où il faut aussi faire comprendre au débutant que le fait que les boules ouvertes sont des ouverts nécessite une preuve.)
Or qui a bien compris le cours sur les nombres réels n'a pas besoin d'une preuve car l'égalité 0,999999... = 1 est une conséquence immédiate des diverses définitions possibles du corps des réels.

Voici la manière dont j'expliquerai l'égalité 1=0,99999... à quelqu'un qui ne connais pas grand chose en maths :

Une bien meilleure méthode

On pose X = 0,99999... et on part de

0 < 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0, 9999 < ... < X

donc par multiplication par -1 les inégalités changent de sens,

0 > - 0,9 > - 0,99 > - 0,999 > - 0,9999 > ... > - X.

En ajoutant 1 à chaque membre de ces inégalités, on obtient

1 > 1 - 0,9 > 1 - 0,99 > 1 - 0,999 > 1 - 0,9999 > ... > 1 - X.

Autrement dit,

1 > 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001 > ... > 1 - X.

Ainsi la différence 1-X est plus petite que tout nombre de la forme 0,000...0001. C'est-à-dire 1-X ne peut pas être strictement positif. D'autre part 1-X n'est pas strictement négatif car X est n'est pas plus grand que 1. Cela prouve que 1-X = 0 , ou encore que X = 1. CQFD

Avec un tel raisonnement, je crois, le non-initié comprend mieux les idées mathématiques qu'avec une tricherie qui fait seulement appel à ses habitudes de calcul.

Brenoms

D'ailleurs au lieu d'écrire une infinité de chiffres après la virgule on peut aussi écrire une infinité de chiffres devant. On obtient alors ce qu'on appelle un brenom (verlan de nombre). On additionne les brenoms en commencant par la droite. Ca donne des résultats bizarres comme par exemple

Plus de détails sur les brenoms dans ce bel article.

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Question sur les groupes topologiques

Par Mathoman - Tags

Un groupe topologique est un ensemble G munie d'une structure de groupe et d'une topologie telles que la loi interne

$G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,$

et la formation d'inverse

$G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},$

sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l'algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l'exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

Soient G et H des parties denses de $\mathbb{R}$ et $f :\: G \rightarrow H$ une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient $x_0\in G$ et $\epsilon>0$ . Puisque H est dense dans $\mathbb{R}$ on a $H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset$ . Donc il existe
$y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.$
De même il existe $y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,.$ A cause de la surjectivité de f on peut écrire $y_k=f(x_k)$ avec $x_k\in G, k=1,2$ . On pose $\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)$ . Alors pour tout x dans G
$\begin{align*}x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\ \Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\ \Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,, \end{align*}$
ce qui montre que f est continue en $x_0$ . La preuve de la continuité de la réciproque $f^{-1}$ est la même.
Soient G et H des parties denses et dénombrables de $\mathbb{R}$ . Alors elles sont homéomorphes.

D'abord nous écrivons
$\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,. \end{align*}$
Maintenant nous allons énumérer G et H d'une autre manière, et Le but est de faire de sorte que est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
- k=0. On prend $x'_0=x_0,\;y'_0=y_0$
- k=1. On prend $x'_1=x_1$ . Pour le choix de $y'_1$ regardons l'ordre de $x'_0$ et de $x_1'$ .
  Si $x'_1<x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H inférieur à $y'_0$ .
  Si $x'_1>x'_0$ alors on prend comme $y'_1$ un élément de H supérieur à $y'_0$ .
- k=2. On prend comme $y'_2$ le premier élément de $H\setminus\{y'_0,y'_1\}$ de la liste (**). Pour choisir $x'_2$ regardons l'ordre de $y'_0,y'_1,y'_2$ .
  Si $y'_2$ est inférieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G inférieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est supérieur à $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G supérieur à $x'_0$ et $x'_1$ .
  Si $y'_2$ est entre $y'_0$ et $y'_1$ on prend comme $x'_2$ un élément de G entre $x'_0$ et $x'_1$ .
- k=3. On prend comme $x'_3$ le premier élément de $G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\}$ de la liste (*). Pour le choix de $y'_3$ regardons l'ordre de $x'_0,x'_1,x'_2,x'_3$ . Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
  Si $x'_3<x'_0<x'_1<x'_2$ on prend comme $y'_3$ un élément de H inférieur à $y'_0,y'_1,y'_2.$
  Si $x'_2<x'_3<x'_0<x'_1$ on prend comme $y'_3$ un élément de H entre $y'_2$ et $y'_0$ .
  Et ainsi de suite.
Les groupes topologiques $G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2$ et $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ répondent au problème.

D'après ce qu'on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes topologiques $f :\, G \to H$ . Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité
$f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning$
impossible dans $H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3$ .