Devinettes amusantes de géométrie
Par Mathoman, mardi 30 juin 2009 à 14:28 - Exo, enigme, casse-tête - Tags
Tout le monde connaît les petites devinettes qu'on se pose lors (ou à la place) d'un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique :
Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites.
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Ce n'est pas si évident. La solution à voir dans le vidéo ci-dessous montre que nos habitudes nous empêchent de dépasser certaines limites...
MathOMan relie 9 points avec 4 droites
Souriante la petite Bin prend sa revanche et me lance le défi géométrique suivant :
Sans lever le stylo, tracer un cercle et son centre (pas plus).
Voici la vidéo où elle montre sa solution rusée à ce petit problème très troublant pour un spécialiste de la connexité.
Pourquoi ne pas lire aussi :
Se repérer dans le désert
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Un joli exercice de géométrie
Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?
Réponse: Cliquez ici pour la solution.
Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!
Entraîner sa vue géométrique
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On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.
- Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
- trouver le milieu entre deux points,
- trouver la bissectrice d'un angle,
- placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
- trouver le centre d'un cercle,
- former un angle droit,
- placer l'intersection de trois droites concourantes.
Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)
Deux axes de symétrie radiale
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Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l'espace.
On dit qu'un objet dans l'espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l'objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l'objet est convexe s'il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu'il est borné s'il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s'il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.
Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?
Exercice sur un pavage de rectangles
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Pas si évident que ça!
Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).
- Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
- La réciproque est-elle vraie?
- Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?
Exercice sur les cordes d'un cercle
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Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L'énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l'est pas.
Soit
un cercle, A,B deux points distincts sur
et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) le point d'intersection de [AB] avec [PS] (resp. [RQ]).
Démontrer que M est aussi le milieu de [CD].
![]() |
Etonnant : si M est le milieu de [AB], alors aussi de [CD] ! |
Remarque :
Ce problème est posé dans une vidéo sur Jean-Pierre Kahane du site Images des Maths.
On y trouve une preuve élégante utilisant un faisceaux de coniques (niveau supérieur). Mais il existe aussi deux autres preuves, l'une géométrique et astucieuse (niveau collège) et l'autre bête
et calculatoire (niveau classe de première) : vous les trouverez dans les commentaires ci-dessous.
Les mathématiques passives n'existent pas
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Pour les visionner cliquez ici.
Une phrase m'a particulièrement marqué :
Je suis complètement d'accord. Les mathématiques passives n'existent pas. Il est possible d'apprendre la compréhension d'une langue étrangère en regardant suffisamment la télé dans cette langue ; on peut alors atteindre un degré pour suivre plus ou moins ce qui est dit sans maîtriser activement la langue.On ne peut pas comprendre les mathématiques sans les faire.
Mais en mathématiques cela ne marche (malheureusement) pas. L'apprenti mathématicien peut aller dans tous les cours et écouter attentivement ce que dit son professeur, mais s'il ne se confronte pas régulièrement à des exercices il sera vite perdu et ne comprendra plus rien ;-)
SO(3) e(s)t l'espace projectif à 3 dimensions
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Ci-dessous j'explique, en forme d'exercice corrigé, pourquoi le groupe SO(3) de rotations dans l'espace peut être identifié à l'espace projectif réel
. Et je me rappelle que c'était un collègue d'études qui m'a raconté cette preuve par la méthode de hand waving sous le soleil d'été dans une piscine plein air à Bonn!Un bel énoncé géométrie et topologie
Le but de l'exercice est de montrer que
et 
Notations
Dans un premier temps dont nous nous contentons ici le symbole
signifie simplement qu'il existe une bijection entre les ensembles concernés; c'est clairement une relation d'équivalence.Comme d'habitude
dénote l'espace projectif réel de dimension n, c'est-à-dire l'ensemble des droites vectorielles dans
. Fixons aussi les notations pour trois sous-ensembles importants de
:- la boule


- la sphère


- l'hémisphère nord


est la sphère
. Chaque point x sur ce bord possède un antipode, à savoir le point x.Si on ``recolle''
par identification des antipodes sur son bord, alors on obtient un nouvel ensemble que nous notons
Ca, c'est du handwaving. De manière ensembliste on pourra écrire
Questions
- Expliquer par des mots de quelles formes sont la boule
et son bord
dans les cas n=1,2,3. - Démontrer que


- Démontrer que


- Démontrer que


- Démontrer que


Les rectangles revisités une fois de plus
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Apparemment la question sur un pavage de rectangles posée ici il y a quelques jours est stimulante. Après la solution par produit tensoriel, voici une autre qui repose sur une activité habituellement réservée aux enfants: le coloriage. (Les matheux ne sont que de grands enfants !) Merci à David Caisson qui m'a envoyé cette solution extraite du livre Solving Mathematical Problems de Terence Tao.
L'idée de T. Tao est aussi simple que belle: on colore en vert tous les rectangles ayant un côté horizontal entier, et en rouge tous les autres rectangles. Un argument topologique de connexité nous assure alors que dans le grand rectangle on peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert ou les deux côtés horizontaux par un chemin rouge. (Pour ceux qui ne connaissent pas encore la notion de connéxité : c'est une sorte de théorème des valeurs intermédiaires qui dit que deux lignes reliant les côtés opposés se coupent forcément). Or un chemin vert consiste en la juxtaposition de rectangles verts, donc sa longueur horizontale est entière; et de manière analogue pour un chemin rouge.
Vous pouvez lire la solution complète ici.
Cette "solution" m'a laissé perplexe car sur les trois premières pages l'auteur n'avance pas beaucoup, puis au tout dernier paragraphe il évoque, sans les traiter, quelques obstacles qui pourraient éventuellement se poser. Et avec un peu d'esprit critique on trouve que la démonstration est fausse! Voici un contre-exemple.

La largeur est 4 et la hauteur est 3,5. Pourtant il n'y a pas de chaîne verte mais seulement une chaîne rouge dont on ne peut rien déduire sur la hauteur (car elle possède des décalages) ni sur la largeur (car les rectangles rouges n'ont pas de largeurs entières).
Mais Terence Tao ne serait pas Terence Tao, porteur de la Médaille Fields 2006 (sorte de prix Nobel pour mathématiciens), si l'idée de sa preuve était entièrement fausse ! En effet, après une petite recherche sur internet, je me rends sur son blog personnel et j'y trouve une liste d'errata où il corrige, entre autres, cette preuve. Voici l'amélioration qu'il apporte:
On colore les rectangles comme avant, mais seulement leurs intérieurs. Ensuite on colore en vert les côtés verticaux ouverts, et le reste en rouge.
Maintenant mon contre-exemple ne résiste plus! On peut relier les deux côtés verticaux par un chemin vert.

Pourquoi cette démonstration améliorée fonctionne-elle ? Et bien, lorsqu'on parcourt un chemin vert disons, alors chaque fois qu'on quitte un rectangle vert pour passer dans un autre, ça se fait sur un segment vertical dont l'abscisse est un entier.
Voilà donc une jolie solution purement topologique, sans analyse. Je ne pense pas qu'elle s'adapte aux dimensions supérieures.
Ceci n'est pas pipé
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En probabilités on dit qu'un dé est pipé
si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d'un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie
.
Si on lance deux dés habituels et si on prend la somme des deux résultats on obtient un nombre entre 2 et 12. Ce qui étonne alors souvent le débutant c'est que la probabilité de cette somme n'est pas équirépartie ; par exemple, obtenir un 11 est moins probable qu'obtenir un 10. La raison pour cela est qu'on retrouve le 10 avec (4,6) ou (6,4) ou (5,5) tandis que pour le 11 on a seulement les deux possibilités (5,6) ou (6,5).
Question (existence d'un jeu de deux dés pipés) :
Peut-on piper un couple de dés de sorte que le jeu qui consiste à prendre la somme des deux dés lancés donne une loi aléatoire équirépartie ?
Remarques sur l'enseignement des math au collège
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Constat : Lacunes dans le post-bac
Il y a quelques semaines, lors d'une colle en prépa MPSI (math sup) sur les développements limités, une étudiante était amenée à calculer la somme de trois fractions,

Voici comment elle s'y prenait (avec mon téléphone portable j'ai pris la photo du tableau) :
![]() |
A éviter : dénominateur inutilement grand |
Ce qui est gênant dans cette histoire c'est que cette étudiante n'est pas une mauvaise élève, mais apparemment au collège on ne lui a pas enseigné qu'il faut toujours privilégier le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions. En effet, cela évite des grands nombres difficiles à gérer ; le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit 40x12x8 des trois dénominateurs ! Il fallait procéder comme suit :

On voit sur la première ligne ci-dessus que le plus petit dénominateur commun est
car c'est le plus petit nombre qui contient
les facteurs premiers qu'on obtient en décomposant chaque dénominateur. Autrement dit, c'est le plus petit commun multiple (PPCM) des trois dénominateurs.
On remarque d'ailleurs que je n'ai pas vraiment calculé
ce dénominateur, je l'ai laissé sous forme de produit car à la fin cela permet de simplifier plus facilement...
Les nombres premiers ont disparu du collège
Comment se fait-il que certains élèves arrivent aujourd'hui en classes préparatoires de sciences et ne savent pas manipuler correctement des fractions ? La réponse est que la décomposition en produit de facteurs premiers est enseignée beaucoup trop tard et seulement à une partie des bacheliers scientifiques ; en effet, elle n'est plus au programme du collège mais seulement au programme de l'option mathématiques en terminale S.
Il fut une époque en France (pas lointaine et dans autres pays on y est toujours) où tout les enfants apprenaient à l'âge de dix ou onze ans de décomposer un nombre entier en facteurs premiers.
Valeurs pédagogiques et conceptuelles de cette décomposition :
- On apprend à décomposer un
grand problème
enpetits problèmes
, certaines composantes, les nombres premiers, étant irréductibles comme des atomes ou les briques d'un jeu de légo. - On trouve facilement le PGCD et le PPCM de deux, trois, quatre nombres ou plus à partir de leurs décompositions en nombres premiers. (En revanche, l'algorithme d'Euclid s'applique seulement à deux nombres à la fois.)
- Avec le PPCM on rencontre le concept de la réunion d'ensembles et la signification exacte du mot
ou
. - Avec le PGCD on rencontre le concept de l'intersection et la signification exacte du mot
et
. Ce sont d'ailleurs des notions importantes en probabilités. - On apprend sa table de multiplication...
On se demande vraiment pour quelle raison mystérieuse l'Inspection Générale a-t-elle ôté des programmes le concept simple et fondamental de la décomposition en nombres premiers ? Pour trouver le PGCD de deux nombres elle préconise l'algorithme d'Euclide ! Or cet algorithme est moins intuitif et son fonctionnement plus délicat à comprendre que la décomposition en nombres premiers. Sa seule raison d'être est qu'il marche bien avec les très grands nombres mais quelle importance ? Un jeune esprit a besoin d'apprendre des idées, des concepts et pas quelques recettes pour manipuler de nombres élévés qui n'ont aucun intérêt, ni pour lui ni pour nous autres mathématiciens (sauf quelques spécialistes en cryptographie, informatique ou théorie des nombres) ! D'abord un enfant doit maîtriser la manipulation des petits nombres, se faire une idée de leurs multiples, de leur diviseurs, et ce défi n'est point gagné à l'époque de la calculatrice...
Supprimer l'enseignement de la décomposition en facteurs premiers revient à manquer une occasion de réviser de manière plus ou moins ludique les tables de multiplication.
Plus de vraies constructions géométriques au collège ?
Pour finir, voici deux exemples de l'enseignement actuel de la géométrie, extraits du manuel scolaire Transmath 6e (Nathan 2005). Dans les deux cas l'approximatif remplace une idée de construction simple et précis :
Bissection d'un angle. On ne fait plus appel à la symétrie !
![]() |
Bissectrice méthode approximative avec pauvre valeur pédagogique |
Encore une fois, une belle idée conceptuelle est remplacée par un procédé rapide qui n'a pas de valeur pédagogique, comme s'il s'agissait de faire croire aux enfants que plus tard dans la vie ils seraient amenés quotidiennement à diviser des angles ! Or ce qui est intéressant dans la division d'un angle par deux, ce n'est pas le résultat lui-même mais la manière dont on l'obtient, à savoir par un simple concept, la symétrie : si je fais la même construction des deux côtés d'un angle alors j'obtiens une figure symétrique.
Voici donc la vraie construction avec règle et compas telle qu'elle devrait être enseignée :
![]() |
Bissectrice la vraie construction intéressante |
Parallèle à une droite. En appliquant la bissection d'un angle au cas particulier de 180° on obtient une perpendiculaire ; et en faisant la même chose à cette perpendiculaire on trouve une parallèle. C'est une idée simple et facile à retenir. Mais qu'est-ce qu'on enseigne à la place ? La construction approximative que voici :
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Parallèle passant par un point méthode avec peu d'intérêt |






